第36頁(yè)（共36頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷常考題之空間直線、平面的垂直一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?蘇州期末）△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P在平面ABC外，且PA→?PB→=3，PA→?PC→A．724 B．524 C．35 2．（2024秋?聊城期末）在四面體ABCD中，∠BAD＝∠CAD＝60°，AC⊥AB，AB＝AD＝2，AC＝3，則異面直線AC與BD所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．（2024秋?吉林期末）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AC，A1B的中點(diǎn)，異面直線MN與DD1所成角為（）A．π6 B．π4 C．π3 4．（2024秋?廣西期末）在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BD=3，E是BC的中點(diǎn)，沿BD將△BCD翻折至△BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F(xiàn)為C′D的中點(diǎn)，則異面直線EF與A．35 B．45 C．13 5．（2025?玉林模擬）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）A．33 B．66 C．34 二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?日照期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，過(guò)棱CC1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)作正方體的截面，則（）A．截面多邊形的周長(zhǎng)為32B．截面多邊形的面積為2111C．截面多邊形存在外接圓 D．截面所在平面與平面ABCD所成角的正弦值為11（多選）7．（2024秋?漢壽縣校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列說(shuō)法中正確的是（）A．BC1⊥DA1 B．BC1⊥CA1 C．BC1與平面AA1C1C所成的角為π4D．BC1與平面ABCD所成的角為π（多選）8．（2025?文昌校級(jí)一模）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若DP∥平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2 B．若AP=17，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．二面角A﹣EF﹣C的正切值為82D．若P是棱A1B1的中點(diǎn)，則三棱錐P﹣CEF的外接球的表面積是41π三．填空題（共4小題）9．（2024秋?安陽(yáng)期末）已知空間中的三點(diǎn)A（3，0，0），B（0，3，3），C（0，1，0），則直線AC與AB所成角的余弦值為．10．（2024秋?金山區(qū)期末）如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠CAB＝90°，AA1＝2AB＝2AC＝2，則直線A1B與側(cè)面B1C1CB所成角的正弦值是．11．（2024秋?衡水校級(jí)期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，D是BB1中點(diǎn)，則AC1與CD所成角的余弦值為．12．（2024秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線AC和直線BC1所成的角為．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）如圖，已知圓錐的底面半徑r＝2，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點(diǎn)Q為半圓弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn)．（1）求此圓錐的側(cè)面積；（2）求異面直線PQ與SO所成角的余弦值．14．（2024秋?金山區(qū)期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD，CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影．（1）求證：直線EF∥平面ABC；（2）求三棱錐A﹣BCD的體積；（3）求二面角B﹣EF﹣D的大小．15．（2024秋?諸暨市期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，M為BC的中點(diǎn)，P為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）試判斷是否存在P，使得直線BC1⊥AP．若存在，求PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷常考題之空間直線、平面的垂直參考答案與試題解析題號(hào)12345答案BCBAB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?蘇州期末）△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P在平面ABC外，且PA→?PB→=3，PA→?PC→A．724 B．524 C．35 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意，取AC的中點(diǎn)E，連接DE、PE，由三角形中位線定理、異面直線所成角定義，證出∠PDE（或補(bǔ)角）就是異面直線DP與BC的所成角．然后在△PAB中，根據(jù)PA→?PB→=3且AB＝2，運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出PD＝2，同理在△PAC中求出PE=5.最后在△【解答】解：取AC的中點(diǎn)E，連接DE、PE，因?yàn)椤鰽BC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，所以DE=12BC=32且可得∠PDE（或補(bǔ)角）就是異面直線DP與BC的所成角．由PA→?PB→=3，得（PD→+DA→）?（PD所以PD→2-DA→2=3，結(jié)合DA→2=14|AB→|2＝同理可得PE→2=EA→2+PA→在△PDE中，PD＝2，DE=32，PE所以cos∠PDE=PD2+DE2-P故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線所成角的定義與求法、空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．2．（2024秋?聊城期末）在四面體ABCD中，∠BAD＝∠CAD＝60°，AC⊥AB，AB＝AD＝2，AC＝3，則異面直線AC與BD所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，以AB→、AC→、AD→為基向量，運(yùn)用空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則，求出cos＜AC→，BD【解答】解：根據(jù)題意，可得AB→?AC→=0，AB→?AD→=|AB→|?|AD→|cos∠BAD＝2，AC→?AD→=|△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形，可得BD＝2．因?yàn)锳C→?BD→=AC→?（AD→-AB→）=AC所以cos＜AC→，BD→＞=AC→?BD→|AC→|?|所以異面直線AC與BD所成的角等于60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算法則、異面直線所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．3．（2024秋?吉林期末）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AC，A1B的中點(diǎn)，異面直線MN與DD1所成角為（）A．π6 B．π4 C．π3 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】連結(jié)A1D、BD，根據(jù)三角形中位線定理與異面直線所成角的定義，可證出直線MN與DD1所成角即為直線A1D與DD1所成角，進(jìn)而算出答案．【解答】解：連結(jié)A1D、BD，因?yàn)樵谡叫蜛BCD與正方形AA1B1B中，M、N分別為BD、A1B的中點(diǎn)，所以MN是△A1BD的中位線，可得MN∥A1D，所以異面直線MN與DD1所成角即為直線A1D與DD1所成角，結(jié)合∠A1DD1＝45°，可知異面直線MN與DD1所成角等于45°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?廣西期末）在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BD=3，E是BC的中點(diǎn)，沿BD將△BCD翻折至△BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F(xiàn)為C′D的中點(diǎn)，則異面直線EF與A．35 B．45 C．13 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】A【分析】先證BC'⊥平面ABD，再以B為原點(diǎn)建系，利用向量法求異面直線所成角即可．【解答】解：由AB＝2，AD＝1，BD=3，知AD2+BD2＝AB2，即AD⊥因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD，所以AD∥BC，所以BC⊥BD，即BC'⊥BD，又平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，BC'?平面BC′D，所以BC'⊥平面ABD，故以B為原點(diǎn)，BC，BD，BC'所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（12，0，0），F(xiàn)（0，32，12），A（﹣1，3，0），C′（0，0所以EF→=（-12，32，12），AC'所以cos＜EF→，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍為（0，π2]所以異面直線EF與AC′所成角的余弦值為35故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理，利用向量法求異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2025?玉林模擬）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）A．33 B．66 C．34 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；空間角．【答案】B【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值即可．【解答】解：如圖，設(shè)AA1→=c→，AB則a→?b→=∵AB1→=∴AB1→?BC1→=（a→+c|AB1→||BC1→|∴cos＜∴異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為66故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，考查空間向量基本定理，向量的數(shù)量積公式及應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?日照期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，過(guò)棱CC1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)作正方體的截面，則（）A．截面多邊形的周長(zhǎng)為32B．截面多邊形的面積為2111C．截面多邊形存在外接圓 D．截面所在平面與平面ABCD所成角的正弦值為11【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】AB【分析】根據(jù)題意畫出正方體，將題中截面畫出，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可求出邊長(zhǎng)和面積；判斷截面多邊形各邊長(zhǎng)垂直平分線是否交于一點(diǎn)即可判斷出多邊形是否存在外接圓；根據(jù)二面角定義和余弦定理求出截面所在平面與平面ABCD所成角．【解答】解：設(shè)CC1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)分別為P、Q、R，連接QR并延長(zhǎng)交直線C1D1，C1B1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，E，連接PF交DD1于N，連接PE交BB1于M，連接QN，RM得到截面五邊形PNQRM，連接P與FE的中點(diǎn)O，由Q，R為中點(diǎn)，可得|MP|=|NP|=210因此周長(zhǎng)為32+610|FE|=92，|S△S△則截面多邊形的面積為S△PFE-△PNQ與△PMR是公用一個(gè)頂點(diǎn)的全等三角形，兩個(gè)三角形的外心不重合，所以這個(gè)五邊形沒(méi)有外接圓，故C錯(cuò)誤；因?yàn)锳1O⊥QR，PO⊥QR根據(jù)二面角定義可知∠A1OP為截面與底面所成角（或補(bǔ)角），|A1O|=322，|可得cos∠故sin∠所以截面所在平面與平面ABCD所成角的正弦值為2211，故D故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的性質(zhì)，考查多邊形面積、周長(zhǎng)的求法，考查面面角的余弦值求法，屬中檔題．（多選）7．（2024秋?漢壽縣校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列說(shuō)法中正確的是（）A．BC1⊥DA1 B．BC1⊥CA1 C．BC1與平面AA1C1C所成的角為π4D．BC1與平面ABCD所成的角為π【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A和B，通過(guò)平行的傳遞性，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化在同一平面內(nèi)，再求其大小即可作出判斷；選項(xiàng)C和D，通過(guò)線面角的定義找到線面角，求出相關(guān)線段長(zhǎng)和線面角的三角函數(shù)值，即可判斷．【解答】解：選項(xiàng)A，連接B1C，∴A1B1∥CD，A1B1＝CD，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形，∴A1D∥B1C，∵B1C⊥BC1，∴BC1⊥DA1，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，對(duì)平面A1ADD1進(jìn)行延展，補(bǔ)出正方形A1D1FE，并連接AD1，A1F，CF，易得四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴BC1∥AD1，∵A1A∥D1F，A1A＝D1F，∴四邊形A1AD1F為平行四邊形，∴A1F∥AD1，∴BC1∥A1F，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，由勾股定理知，A1C=12∴A1C2+A1F2=∴BC1⊥CA1，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接C1O，∵A1A⊥底面ABCD，BO?平面ABCD，∴A1A⊥BO，又BO⊥AC，A1A∩AC＝A，A1A、AC?平面AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，∴BC1與平面AA1C1C所成的角為∠B設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則BO=22∴sin∠又∠BC1即BC1與平面AA1C1C所成的角為π6，故選項(xiàng)C選項(xiàng)D，∵C1C⊥底面ABCD，∴BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC，易知△BCC1為等腰直角三角形，∴∠C即BC1與平面ABCD所成的角為π4，故選項(xiàng)D故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，線面角的定義與求法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）8．（2025?文昌校級(jí)一模）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若DP∥平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2 B．若AP=17，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．二面角A﹣EF﹣C的正切值為82D．若P是棱A1B1的中點(diǎn)，則三棱錐P﹣CEF的外接球的表面積是41π【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角；球內(nèi)接多面體；球的表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，作出對(duì)應(yīng)圖形，先證明面MNDB∥面CEF，再結(jié)合給定條件確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，求解長(zhǎng)度；對(duì)于B，利用給定條件確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，求解長(zhǎng)度；對(duì)于C，作出二面角的平面角，利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解正切值；對(duì)于D，先找到球心，利用勾股定理得到半徑，求解球的表面積即可．【解答】解：對(duì)于A，如圖，取A1D1，A1B1中點(diǎn)N，M，且連接B1D1，NE，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，由中位線定理得MN∥B1D1，EF∥B1D1，所以MN∥EF，而B(niǎo)D＝B1D1，BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1，所以BD∥EF，因?yàn)镃D＝NE，ND＝CE，所以四邊形NDCE是平行四邊形，所以ND∥CE，因?yàn)镹D?面CEF，CE?面CEF，所以ND∥面CEF，因?yàn)锽D?面CEF，EF?面CEF，所以BD∥面CEF，而B(niǎo)D∩ND＝D，所以面MNDB∥面CEF，又P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且DP∥平面CEF，面MNDB和面CEF相交，MN，EF是交線，所以P的軌跡為線段MN，由勾股定理得MN=4+4=2對(duì)于B，如圖，若AP=17，此時(shí)AA1⊥面A1B1C1D所以AA1⊥A1P，由勾股定理得A1所以P的軌跡為在面A1B1C1D1內(nèi)，以A為圓心，1為半徑的14所以P的軌跡長(zhǎng)度為14×2π對(duì)于C，如圖，作ET⊥BC，連接A1C1與EF交于點(diǎn)S，連接AE，AF，AC，A1F，AS，B1D1，ET，因?yàn)檎襟wABCD﹣A1B1C1D1，E．F分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，A1C1的中點(diǎn)記為V，所以EF是△C1D1B1的中位線，所以EF∥D1B1，而D1B1⊥A1C1，所以EF⊥A1C1，而由正方體性質(zhì)得CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥EF，而CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1?面A1ACC1，故EF⊥面A1ACC1，EF⊥AS，EF⊥CS，而由勾股定理得A1F=AT=25，由三線合一性質(zhì)得S是EF的中點(diǎn)，故S是C1V的中點(diǎn)，即S是A1C1靠近C1的四等分點(diǎn)，所以由勾股定理得AS=18+16=34，而EF⊥AS，EF⊥CS，面AEF∩面CEF＝EF，所以∠ASC是二面角A﹣EF﹣C的平面角，且設(shè)該角為θ，在△ASC中，由余弦定理得cosθ=易得θ∈[0．π]，所以sinθ≥0，而(5解得sinθ=所以tanθ=所以二面角A﹣EF﹣C的正切值為825，故對(duì)于D，如圖，取PF的中點(diǎn)G，AC的中點(diǎn)H，連接PE，GH，F(xiàn)P，因?yàn)镻是棱A1B1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，所以C1F＝C1E＝B1E＝B1P＝2，由勾股定理得EF=而PF＝4，所以EF2+PE2＝PF2，所以EF⊥PE，而GE=12FP=2，所以點(diǎn)G到E因?yàn)镚H∥AA1，由正方體性質(zhì)得AA1⊥面PEF，所以GH⊥面PEF，所以三棱錐P﹣CEF的外接球的球心在GH上，設(shè)球心為O，GO＝t，則HO＝4﹣t，又GP＝2，CH=2設(shè)三棱錐P﹣CEF的外接球的半徑為R，則PO＝CO＝R，在直角三角形HCO中，由勾股定理得R2＝8+（4﹣t）2，在直角三角形PGO中，由勾股定理得R2＝4+t2，解得t=52所以三棱錐P﹣CEF的外接球的表面積為414×4π故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何綜合問(wèn)題，屬于難題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?安陽(yáng)期末）已知空間中的三點(diǎn)A（3，0，0），B（0，3，3），C（0，1，0），則直線AC與AB所成角的余弦值為23015【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】230【分析】根據(jù)題意求AC→【解答】解：因?yàn)锳（3，0，0），B（0，3，3），C（0，1，0），所以AC→設(shè)直線AC與AB所成的角為θ，則cosθ=|所以直線AC與AB所成角的余弦值為230故答案為：230【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用空間向量求解空間中直線與直線所成角，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024秋?金山區(qū)期末）如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠CAB＝90°，AA1＝2AB＝2AC＝2，則直線A1B與側(cè)面B1C1CB所成角的正弦值是1010【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；空間角；運(yùn)算求解．【答案】1010【分析】取B1C1中點(diǎn)D，連接A1D，BD，證明A1D⊥平面B1C1CB，可得∠A1BD為直線A1B與側(cè)面B1C1CB所成的角，進(jìn)而可得答案．【解答】解：取B1C1中點(diǎn)D，連接A1D，BD，∵直三棱柱中，BB1⊥平面A1B1C1，A1D?平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，又A1B1＝A1C1＝1，∴A1D⊥B1C1，又B1C1∩BB1＝B1，B1C1，BB1?面BB1C1C，∴A1D⊥平面B1C1CB，∴A1B在平面B1C1CB上的射影為DB，故∠A1BD為直線A1B與側(cè)面B1C1CB所成的角，Rt△A1B1B中，A1Rt△B1A1C1中，A1∴Rt△A1BD中，sin∠故答案為：1010【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面角的計(jì)算，屬于中檔題．11．（2024秋?衡水校級(jí)期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，D是BB1中點(diǎn)，則AC1與CD所成角的余弦值為26【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】26【分析】根據(jù)題意，以{AB→，AC→，AA【解答】解：設(shè)AB＝AC＝AA1＝a（a＞0），以{AB→，AC→，A則A（0，0，0），C（0，a，0），C1（0，a，a），D（a，0，a2），可得AC1所以AC1→?CD設(shè)直線AC1與CD所成角為θ，則cosθ=所以AC1與CD所成角的余弦值為26故答案為：26【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征、利用空間向量法求異面直線所成角等知識(shí)，屬于中檔題．12．（2024秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線AC和直線BC1所成的角為π3【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】整體思想；綜合法；空間角；運(yùn)算求解．【答案】π3【分析】利用異面直線所成角的定義可知∠D1AC即為所求的角．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，可得BC1∥AD1，所以直線AC和直線BC1所成的角等于∠D1AC，又易知△D1AC為等邊三角形，所以∠D故答案為：π3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成角的求法，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）如圖，已知圓錐的底面半徑r＝2，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點(diǎn)Q為半圓弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn)．（1）求此圓錐的側(cè)面積；（2）求異面直線PQ與SO所成角的余弦值．【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）8π；（2）64【分析】（1）由已知條件求出母線長(zhǎng)，然后利用圓錐的側(cè)面積公式求解即可；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OQ所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可．【解答】解：（1）由題意圓錐的底面半徑r＝2，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點(diǎn)Q為半圓弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn)，可得SA＝4，所以圓錐的側(cè)面積為π×2×4＝8π；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OQ所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得SO=23，則S(0，0，23)，O（0，0，0），A（0，2，0），Q則SO→=(0，所以SO→?PQ→=-2所以cos?設(shè)異面直線PQ與SO所成角的大小為θ，θ∈則cosθ=|故異面直線PQ與SO所成角的余弦值為64【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成角的求法，是中檔題．14．（2024秋?金山區(qū)期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD，CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影．（1）求證：直線EF∥平面ABC；（2）求三棱錐A﹣BCD的體積；（3）求二面角B﹣EF﹣D的大小．【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角；棱錐的體積；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）223；（3）【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明直線EF∥平面ABC；（2）根據(jù)射影定義求出三棱錐的高，再用錐體體積公式即可求得結(jié)果；（3）先根據(jù)二面角定義求出∠BHD即為所求的二面角，再用余弦定理即可求角．【解答】解：（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是直線AD，CD的中點(diǎn)，所以EF∥AC．又EF?平面ABC，AC?平面ABC，故直線EF∥平面ABC．（2）由題意知BO=所以AO=則三棱錐A﹣BCD的體積為13（3）取EF的中點(diǎn)為H，連接BH，DH，因?yàn)樗拿骟w棱長(zhǎng)均為2，故三角形ABD，三角形ACD均為等邊三角形，因?yàn)镋，F(xiàn)是棱AD，CD的中點(diǎn)，所以三角形DEF為等邊三角形，所以BH⊥EF，DH⊥EF且EF=1所以∠BHD即為所求的二面角，所以BH=則cos∠由圖觀察，二面角B﹣EF﹣D為鈍二面角，則二面角B﹣EF﹣D的大小為π-【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定以及二面角的計(jì)算，屬于中檔題．15．（2024秋?諸暨市期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，M為BC的中點(diǎn)，P為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）試判斷是否存在P，使得直線BC1⊥AP．若存在，求PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】（1）證明過(guò)程請(qǐng)見(jiàn)解答；（2）存在，43【分析】（1）分別證明AM⊥BB1，AM⊥BC，可得AM⊥平面BB1C1C，再由面面垂直的判定定理即可得證；（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BP＝t（0≤t≤3），求向量BC1→，AP【解答】（1）證明：∵BB1⊥底面ABC，AM?平面ABC，∴AM⊥BB1，∵AB＝AC＝2，M為BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，又BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BB1C1C，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM?平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C．（2）解：以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2，0），C1（2，0，3），所以BC設(shè)PB＝t（0≤t≤3），則P（0，2，t），AP→若BC1⊥AP，則BC1→所以存在P，使得直線BC1⊥AP，此時(shí)PB=【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向量法證明線線垂直是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算平面向量的數(shù)量積運(yùn)算2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．球內(nèi)接多面體【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點(diǎn)都在球面上，且球心到各頂點(diǎn)的距離都是半徑．球內(nèi)接多面體也叫做多面體外接球．球外切多面體的定義：球面和多面體的各個(gè)面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球．2、研究球與多面體的接、切問(wèn)題主要考慮以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；（2）球的半徑與多面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系；（3）球自身的對(duì)稱性與多面體的對(duì)稱性；（4）能否做出軸截面．3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：（1）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長(zhǎng)為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)處；②正方體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上；③球半徑和正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系：r=32（2）球外切正方體：球和正方體都是中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長(zhǎng)為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)處；②球與正方體每個(gè)面的切點(diǎn)都是每個(gè)面的中心點(diǎn)；③球半徑和正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系：r=124．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】側(cè)面積和全面積的定義：（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺(tái)的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開(kāi)，所得到的展開(kāi)圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h′為斜高，l為母線）S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺(tái)表＝π（r2+rl+Rl+R2）5．棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱錐的體積可以通過(guò)底面面積B和高度h計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱錐體積計(jì)算．6．球的表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】球的表面積依賴于球的半徑r，計(jì)算公式為4π【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：表面積計(jì)算公式為4π﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的球尺寸進(jìn)行表面積計(jì)算．【命題方向】﹣球的表面積計(jì)算：考查如何根據(jù)球的半徑計(jì)算表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用球的表面積計(jì)算．7．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：8．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類與a異面，也有無(wú)數(shù)條．9．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說(shuō)直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．10．平面與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．性質(zhì)定理4：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．11．空間向量的夾角與距離求解公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角公式設(shè)空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當(dāng)cos＜a→，b→＞（2）當(dāng)cos＜a→，b→＞（3）當(dāng)cos＜a→，b→＞2．空間兩點(diǎn)的距離公式設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【解題思路點(diǎn)撥】1．求空間兩條直線的夾角建系→寫出向量坐標(biāo)→利用公式求夾角2．求空間兩點(diǎn)的距離建系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→利用公式求距離．【命題方向】（1）利用公式求空間向量的夾角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量AB→與ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由題意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，進(jìn)而得到AB解答：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→?AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→與AC故選C．點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題．（2）利用公式求空間兩點(diǎn)的距離例：已知空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB對(duì)應(yīng)的向量，然后求出AB的距離即可．解答：因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間兩點(diǎn)的距離求法，考查計(jì)算能力．12．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1→，e2→，e3其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見(jiàn)的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來(lái)．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒(méi)給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．13．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影