第24頁（共24頁）2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之向量運算一．選擇題（共5小題）1．（2025?合肥模擬）已知單位圓O上有兩點A，B，∠AOB=π3，設向量a→=nA．﹣1 B．﹣2 C．1 D．22．（2025?江西模擬）若向量a→=（2，﹣1），b→=（m，3），且a→⊥bA．35 B．45 C．352 3．（2025?漢中二模）向量|a→|=|b→|=1，A．-12 B．-32 C．14．（2025?孝義市模擬）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．5．（2025?蕪湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量為32b→A．6 B．12 C．24 D．9二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?下月考）若向量a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→A．|bB．(aC．a→D．a→在c→（多選）7．（2025?寶雞模擬）已知向量a→=(3A．若a→∥b→，則B．若a→⊥bC．若a→與b→的夾角是π3D．若a→與b→的方向相反，則b→在（多選）8．（2025?重慶模擬）已知向量a→=(1，3)，b→=A．若a→⊥bB．若a→∥bC．若b→在a→上的投影向量為-14a→，則向量D．|a→三．填空題（共4小題）9．（2025?河南模擬）已知向量a→，b→滿足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，則|a→10．（2025?天津模擬）已知O為△ABC的重心，直線MN過O，交線段AB于M，交線段AC于N，其中AM→=mAB→，AN→=nAC11．（2025?蘇州開學）已知非零向量a→，b→滿足：a→⊥b→，|a→-b→|=2，設cλ→=λa→+(1-λ12．（2025?順德區模擬）已知向量a→=（2，1），a→?（a→+2b→）＝7，則b→在四．解答題（共3小題）13．（2024秋?琿春市校級期末）已知a→=(23sinx，（1）求函數f（x）的單調遞增區間；（2）已知f(x0)=135，14．（2025?云南校級開學）已知在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=5，O為△ABC內一點，且滿足∠AOB＝∠BOC＝∠（1）求△ABC的面積；（2）求OA→（3）求|OA|2+|OB|2+|OC|2的值．15．（2025?青羊區校級開學）人教A版必修第二冊第46頁上在用向量方法推導正弦定理采取如下操作：如圖1，在銳角△ABC中，過點A作與AC→垂直的單位向量j→，因為AC→+CB→=AB→，所以j→?（AC→+CB→）=j→?AB→，由分配律，得j→?AC→+j→?CB→=j→?AB→，即|j→|?|AC→|cosπ2+|j→||AB→|?cos（π2-C）＝|j→|?|AB→|cos（π2-A），也即asinC

2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之向量運算參考答案與試題解析題號12345答案BCDBC一．選擇題（共5小題）1．（2025?合肥模擬）已知單位圓O上有兩點A，B，∠AOB=π3，設向量a→=nA．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考點】平面向量數量積的性質及其運算．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】由題意|OA→|=|OB→|=1，【解答】解：由題意可得|OA→|=|因為|a所以|=[(=(n+1)2+2×2×(故選：B．【點評】本題考查平面向量數量積的性質及運算，屬基礎題．2．（2025?江西模擬）若向量a→=（2，﹣1），b→=（m，3），且a→⊥bA．35 B．45 C．352 【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平面向量數量積的坐標運算．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】直接利用向量的坐標運算和向量垂直的充要條件求出b→=(3【解答】解：因為a→⊥b→，向量a→=（2，﹣1），所以a→?b故b→故|b故選：C．【點評】本題主要考查向量的坐標運算和向量垂直的充要條件，屬于基礎題．3．（2025?漢中二模）向量|a→|=|b→|=1，A．-12 B．-32 C．1【考點】平面向量數量積的性質及其運算．【專題】對應思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】先移項得出b→=c【解答】解：因為a→+b兩邊同時平方得：a→因為|a→|=|b→所以a→?c故選：D．【點評】本題考查平面向量的數量積與夾角，屬于基礎題．4．（2025?孝義市模擬）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．【考點】平面向量數量積的性質及其運算．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；平面向量及應用．【答案】B【分析】根據題意，求出向量a→-b→的坐標，由向量垂直與向量數量積的關系分析可得若a→⊥（a→-b→），則有a→?（a→-b→）＝【解答】解：根據題意，向量a→=（2，3），b→=（則a→-b→=（2若a→⊥（a→-b→），則有a→?（a→-b→）＝2（解可得：x=故選：B．【點評】本題考查向量數量積的坐標計算，關鍵是掌握向量垂直與向量數量積的關系．5．（2025?蕪湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量為32b→A．6 B．12 C．24 D．9【考點】平面向量的投影向量；平面向量的數量積運算．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】由投影向量的概念列式即可求解．【解答】解：向量a→在向量b→上的投影向量為32可得a→?b故選：C．【點評】本題考查投影向量的概念，屬基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?下月考）若向量a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→A．|bB．(aC．a→D．a→在c→【考點】平面向量數量積的性質及其運算；平面向量的投影向量；平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】CD【分析】利用向量模長公式判斷A；根據向量平行的性質判斷B；根據向量垂直數量積為零判斷C；利用投影向量的定義判斷D．【解答】解：對于A，因為b→=（﹣3，4），所以|b對于B，因為a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→所以a→+c→=(4，3)≠對于C，因為a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→則b→所以a→?(b→對于D，因為a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→所以a→所以a→在c→上的投影向量為(-故選：CD．【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于中檔題．（多選）7．（2025?寶雞模擬）已知向量a→=(3A．若a→∥b→，則B．若a→⊥bC．若a→與b→的夾角是π3D．若a→與b→的方向相反，則b→在【考點】平面向量數量積的性質及其運算；平面向量的投影向量；平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】ABC【分析】利用向量平行、垂直的坐標表示判斷AB；利用向量數量積的運算律判斷C；利用投影向量的定義判斷D．【解答】解：因為向量a→=(3若a→∥b解得tanα=33若a→⊥b解得tanα=-3若a→與b→的夾角是π3，因為|所以(a所以|a→-若a→與b→的方向相反，所以所以b→在a→上的投影向量為a→故選：ABC．【點評】本題考查平面向量平行與垂直的性質，考查數量積的運算及投影向量的求法，屬中檔題．（多選）8．（2025?重慶模擬）已知向量a→=(1，3)，b→=A．若a→⊥bB．若a→∥bC．若b→在a→上的投影向量為-14a→，則向量D．|a→【考點】平面向量的投影向量；數量積表示兩個平面向量的夾角；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；平面向量及應用；運算求解．【答案】ACD【分析】根據兩個向量垂直的坐標表示，結合同角三角函數的基本關系判斷出A項的正誤；根據兩個向量平行的坐標表示，結合同角三角函數的基本關系求出tanα，從而判斷出B項的正誤；根據投影向量的公式算出向量a→、b→的夾角，從而判斷出C項的正誤；根據向量的模長公式、正弦函數的圖象與性質，算出|a→-【解答】解：對于A，若a→⊥b→，則可得cosα=-3sinα，所以tanα=sinα對于B，若a→∥b→，則3cosα=sinα所以α=π3對于C，由題意得|a→|=2，|b→|=1，由可得|b→|cos＜a→，b→＞?a→結合＜a→，b→＞∈[0，π]，可得＜a對于D，a→-b→=（1﹣cosα可得|a當sin(α+π6|a→-b→|2取得最大值9故選：ACD．【點評】本題主要考查兩個向量平行與垂直的條件、同角三角函數的基本關系、向量的投影與模長公式等知識，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?河南模擬）已知向量a→，b→滿足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，則|a→【考點】平面向量數量積的性質及其運算；平面向量的模．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】34．【分析】由已知求得a→【解答】解：由|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+可得a→2+2則|a故答案為：34．【點評】本題考查平面向量數量積的性質及運算，屬基礎題．10．（2025?天津模擬）已知O為△ABC的重心，直線MN過O，交線段AB于M，交線段AC于N，其中AM→=mAB→，AN→=nAC【考點】平面向量的數乘與線性運算．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】9．【分析】由向量的線性運算用向量AM→，AN→表示出向量AO→，由平面向量基本定理得到m，n的關系，然后利用基本不等式求出【解答】解：如圖，O為△ABC的重心，設點D為線段BC的中點，由AM→可得AB→則AO→因為M，O，N三點共線，所以13所以12m當且僅當n=1故12m+3n的最小值為9．故答案為：9．【點評】本題考查平面向量的線性運算及平面向量基本定理，屬中檔題．11．（2025?蘇州開學）已知非零向量a→，b→滿足：a→⊥b→，|a→-b→|=2，設cλ→=λa→+(1-λ【考點】平面向量數量積的性質及其運算．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】(1【分析】根據a→⊥b→和|a→-b→|=2，求出|a→【解答】解：由cλ→=λa→+(1-λ又存在λ∈[0，1]，使得cλ即[λ所以λa又a→⊥b→，故a因為|a→-b聯立①②得|a解得λ∈則|c令2λ-1=則|c故|c故答案為：(1【點評】本題考查平面向量數量積的運算，考查函數值域的求法，屬中檔題．12．（2025?順德區模擬）已知向量a→=（2，1），a→?（a→+2b→）＝7，則b→在【考點】平面向量的投影向量．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】(2【分析】利用投影向量的公式即可得到結果．【解答】解：由a→=（2，1），可得因為a→所以5+2a→?所以b→在a→上的投影向量的坐標為故答案為：(2【點評】本題考查平面向量的線性運算及數量積運算，屬基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?琿春市校級期末）已知a→=(23sinx，（1）求函數f（x）的單調遞增區間；（2）已知f(x0)=135，【考點】平面向量數量積的性質及其運算；三角函數中的恒等變換應用．【專題】函數思想；綜合法；三角函數的圖象與性質；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）[-π3+kπ【分析】（1）先根據二倍角公式、輔助角公式化簡f（x），然后求解單調遞增區間；（2）根據角的配湊可得cos2【解答】解：（1）f=2sin令-π解得-π故函數f（x）的單調遞增區間為[-（2）因為f(x0所以sin(2又x0∈[π所以cos(2所以cos=cos=4-3【點評】本題考查三角函數性質，考查兩角和差公式，二倍角公式，屬于中檔題．14．（2025?云南校級開學）已知在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=5，O為△ABC內一點，且滿足∠AOB＝∠BOC＝∠（1）求△ABC的面積；（2）求OA→（3）求|OA|2+|OB|2+|OC|2的值．【考點】平面向量數量積的性質及其運算．【專題】轉化思想；向量法；解三角形；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）142（2）-42（3）7-【分析】（1）應用余弦定理及平方關系求得sinA=（2）設|OA→|=x，|OB→|=（3）根據（2）并應用余弦定理有x2+y2+z2+12(xy+yz+zx)=7，再由|OA|2+|【解答】解：（1）在△ABC中，AB=3，AC=6，BC由余弦定理可得cosA=又A∈（0，π），故sinA=所以S△（2）設|OA→|=x，則OA→又S△整理得xy+所以OA→（3）設|OA→|=x，由余弦定理可知，AB同理AC2＝x2+z2+xz＝6，BC2＝z2+y2+zy＝5，故x2即|OA【點評】本題考查正、余弦定理的綜合應用，考查平面向量數量積運算，屬中檔題．15．（2025?青羊區校級開學）人教A版必修第二冊第46頁上在用向量方法推導正弦定理采取如下操作：如圖1，在銳角△ABC中，過點A作與AC→垂直的單位向量j→，因為AC→+CB→=AB→，所以j→?（AC→+CB→）=j→?AB→，由分配律，得j→?AC→+j→?CB→=j→?AB→，即|j→|?|AC→|cosπ2+|j→||AB→|?cos（π2-C）＝|j→|?|AB→|cos（π2-A），也即asinC【考點】平面向量數量積的性質及其運算．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ．【分析】過點D作DF∥BC，取單位向量n=DE→【解答】解：如圖所示，過點D作DF∥BC，在△ABC中，AB→+BC則n→?(又n→n→n?所以﹣ccosθ+acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝0，整理得acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ，即θ與△ABC的邊和角之間的等量關系為：acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ．【點評】本題考查平面向量數量積的性質及運算，屬中檔題．

考點卡片1．三角函數中的恒等變換應用【知識點的認識】1．同角三角函數的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數關系：sinαcosα=tan2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=22．平面向量的?！局R點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB【解題方法點撥】﹣計算模：也就是AB→﹣實際應用：用于求解平面幾何中的距離問題，如兩點間的距離等．【命題方向】﹣向量模的計算：考查如何計算向量的模，并應用于幾何問題．﹣向量長度的應用：在問題中如何利用向量的長度解決實際問題，如物體的位移和距離計算．如圖，在2×4的矩形中，起點和終點都在小方格頂點，且模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如圖，設小正方形的邊長為1，則|AB→|=則長度為5的對角線有20個，分別為AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案為：39．3．平面向量的數乘與線性運算【知識點的認識】（1）實數與向量a→的積是一個向量，記作λa→，它的大小為|λa→|＝|λ||a→|，其方向與λ的正負有關．若|λa→|≠0，當λ＞0時，λa→的方向與a→的方向相同，當λ＜當λ＝0時，λa→與a對于非零向量a、b，當λ≠0時，有a→∥b→?a（2）向量數乘運算的法則①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一個線性組合（其中，λ、μ均為系數）．如果l→=λa→+4．平面向量的數量積運算平面向量的數量積運算5．平面向量數量積的性質及其運算【知識點的認識】1、平面向量數量積的重要性質：設a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數量積的運算律（1）交換律：a→（2）數乘向量的結合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數量積的運算平面向量數量積運算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點撥】例：由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?解：∵向量的數量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯誤；∵|a→?b→|≠|a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯誤；∵向量的數量積不滿足結合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯誤；∵向量的數量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|a→|?【命題方向】本知識點應該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數聯系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．6．平面向量的投影向量【知識點的認識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設a→，b→是兩個非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．7．平面向量數量積的坐標運算【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量a→，b→如果以O為起點，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量a2、向量的數量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|c