第14頁（共14頁）2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之復數的概念一．選擇題（共5小題）1．（2025?安徽模擬）若關于x的方程（1﹣i）x2+（λ+i）x+（1+λi）＝0有兩個虛根，則實數λ的取值范圍為（）A．（0，2） B．(-∞，C．(22，+∞) D．（﹣∞，2）∪（22．（2025?鼓樓區校級開學）從集合{﹣1，0，1，2}中任取兩個不同的數a，b組成復數a+bi，其中虛數有（）A．4個 B．9個 C．12個 D．16個3．（2025?四川模擬）已知復數z＝2﹣bi，若z2為純虛數，則b＝（）A．0 B．±1 C．±2 D．±34．（2025?湖南開學）已知復數(a+iA．0 B．1 C．2 D．35．（2024秋?漢壽縣校級期末）已知復數z=A．復數z的實部為3 B．復數z的模為5 C．復數z的虛部為425D．復數z的共軛復數為3二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?十堰模擬）已知虛數z滿足z2A．z的實部為-12 B．z的虛部為C．|z|＝1 D．z可能為純虛數（多選）7．（2024秋?內蒙古期末）已知復數z滿足z＝1+2i，其中i為虛數單位，則下列結論正確的是（）A．|z|＝|z| B．1z=-C．z3的虛部為﹣2 D．z2﹣2z+5＝0（多選）8．（2024秋?河北期末）已知復數z，則下列說法正確的是（）A．若|z|＝2，則z＝±2 B．若z+2i∈R，則z的虛部為﹣2 C．若z2＞0，則z∈R D．若|z|＝1，則1≤|z﹣2|≤3三．填空題（共4小題）9．（2025?杭州一模）已知復數z1，z2的實部和虛部都不為0，滿足①|z1z2|=2；②|z1z2|＝2，則z1＝，z2＝．（寫出滿足條件的一組z10．（2024春?環縣校級期中）已知復數z＝（m2﹣3m+2）+（m2+3m﹣10）i是純虛數，其中i為虛數單位，則實數m的值為．11．（2024秋?濱海新區校級期中）若復數a+3i1+2i是純虛數，則實數a的值是12．（2024春?天山區校級期中）已知（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，則y＝．四．解答題（共3小題）13．（2024春?色尼區校級期末）已知復數z=(1m-1)+(m2-2（1）復數z是實數；（2）復數z是虛數；（3）復數z是純虛數．14．（2024春?固始縣校級期末）已知i是虛數單位，復數z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）當復數z為實數時，求m的值；（2）當復數z為純虛數時，求m的值；15．（2024春?閔行區校級期末）已知復數z是純虛數，（z+2）2﹣8i是實數．（1）求z；（2）若1z1=1z+2

2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之復數的概念參考答案與試題解析題號12345答案DBCBD一．選擇題（共5小題）1．（2025?安徽模擬）若關于x的方程（1﹣i）x2+（λ+i）x+（1+λi）＝0有兩個虛根，則實數λ的取值范圍為（）A．（0，2） B．(-∞，C．(22，+∞) D．（﹣∞，2）∪（2【考點】復數的相等．【專題】整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】D【分析】可設方程有實根x0，代入到已知方程，結合復數相等條件即可求解．【解答】解：可設方程有實根x0，則得(x所以x02+λx0+1=0①，-x02+x所以λ＝﹣1或x0＝﹣1，結合式①得λ=-1，x02所以方程有兩個虛根的充要條件是λ≠2．故選：D．【點評】本題主要考查了復數相等條件的應用，屬于基礎題．2．（2025?鼓樓區校級開學）從集合{﹣1，0，1，2}中任取兩個不同的數a，b組成復數a+bi，其中虛數有（）A．4個 B．9個 C．12個 D．16個【考點】復數的實部與虛部．【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】B【分析】利用分步乘法計數原理計算即可求得結果．【解答】解：設復數a+bi表示虛數，則b≠0；從{﹣1，1，2}中任取一個數作為b，共有3種選法；再從剩余的三個數任取一個作為a，共有3種選法，因此從集合{﹣1，0，1，2}中任取兩個不同的數a，b組成復數a+bi，其中虛數有3×3＝9種．故選：B．【點評】本題考查虛數的定義，考查排列組合的應用，是基礎題．3．（2025?四川模擬）已知復數z＝2﹣bi，若z2為純虛數，則b＝（）A．0 B．±1 C．±2 D．±3【考點】純虛數．【專題】對應思想；分析法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】C【分析】由復數的乘法運算結合復數概念即可求解．【解答】解：由z＝2﹣bi，得z2＝（2﹣bi）2＝4﹣b2﹣4bi，因為z2為純虛數，所以4-所以b＝±2．故選：C．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．4．（2025?湖南開學）已知復數(a+iA．0 B．1 C．2 D．3【考點】純虛數．【專題】整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】B【分析】化簡已知復數，由純虛數的定義可得a值．【解答】解：因為(a+i所以a-解得a＝1．故選：B．【點評】本題主要考查了復數的運算，考查了純虛數的定義，屬于基礎題．5．（2024秋?漢壽縣校級期末）已知復數z=A．復數z的實部為3 B．復數z的模為5 C．復數z的虛部為425D．復數z的共軛復數為3【考點】復數的實部與虛部；共軛復數；復數的除法運算．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】D【分析】根據已知條件，結合復數的運算法則，以及復數的性質，即可求解．【解答】解：z=對于A，復數z的實部為325，故A對于B，|z|=(325對于C，復數z的虛部為-425，故對于D，復數z的共軛復數為325+4故選：D．【點評】本題主要考查復數的運算法則，以及復數的性質，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?十堰模擬）已知虛數z滿足z2A．z的實部為-12 B．z的虛部為C．|z|＝1 D．z可能為純虛數【考點】復數的實部與虛部；復數的模．【專題】對應思想；分析法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】AC【分析】根據復數的乘法以及共軛復數的概念，建立方程方程，可得答案．【解答】解：設z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），由z2=z，可得a2﹣b2+2abi＝a所以a2﹣b2＝a，2ab＝﹣b，解得a=-1所以z的實部為-12，故選：AC．【點評】本題考查復數的基本概念，考查復數模的求法，是基礎題．（多選）7．（2024秋?內蒙古期末）已知復數z滿足z＝1+2i，其中i為虛數單位，則下列結論正確的是（）A．|z|＝|z| B．1z=-C．z3的虛部為﹣2 D．z2﹣2z+5＝0【考點】復數的實部與虛部；復數的模．【專題】對應思想；分析法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】ACD【分析】利用復數的運算逐項判斷即可．【解答】解：由z＝1+2i，得|z|=1+22=51z=1z3＝（1+2i）（1+2i）2＝（1+2i）（﹣3+4i）＝﹣11﹣2i，則z3的虛部為﹣2，故C正確；z2﹣2z+5＝（1+2i）2﹣2（1+2i）+5＝0，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查復數的基本概念，考查復數模的求法，是基礎題．（多選）8．（2024秋?河北期末）已知復數z，則下列說法正確的是（）A．若|z|＝2，則z＝±2 B．若z+2i∈R，則z的虛部為﹣2 C．若z2＞0，則z∈R D．若|z|＝1，則1≤|z﹣2|≤3【考點】復數的實部與虛部；復數的模．【專題】對應思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】BCD【分析】對于A，由已知可得a2+b2＝4，則復數z＝a+bi不確定，即可判斷；對于B，設由于z+2i∈R，可得b＝﹣2，即可判斷；對于C，由于z2＞0，可得ab＝0，即可判斷；對于D，由|z|＝1，可得在復平面內復數z對應的點的集合為以原點為圓心，以1為半徑的圓，即單位圓，由|z﹣2|表示單位圓上的點與點（2，0）的距離，即可求得|z﹣2|的范圍，即可判斷．【解答】解：對于A、設z＝a+bi（a，b∈R），由|z|＝2，得a2+b2＝4，復數z＝a+bi不確定，故A錯誤；對于B、設z＝a+bi（a，b∈R），由z+2i∈R，得b+2＝0，則b＝﹣2，故B正確；對于C、設z＝a+bi（a，b∈R），由z2＞0，得a2﹣b2+2abi＞0，則ab＝0，故a≠0，b＝0，故C正確；對于D、設z＝a+bi（a，b∈R），由|z|＝1，得a2+b2＝1，則在復平面內復數z對應的點的集合為以原點為圓心，以1為半徑的圓，即單位圓，又|z﹣2|表示單位圓上的點與點（2，0）的距離，所以|z﹣2|的最小值為2﹣1＝1，最大值為2+1＝3，所以1≤|z﹣2|≤3，故D正確．故選：BCD．【點評】本題考查復數的基本概念，考查復數的模，是基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2025?杭州一模）已知復數z1，z2的實部和虛部都不為0，滿足①|z1z2|=2；②|z1z2|＝2，則z1＝2+2i，z2＝2【考點】復數的實部與虛部．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】z1=2【分析】設z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），根據復數的乘除法運算，結合復數的模的計算公式，求出a，b，c，d的關系即可．【解答】解：設z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），則z1z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i，由|z1z所以c2可取a=所以z1故答案為：z1=2+2i；z2=22+22i．（答案不唯一，只要滿足a2+b【點評】本題主要考查復數模公式，以及復數的概念，屬于中檔題．10．（2024春?環縣校級期中）已知復數z＝（m2﹣3m+2）+（m2+3m﹣10）i是純虛數，其中i為虛數單位，則實數m的值為1．【考點】純虛數；虛數單位i、復數．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】1．【分析】根據純虛數的概念，列出關系式，求解即可得出答案．【解答】解：由已知可得，m2-3m+2=0故答案為：1．【點評】本題主要考查純虛數的定義，屬于基礎題．11．（2024秋?濱海新區校級期中）若復數a+3i1+2i是純虛數，則實數a的值是【考點】純虛數；復數的運算．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】﹣6．【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，以及純虛數的定義，即可求解．【解答】解：a+3則a+65=03-2a故答案為：﹣6．【點評】本題主要考查復數的四則運算，以及純虛數的定義，屬于基礎題．12．（2024春?天山區校級期中）已知（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，則y＝1．【考點】復數的相等．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】1．【分析】由復數分類的定義可知，實部和虛部都為0，則復數為0，聯立方程求解即可．【解答】解：由（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，得x+y-故答案為：1．【點評】本題主要考查復數相等的條件，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024春?色尼區校級期末）已知復數z=(1m-1)+(m2-2（1）復數z是實數；（2）復數z是虛數；（3）復數z是純虛數．【考點】純虛數；復數的運算；虛數單位i、復數．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】（1）m＝3或m＝﹣1；（2）m≠3且m≠﹣1且m≠0；（3）m＝1．【分析】（1）由題知，解方程即可得答案；（2）由題知，再解不等式即可得答案；（3）由題知，進而求解即可；【解答】（1）解：當z為實數時，有m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1．所以m＝3或m＝﹣1，復數z是實數．（2）當z為虛數時，有m2﹣2m﹣3≠0且m≠0，解得m≠3且m≠﹣1且m≠0．所以，當m≠3且m≠﹣1且m≠0時，復數z是虛數；（3）當z為純虛數時，有1m-1=0m2所以，當m＝1時，復數z是純虛數．【點評】本題主要考查實數、純虛數的定義，屬于基礎題．14．（2024春?固始縣校級期末）已知i是虛數單位，復數z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）當復數z為實數時，求m的值；（2）當復數z為純虛數時，求m的值；【考點】純虛數；虛數單位i、復數．【專題】轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】（1）m＝0或m＝2；（2）m＝3．【分析】（1）由復數的概念列出方程即可求；（2）由復數z為純虛數得到m的關系式即可求．【解答】解：（1）∵復數z為實數，∴m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝2；（2）∵復數z為純虛數，∴m2-5m+6=0【點評】本題考查復數的概念和計算能力，屬于基礎題．15．（2024春?閔行區校級期末）已知復數z是純虛數，（z+2）2﹣8i是實數．（1）求z；（2）若1z1=1z+2【考點】純虛數；復數的運算．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】（1）設z＝mi（m∈R且m≠0），代入（z+2）2﹣8i化簡，然后由復數的分類求解；（2）由（1）代入求得z1，再由復數模的性質與定義計算．【解答】解：（1）設z＝mi（m∈R且m≠0）．則（z+2）2﹣8i＝4﹣m2+（4m﹣8）i為實數，所以4m﹣8＝0，所以m＝2，所以z＝2i；（2）由（1）1z1=所以|z【點評】本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題．

考點卡片1．虛數單位i、復數【知識點的認識】i是數學中的虛數單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數叫做復數，把a＝0且b≠0的數叫做純虛數，a≠0，且b＝0叫做實數．復數的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數叫復數，其中2．復數的實部與虛部【知識點的認識】i是數學中的虛數單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數叫做復數，把a＝0且b≠0的數叫做純虛數，a≠0，且b＝0叫做實數．復數的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數叫復數，其中【解題方法點撥】﹣分解復數：通過給定的復數表達式，提取實部和虛部．﹣應用：在復數運算中，分開處理實部和虛部，簡化計算過程．【命題方向】﹣實部與虛部的提取：考查如何從復數表達式中提取實部和虛部．﹣實部虛部的運算：如何利用實部和虛部進行復數運算和解決問題．若復數z＝a2﹣3+2ai的實部與虛部互為相反數，則實數a＝_____．解：若復數z＝a2﹣3+2ai的實部與虛部互為相反數，則a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案為：﹣3或1．3．純虛數【知識點的認識】形如a+bi（a，b∈R）的數叫做復數，a，b分別叫做它的實部和虛部，當a＝0，b≠0時，叫做純虛數．純虛數也可以理解為非零實數與虛數單位i相乘得到的結果．【解題方法點撥】復數與復平面上的點是一一對飲的，這為形與數之間的相互轉化提供了一條重要思路．要完整理解復數為純虛數的等價條件，復數z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數的充要條件是a＝0，b≠0．實數集和虛數集的并集是全體復數集．虛數中包含純虛數，即由純虛數構成的集合可以看成是虛數集的一個真子集．【命題方向】純虛數在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點，考察學生的基本運算能力．常見的命題角度有：（1）復數的概念；（2）復數的模；（3）復數相等的四則運算；（4）復數在復平面內對應的點．4．復數的相等【知識點的認識】復數z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，當且僅當它們的實部和虛部分別相等，即a1＝a2和b1＝b2．【解題方法點撥】﹣比較分量：通過比較兩個復數的實部和虛部，判斷它們是否相等．﹣應用：在復數方程中使用復數相等的條件求解未知數．【命題方向】﹣復數相等的判定：考查如何根據復數的實部和虛部判斷復數的相等．﹣復數方程的