第29頁（共29頁）2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之向量應用一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?邢臺期末）已知單位向量a→和b→的夾角為θ，且cosθ=A．1 B．2 C．2 D．22．（2024?河北模擬）1941年中國共產黨在嚴重的困難面前，號召根據地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產運動，最終走出了困境．如圖就是當時纏線用的線拐子，在結構簡圖中線段AB與CD所在直線異面垂直，E、F分別為AB、CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD，線拐子使用時將絲線從點A出發，依次經過D、B、C又回到點A，這樣一直循環，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中AB＝EF＝CD＝30cm，則絲線纏一圈長度為（）A．902cm B．903cm C．603．（2024秋?青島校級期中）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1．則|PA→+A．213+2 B．13+1 C．72 D4．（2024秋?成都校級月考）點P是△ABC所在平面內的點，且有PA→+7PB→+5BC→=0→，直線AP，CP分別交BC，AB于點D，E，記△ACD，△APE的面積分別為S1A．2125 B．1625 C．1635 5．（2024秋?普陀區校級期中）已知點A1，A2，?，An（n∈N，n≥2）均在圓O上，若有OA1→+OA2→+?+OAn→=A．0個 B．僅有1個 C．僅有2個 D．3個或以上二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?葫蘆島期末）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M為線段BC的中點，AM與BD交于點N，P為線段CD上的一個動點（）A．AN→B．向量AD→與CN→C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2 D．若AP→=λAB→+（多選）7．（2024春?惠山區校級期末）“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．“意大利數學家托里拆利給出了解答，當△ABC的三個內角均小于120°時，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點O即為費馬點；當△ABC有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點．下列說法正確的是（）A．正三角形的費馬點是正三角形的中心 B．若P為△ABC的費馬點，且PA→+PB→C．若△ABC三邊長分別為1，3，2，則該三角形的費馬點到各頂點距離之和為7 D．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠A=π2，bc＝2，若點P（多選）8．（2024秋?錫林郭勒盟期中）下列說法中正確的是（）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是12% B．a→，b→的夾角為鈍角的充要條件是C．數據13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位數是18 D．若樣本數據x1，x2，?，x10的方差為1，則數據3x1﹣1，3x2﹣1，?，3x10﹣1的方差為8三．填空題（共4小題）9．（2024秋?西青區期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD→=2DB→，P為CD上一點，且滿足AP→=mAC→+14AB→，則實數m的值為10．（2024秋?漯河期末）若在斜二測畫法得到的直觀圖中，m→，n→分別是x'y'上的單位向量，定義：若O'M→=xm→+yn→，則點M在直觀圖的坐標系x'O'y'中的坐標為（x，y）．已知在直觀圖的坐標系x'O'y'中的點A坐標為11．（2024秋?廣州校級期末）已知O為坐標原點，對于函數f（x）＝asinx+bcosx，稱向量OM→=(a，b)為函數f（x）的互生向量，同時稱函數f（x）為向量OM→的互生函數．設函數f(x)=cos(π2+x)+cos(-x)，則f（x）的互生向量OM→=12．（2024秋?濱州期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的動點，過點C作CD∥OQ，交OP于點D，則△OCD的面積的最大值為四．解答題（共3小題）13．（2024春?高新區校級月考）在斜△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知1+sinA（1）若c2﹣a2＝ab，求∠A，∠B，∠C的值；（2）若c＝2，求CA→14．（2024春?高新區校級月考）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3sin（1）若sinC＝2sinA，求AB→在BC→上的投影向量；（用向量（2）若a＝3，S△ABC=1534，BD為∠ABC的平分線，BE15．（2024秋?廣東月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S=3，且a2+43S＝（b+c）2，D是AB的中點，點E在線段AC上且AE＝2EC，線段CD與線段BE交于點M（1）求角A的大小；（2）若AM→=xAB→（3）若點G是△ABC的重心，求線段GM的最小值．

2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之向量應用參考答案與試題解析題號12345答案DCADC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?邢臺期末）已知單位向量a→和b→的夾角為θ，且cosθ=A．1 B．2 C．2 D．2【考點】平面向量數量積的含義與物理意義．【專題】對應思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據平面向量數量積運算律得出(2a【解答】解：因為單位向量a→和b→的夾角為θ，且所以(2a所以|2a故選：D．【點評】本題考查平面向量的數量積運算，屬于基礎題．2．（2024?河北模擬）1941年中國共產黨在嚴重的困難面前，號召根據地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產運動，最終走出了困境．如圖就是當時纏線用的線拐子，在結構簡圖中線段AB與CD所在直線異面垂直，E、F分別為AB、CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD，線拐子使用時將絲線從點A出發，依次經過D、B、C又回到點A，這樣一直循環，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中AB＝EF＝CD＝30cm，則絲線纏一圈長度為（）A．902cm B．903cm C．60【考點】平面向量數量積的含義與物理意義．【專題】整體思想；綜合法；推理和證明；運算求解．【答案】C【分析】依題意可得BD→=BE→+【解答】解：依題意EB→⊥EF→，所以EB→?EF→=0又BD→所以BD＝152+302+152＝152×6，所以|BD→|=15所以絲線纏一圈長度為4×故選：C．【點評】本題考查向量的運算性質的應用，屬于中檔題．3．（2024秋?青島校級期中）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1．則|PA→+A．213+2 B．13+1 C．72 D【考點】平面向量的綜合題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應用；運算求解．【答案】A【分析】根據題意，點P在以C為圓心、半徑r＝1的圓上運動，設AB的中點為D，則PA→+PB→=2PD【解答】解：設AB的中點為D，則PA→+PB△ACD中，∠A＝90°，AD=12AB＝2，AC＝3，可得CD因為P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1，所以點P的軌跡是以C為圓心、半徑r＝1的圓，可知|PD→|的最大值為CD+r=13結合PA→+PB→=2PD→，可知|PA→+PB→|故選：A．【點評】本題主要考查向量的線性運算法則、三角形中線的性質、解三角形及其應用、圓的性質等知識，屬于中檔題．4．（2024秋?成都校級月考）點P是△ABC所在平面內的點，且有PA→+7PB→+5BC→=0→，直線AP，CP分別交BC，AB于點D，E，記△ACD，△APE的面積分別為S1A．2125 B．1625 C．1635 【考點】平面向量的綜合題．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】由向量的加法法則結合三點共線確定點P的位置，再結合三角形的面積公式求解即可．【解答】解：由PA→+7PB即PA→因為B，D，C三點共線，則存在實數λ，使得PB→設PA→=x可得xPD即(x由于PD→，則x+2λ=0即PA→=-7PD同理，設PC→=μ因為A，E，B三點共線，所以-2-5又由三角函數的誘導公式可得sin∠CPA＝sin∠CPD，所以S=1=3故選：D．【點評】本題考查平面向量的綜合應用，屬中檔題．5．（2024秋?普陀區校級期中）已知點A1，A2，?，An（n∈N，n≥2）均在圓O上，若有OA1→+OA2→+?+OAn→=A．0個 B．僅有1個 C．僅有2個 D．3個或以上【考點】平面向量的綜合題．【專題】分類討論；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據向量的線性運算，結合圓的特征，分n＝2，n＝3，n≥4三種情況討論可判定結論．【解答】解：由題意有OA當n＝2時，兩向量共線反向，A1，A2平分圓O，符合題意；當n＝3時，由OA1→+O變形可得OA兩邊平方可得OA所以1＝1+2×1×1×cos∠A2OA3+1，解得cos∠因為0＜∠A2OA3＜π，所以∠A同理可得∠A1O所以A1，A2，A3平分圓O，若n≥4，當n為偶數時，只要分為n2可得OA比如過圓心的兩條直線與圓相交的四個點，滿足OA所以A1，A2，?，An不一定平分圓，故不符合題意；當n為奇數時，可分三個點，使這三個向量滿足OA可得A1，A2，A3平分圓O，另外剩余的一定是偶數點，由前面知道，這些點可分組，但不一定平分圓，故可得A1，A2，?，An不一定平分圓，綜上所述，只有n＝2與n＝3符合題意，故滿足要求的n的個數為2個．故選：C．【點評】本題考查向量的運算及性質，考查圓的特征，屬中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?葫蘆島期末）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M為線段BC的中點，AM與BD交于點N，P為線段CD上的一個動點（）A．AN→B．向量AD→與CN→C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2 D．若AP→=λAB→+【考點】平面向量的綜合題．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；邏輯思維．【答案】ACD【分析】利用平面向量的基本定理求出AN→關于AB→，AD→利用平面向量的線性運算可得出CN→關于AB→，AD→推導出AN→=45AM→，可得出△ACN、△分析可知存在m∈[0，1]，使得DP→=mDC→=12mAB→，利用平面向量的基本定理可得出λ+【解答】解：對于A選項，由題意可知，DC→=12AB→，則則BM→=MC→，即AM→-AB因為A、N、M三點共線，所以存在t∈R，使得AN→=t因為B、D、N三點共線，所以t2+3t4=1，解得t對于B選項，因為CN→=AN→-AC→=（25AD→+對于C選項，因為M為線段BC的中點，所以S△ACM＝S△BCM=12S△由A選項的分析知，AN→所以S△ACN=45S△ACM=25S△ABC，同理，S△ABN=25S△ABC，則S△所以S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2，故C選項正確；對于D選項，因為AP→=AB→+BP→=AB所以若AP→=λAB→+μAD→，則λ＝1，μ=m2，當m故選：ACD．【點評】本題主要考查平面向量基本定理以及向量共線定理，屬于中檔題．（多選）7．（2024春?惠山區校級期末）“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．“意大利數學家托里拆利給出了解答，當△ABC的三個內角均小于120°時，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點O即為費馬點；當△ABC有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點．下列說法正確的是（）A．正三角形的費馬點是正三角形的中心 B．若P為△ABC的費馬點，且PA→+PB→C．若△ABC三邊長分別為1，3，2，則該三角形的費馬點到各頂點距離之和為7 D．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠A=π2，bc＝2，若點P【考點】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】數形結合；向量法；平面向量及應用；邏輯思維．【答案】ABC【分析】對A，根據正三角形中心的性質結合費馬點定義易判斷；對B，取AB的中點D，由PA→+PB→+PC→=可得點P是△對C，利用三角形旋轉，結合費馬點定義，構造正三角形轉化線段長求解；對D，由向量數量積定義，結合費馬點定義和三角形等面積法列式求解．【解答】解：對于A，若O是正三角形ABC的中心，根據正三角形的性質易得∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，所以點O是正三角形ABC的費馬點，故A正確；對于B，如圖，取AB的中點D，則PA→+PB→=2PD→，因為PA→+PB→+PC→=0又點P是△ABC的費馬點，則∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，則∠APD＝∠BPD＝60°，又AD＝BD，由等面積法可得PA＝PB，同理可得PC＝PB，所以PA＝PB＝PC，所以點P是△ABC的外心，所以點P是△ABC的中心，即△ABC是正三角形．故B正確；對于C，如圖，在Rt△ABC中，AB＝1，BC=3，AC＝2，∠ACB＝設點O是Rt△ABC的費馬點，將△COA繞點C順時針旋轉60°得到△CED，易證△COE，△ACD是正三角形，則OC＝OE，OA＝DE，CD＝AC，且點B，O，E、D共線，所以∠BCD＝90°，所以BD=BC即該三角形的費馬點到各頂點距離之和為7，故C正確；對于D，由費馬點定義可得∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，設PA＝x，PB＝y，PC＝z，x，y，z＞0，由SΔABC＝S△PAB+S△PAB+S△PAB，可得12xy整理得xy+yz=-12故選：ABC．【點評】本題主要考查費馬點的定義和平面向量的應用，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?錫林郭勒盟期中）下列說法中正確的是（）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是12% B．a→，b→的夾角為鈍角的充要條件是C．數據13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位數是18 D．若樣本數據x1，x2，?，x10的方差為1，則數據3x1﹣1，3x2﹣1，?，3x10﹣1的方差為8【考點】平面向量數量積的含義與物理意義；方差；百分位數．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】AC【分析】根據簡單隨機抽樣的特點，結合已知條件判斷選項A；根據a→?b→＜【解答】解：從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，個體m被抽到的概率是12%，選項A正確；a→與b→反向時，夾角不為鈍角，但a→?b→將10個數據按照從小到大順序排列為：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，又10×0.5＝5，所以這10個數據的中位數為12×（17+19）＝18，選項若樣本數據x1，x2，?，x10的方差為1，則數據3x1﹣1，3x2﹣1，?，3x10﹣1的方差為32×1＝9，選項D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查了數據的分析與應用問題，是基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?西青區期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD→=2DB→，P為CD上一點，且滿足AP→=mAC→+14AB→，則實數m的值為【考點】平面向量的綜合題；三角形中的幾何計算；平面向量的模；平面向量的基本定理．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應用；運算求解．【答案】58；30【分析】設CP→=λCD→，利用平面向量的線性運算法則，算出AP→=（1﹣λ）AC→+根據∠BAC＝60°且△ABC的面積為43，算出bc＝16，然后運用平面向量數量積的運算性質、向量的模的公式，算出|AP→|2=2564b2【解答】解：設CP→=λCD→，則AP→=AC→+CP→=AC→+由AD→=2DB→，得AD→=23AB結合題意AP→=mAC→所以AP→=58AC→+14AB→，設|可得|AP→|2＝（58AC→因為△ABC的面積S=12bcsinA=43，所以34bc由基本不等式得2564b2+116所以|AP→|2≥152，可得|AP→|≥302，當b=4105且故答案為：58；30【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、平面向量數量積的定義與運算性質、運用基本不等式求最值等知識，考查了計算能力、等價轉化的數學思想，屬于中檔題．10．（2024秋?漯河期末）若在斜二測畫法得到的直觀圖中，m→，n→分別是x'y'上的單位向量，定義：若O'M→=xm→+yn→，則點M在直觀圖的坐標系x'O'y'中的坐標為（x，y）．已知在直觀圖的坐標系x'O'y'中的點A坐標為(3，【考點】平面向量的綜合題．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】5或17（其中一個即給分）．【分析】根據題意，分析可得＜m→，n→＞=45°或135【解答】解：根據題意，在斜二測畫法得到的直觀圖中，m→，n→分別是x'y'上的單位向量，則＜m→，n在直觀圖的坐標系x'O'y'中的點A坐標為(3，2)，則O若＜m→，n→＞=45°，則O'A→2＝9m→2+2n→2+62m若＜m→，n→＞=135°，則O'A→2＝9m→2+2n→2+62m→?故|O'A|=5或17故答案為：5或17（其中一個即給分）【點評】本題考查向量數量積的計算，涉及直觀圖中點坐標的表示，屬于基礎題．11．（2024秋?廣州校級期末）已知O為坐標原點，對于函數f（x）＝asinx+bcosx，稱向量OM→=(a，b)為函數f（x）的互生向量，同時稱函數f（x）為向量OM→的互生函數．設函數f(x)=cos(π2+x)+cos(-x)，則f（x）的互生向量OM→=（﹣1，1【考點】平面向量的綜合題．【專題】轉化思想；數形結合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（﹣1，1）；(2，【分析】化簡函數為f（x）＝﹣sinx+cosx可得互生向量，化簡g（x），作出簡圖，可得k的范圍．【解答】解：因為f(所以f（x）的互生向量OM→由題意，f（x）＝2sinx，則g(若函數g（x）在[0，2π]上有四個零點，則k=2sinx+23|cosx|設h(則函數y＝h（x）與y＝k在[0，2π]上的圖象有四個交點，又h=4由三角函數性質作其函數圖象如圖所示，由三角函數圖象及性質可知k的取值范圍為(2，故答案為：（﹣1，1）；(2，【點評】本題考查平面向量與三角函數的綜合應用，屬中檔題．12．（2024秋?濱州期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的動點，過點C作CD∥OQ，交OP于點D，則△OCD的面積的最大值為【考點】平面向量的綜合題．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】312【分析】首先得到∠CDO=2π3，設∠【解答】解：因為∠POQ=π3，CD∥設∠COD=α在△OCD中，由正弦定理可得OCsin即1sin2π所以S=3=1=1=3因為0＜α＜顯然當2α+π6=π2，即α故答案為：312【點評】本題考查正弦定理及三角恒等變換，屬中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024春?高新區校級月考）在斜△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知1+sinA（1）若c2﹣a2＝ab，求∠A，∠B，∠C的值；（2）若c＝2，求CA→【考點】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）A=（2）82【分析】（1）由三角函數的誘導公式，余弦定理，正弦定理解三角形即可；（2）由正弦定理，向量的數量積及基本不等式求最小值即可．【解答】解：（1）由1+sinA可得1+sinA即cosAcosB＝sinBsinA+sinB，即cos（A+B）＝sinB，則有﹣cosC＝sinB＞0，故cosC＜0，即π2由﹣cosC＝sinB，得sin(所以C-π2由c2﹣a2＝ab，可得c2＝a2+ab＝a2+b2﹣2abcosC，整理得a＝b﹣2acosC，由正弦定理，可得sinA＝sinB﹣2sinAcosC＝sin（A+C）﹣2sinAcosC＝cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A），即sinA＝sin（C﹣A），故A＝C﹣A或A+C﹣A＝π（舍），所以C＝2A，由A+(2解得A=（2）由（1）知，C=由正弦定理，得asin故a=即CA=4(2≥4(2當且僅當2cos2所以CA→?CB【點評】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換與基本不等式的綜合應用，屬中檔題．14．（2024春?高新區校級月考）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3sin（1）若sinC＝2sinA，求AB→在BC→上的投影向量；（用向量（2）若a＝3，S△ABC=1534，BD為∠ABC的平分線，BE【考點】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）BC→（2）419【分析】（1）由已知化簡可解得B=2π3，再結合sinC＝2sinA，利用正弦定理可得|AB（2）先用三角形面積公式求c，再利用S△ABC＝S△ABD+S△BCD求得|BD|，又BE為中線，所以由BE→=12(【解答】解：（1）由已知，可得3=3=sinB+3又0＜B＜π，故B=因為在△ABC中，sinC＝2sinA，而|BC|sinA所以AB→在BC|AB（2）由題意，S△ABC=12由S△ABC＝S△ABD+S△BCD，可得153解得|BD|=15所以|BE所以BEBD【點評】本題考查平面向量與解三角形的綜合應用，屬中檔題．15．（2024秋?廣東月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S=3，且a2+43S＝（b+c）2，D是AB的中點，點E在線段AC上且AE＝2EC，線段CD與線段BE交于點M（1）求角A的大小；（2）若AM→=xAB→（3）若點G是△ABC的重心，求線段GM的最小值．【考點】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）A=（2）x+（3）26【分析】（1）a2+43S=(b（2）由三點共線得到AM→=λAC→（3）由重心定義得到AG→=13(AB→+AC→)【解答】解：（1）因為a2所以43所以3sinA即3sinA=cosA又A∈（0，π），所以A-所以A=（2）由題意AE→=2由D、M、C三點共線，可得DM→即AM→-AD所以AM→同理由B、M、E三點共線，可得AM→所以λ=所以x+（3）由G是△ABC的重心，得AG→所以GM→所以S△則GM≥2當且僅當c＝2b時，等號成立，所以|GM→|≥132故線段GM的最小值為26【點評】本題考查平面向量與解三角形的綜合應用，屬中檔題．

考點卡片1．平面向量的模【知識點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB【解題方法點撥】﹣計算模：也就是AB→﹣實際應用：用于求解平面幾何中的距離問題，如兩點間的距離等．【命題方向】﹣向量模的計算：考查如何計算向量的模，并應用于幾何問題．﹣向量長度的應用：在問題中如何利用向量的長度解決實際問題，如物體的位移和距離計算．如圖，在2×4的矩形中，起點和終點都在小方格頂點，且模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如圖，設小正方形的邊長為1，則|AB→|=則長度為5的對角線有20個，分別為AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案為：39．2．平面向量數量積的含義與物理意義【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量a→，b→如果以O為起點，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→?b→=|a→||b→|cosθ．規定：零向量與任意向量的數量積為注意：①a→?b→②符號“?”在數量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一個數量|b→|cos（3）坐標計算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數量積的幾何意義：a→與b→的數量積a→?b→等于a→的長度|a→|與b3．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內容：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任一a→，有且僅有一對實數λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．平面向量的綜合題【知識點的認識】1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．2、相關概念（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB（2）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．3、向量的加減運算求幾個向量和的運算叫向量的加法運算，其運算法則有二：（1）三角形法則：設a→與b→不共線，在平面上任取一點A（如圖1），依次作AB→=a，BC→=b，則向量叫做a特征：首尾相接的幾個有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點指向末向量的終點．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于AD→=BC→，根據三角形法則得AB→+AD特征：有共同起點的兩個向量相加，其和向量等于以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線．（首尾相接，結果為首尾）（3）向量的加法性質①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）向量的減法運算．求兩個向量差的運算叫向量的減法運算．法則：以將向量a與向量b的負向量的和定義為a→與b→的差，即a→設a→=OA→，b特征；有共同起點的兩個向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一個向量，叫做a→與b5．三角形中的幾何計算【知識點的認識】1、幾何中的長度計算：（1）利用正弦定理和三角形內角和定理可以求解：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判斷三角形的形狀；③實現邊角之間的轉化．包括：a、已知三邊，求三個角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．2、與面積有關的問題：（1）三角形常用面積公式①S=12a?ha（ha表示邊②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面積問題的解法：①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應面積公式解決．②割補法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個三角形，再由三角形的面積公式求解．【解題方法點撥】幾何計算最值問題：（1）常見的求函數值域的求法：①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；②逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；⑥單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域．⑦數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域．（2）正弦，余弦，正切函數值在三角形內角范圍內的變化情況：①當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤cosα≤1；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．②當角度在90°～180°間變化時，正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤cosα≤0；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．6．解三角形【知識點的認識】1．已知兩角和一