第20頁(yè)（共20頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷常考題之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?深圳校級(jí)期末）5個(gè)人排成一排，如果甲必須站在排頭或排尾，而乙不能站在排頭或排尾，那么不同站法總數(shù)為（）A．18 B．36 C．48 D．602．（2024秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）甲、乙等5人去聽同時(shí)舉行的4個(gè)講座，每人可自由選擇聽其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座，其他人聽的講座互不相同的種數(shù)為（）A．12 B．16 C．18 D．243．（2024秋?衡水期末）給圖中A，B，C，D，E五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種4．（2024秋?定西期末）如圖，給編號(hào)為1，2，3，…，6的區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，中心對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域4）所涂顏色相同．若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）A．60種 B．80種 C．100種 D．125種5．（2024秋?日照期末）如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連通起來(lái)，則建設(shè)方案有（）A．12種 B．16種 C．20種 D．24種二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025春?新余校級(jí)月考）在一個(gè)圓環(huán)隧道內(nèi)等間距裝有若干個(gè)完全一樣的開關(guān)，每個(gè)開關(guān)只有“開”或“關(guān)”兩種狀態(tài)（這些開關(guān)總數(shù)和標(biāo)記為“開”或“關(guān)”的開關(guān)個(gè)數(shù)均未知）．小郅同學(xué)位于隧道內(nèi)部，從某個(gè)標(biāo)記為“開”的開關(guān)開始，以下策略一定可以一次確定開關(guān)個(gè)數(shù)的選項(xiàng)為：（）A．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開”的開關(guān) B．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（包括第1個(gè)開關(guān)），直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開”的開關(guān)，計(jì)數(shù)為m（不包括最后一個(gè)開關(guān)），將其標(biāo)記為“關(guān)”后，從這個(gè)“關(guān)”的開關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” C．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），計(jì)數(shù)發(fā)現(xiàn)第m（m為合數(shù)）個(gè)開關(guān)為“開”，將其標(biāo)記為“關(guān)”后從這個(gè)“關(guān)”的開關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” D．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），并將沿途的m﹣1個(gè)開關(guān)均標(biāo)記為“開”，第m個(gè)開關(guān)標(biāo)記為“關(guān)”，再?gòu)倪@個(gè)“關(guān)”的開關(guān)開始逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），直至第一次遇到狀態(tài)為“關(guān)”的開關(guān)，計(jì)數(shù)為n（包括最后1個(gè)開關(guān)），n＜m﹣1（多選）7．（2024春?宿遷期中）（多選）下列說(shuō)法中正確的有（）A．4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有43種報(bào)名方法 B．4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有34種報(bào)名方法 C．4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍（每項(xiàng)冠軍只允許一人獲得），共有43種可能結(jié)果 D．4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍（每項(xiàng)冠軍只允許一人獲得），共有34種可能結(jié)果（多選）8．（2024秋?建華區(qū)校級(jí)月考）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．可組成300個(gè)不重復(fù)的四位數(shù) B．可組成156個(gè)不重復(fù)的四位偶數(shù) C．可組成120個(gè)能被5整除的不重復(fù)四位數(shù) D．若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個(gè)數(shù)字為2301三．填空題（共4小題）9．（2025?海安市開學(xué)）現(xiàn)有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，同色球不加區(qū)分，將這5個(gè)球排成一列，則不同的排法有種．10．（2024秋?太原期末）十六進(jìn)制中分別用0、1、2、?、9、A、B、C、D、E、F表示十進(jìn)制中0、1、2、?、9、10、11、12、13、14、15這十六個(gè)數(shù)字．現(xiàn)將0、1、2、?、9、A、B、C、D、E、F這十六個(gè)數(shù)字全部填入表中16個(gè)空格中（只需補(bǔ)充未填數(shù)字），要求每行從左到右，每列從上到下，依次地增大，則所填空格的不同方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）．948A11．（2024秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）有4名學(xué)生報(bào)名參加“行知杯”足球賽和“靈辰杯”籃球賽兩項(xiàng)比賽，每人至少報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加人數(shù)不限，則不同的報(bào)名結(jié)果有種．12．（2024春?安順校級(jí)期中）如圖，用4種不同的顏色對(duì)A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?于洪區(qū)校級(jí)期末）用1，2，3，4，5，6，7組成無(wú)重復(fù)數(shù)字七位數(shù)，滿足下述條件的七位數(shù)各有多少個(gè)？（Ⅰ）奇數(shù)都排在一起；（Ⅱ）偶數(shù)不相鄰；（Ⅲ）三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列．14．（2024秋?華池縣校級(jí)期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)．15．（2024秋?白銀校級(jí)期末）（1）如圖1所示，分別給A，B，C，D，4個(gè)區(qū)域涂色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色可供選擇，要求相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，同一區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方法共有多少種？（2）如圖2所示，用紅、黃、藍(lán)3種顏色給四棱錐的頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)不能同色，則不同的涂色方法共有多少種？

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷常考題之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理參考答案與試題解析題號(hào)12345答案BDDAB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?深圳校級(jí)期末）5個(gè)人排成一排，如果甲必須站在排頭或排尾，而乙不能站在排頭或排尾，那么不同站法總數(shù)為（）A．18 B．36 C．48 D．60【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】B【分析】本題分三步，先排甲，再排乙，其他的任意排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：甲必須站在排頭或排尾，甲有2種站法，乙不能站在排頭或排尾，乙有3種站法，其他3人任意排，故有2×3×A33＝36種，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分步，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）甲、乙等5人去聽同時(shí)舉行的4個(gè)講座，每人可自由選擇聽其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座，其他人聽的講座互不相同的種數(shù)為（）A．12 B．16 C．18 D．24【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】方程思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】先安排甲乙，然后安排其他人，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案．【解答】解：甲、乙等5人去聽同時(shí)舉行的4個(gè)講座，每人可自由選擇聽其中一個(gè)講座，甲乙兩人聽同一個(gè)講座，方法數(shù)有C4其他人聽不同的講座，方法數(shù)有A3∴恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座的種數(shù)為4×6＝24種．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（2024秋?衡水期末）給圖中A，B，C，D，E五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【考點(diǎn)】染色問題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別討論區(qū)域BCD和區(qū)域AE的染色方案，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于區(qū)域BCD，三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有A43對(duì)于區(qū)域AE，若A與D選擇相同，E有2種選法，若A與D選擇不同，A有1種選法，E有1種選法，則區(qū)域AE有2+1×1＝3種選法，則有24×3＝72種選法，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?定西期末）如圖，給編號(hào)為1，2，3，…，6的區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，中心對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域4）所涂顏色相同．若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）A．60種 B．80種 C．100種 D．125種【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理依次涂色即可．【解答】解：因?yàn)橹行膶?duì)稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域4）所涂顏色相同，所以只需確定區(qū)域1，2，3的顏色，即可確定所有區(qū)域的涂色，先涂區(qū)域1，有5種選擇，再涂區(qū)域2，有4種選擇，最后涂區(qū)域3，有3種選擇，故不同的涂色方案有5×4×3＝60種．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?日照期末）如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連通起來(lái)，則建設(shè)方案有（）A．12種 B．16種 C．20種 D．24種【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先求出總數(shù)，再減去特例，即可求解．【解答】解：要把4個(gè)小島連接起來(lái)，共有6個(gè)位置可以建設(shè)橋梁，要建三座有C63=20故建設(shè)方案有20﹣4＝16．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025春?新余校級(jí)月考）在一個(gè)圓環(huán)隧道內(nèi)等間距裝有若干個(gè)完全一樣的開關(guān)，每個(gè)開關(guān)只有“開”或“關(guān)”兩種狀態(tài)（這些開關(guān)總數(shù)和標(biāo)記為“開”或“關(guān)”的開關(guān)個(gè)數(shù)均未知）．小郅同學(xué)位于隧道內(nèi)部，從某個(gè)標(biāo)記為“開”的開關(guān)開始，以下策略一定可以一次確定開關(guān)個(gè)數(shù)的選項(xiàng)為：（）A．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開”的開關(guān) B．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（包括第1個(gè)開關(guān)），直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開”的開關(guān)，計(jì)數(shù)為m（不包括最后一個(gè)開關(guān)），將其標(biāo)記為“關(guān)”后，從這個(gè)“關(guān)”的開關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” C．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），計(jì)數(shù)發(fā)現(xiàn)第m（m為合數(shù)）個(gè)開關(guān)為“開”，將其標(biāo)記為“關(guān)”后從這個(gè)“關(guān)”的開關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” D．從第1個(gè)開關(guān)開始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），并將沿途的m﹣1個(gè)開關(guān)均標(biāo)記為“開”，第m個(gè)開關(guān)標(biāo)記為“關(guān)”，再?gòu)倪@個(gè)“關(guān)”的開關(guān)開始逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開關(guān)），直至第一次遇到狀態(tài)為“關(guān)”的開關(guān)，計(jì)數(shù)為n（包括最后1個(gè)開關(guān)），n＜m﹣1【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【答案】BD【分析】利用，邏輯推理來(lái)計(jì)數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A．顯然錯(cuò)誤，例如5個(gè)燈，第1、4個(gè)為“開”，不符合題意；對(duì)于B．發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開關(guān)為“關(guān)”只能是小郅手動(dòng)關(guān)上的，而順時(shí)針途經(jīng)過(guò)程中沒有其他“開”的開關(guān)，所以m為開關(guān)總數(shù)，符合題意；對(duì)于C．順時(shí)針沿途可能遇到狀態(tài)為“開”的開關(guān)，所以可能繞了不止一圈，例如，開關(guān)總數(shù)為5，取m＝10，繞了兩圈，開關(guān)總數(shù)為10的非1因子（所以m取合數(shù)時(shí)都可能無(wú)法一次確定開關(guān)個(gè)數(shù)），不符合題意；對(duì)于D．第1～m﹣1個(gè)開關(guān)均為“開”，第m個(gè)開關(guān)為“關(guān)”，假設(shè)環(huán)繞不足一圈，則n＞m﹣1，矛盾，于是環(huán)繞數(shù)大于等于一圈；而不論環(huán)繞是否多于一圈，兩個(gè)“關(guān)”的開關(guān)之間一定間隔一圈，即逆時(shí)針一定只環(huán)繞一圈，所以n為所求，符合題意．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及策略的選擇，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024春?宿遷期中）（多選）下列說(shuō)法中正確的有（）A．4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有43種報(bào)名方法 B．4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有34種報(bào)名方法 C．4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍（每項(xiàng)冠軍只允許一人獲得），共有43種可能結(jié)果 D．4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍（每項(xiàng)冠軍只允許一人獲得），共有34種可能結(jié)果【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】利用計(jì)算原理，轉(zhuǎn)化求解判斷選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：對(duì)于A、B，4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，每人都有3種選擇，共有34種報(bào)名方法，所以A錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于C、D，4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍（每項(xiàng)冠軍只允許一人獲得），每個(gè)冠軍有4種可能，共有43種可能結(jié)果，所以C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理以及排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是中檔題．（多選）8．（2024秋?建華區(qū)校級(jí)月考）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．可組成300個(gè)不重復(fù)的四位數(shù) B．可組成156個(gè)不重復(fù)的四位偶數(shù) C．可組成120個(gè)能被5整除的不重復(fù)四位數(shù) D．若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個(gè)數(shù)字為2301【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】應(yīng)用分類分步原理，結(jié)合分組討論的方法研究不同選項(xiàng)中的計(jì)算問題：A中6個(gè)數(shù)中選4個(gè)全排列再排除首位為0的情況或首位在1、2、3、4、5任選一個(gè)數(shù)再?gòu)氖Ｓ鄶?shù)中選3個(gè)數(shù)全排；B中分末位為0，為2、4兩種情況分別計(jì)數(shù)再求和；B中分末位為0，為5兩種情況分別計(jì)數(shù)再求和；D中分首位為1、2、???依次計(jì)數(shù)，找到第85個(gè)數(shù)字的位置再確定數(shù)字即可．【解答】解：A選項(xiàng)，有C51A5B選項(xiàng)，分為兩類：0在末位，則有A50不在末位，則有C2所以共有60+96＝156種，故B正確；C選項(xiàng)，分為兩類：0在末位，則有A55在末位，則有C4所以共有60+48＝108種，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，首位為1的有A53=60個(gè)；前兩位為20的有A42=12個(gè)所以第85個(gè)數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?海安市開學(xué)）現(xiàn)有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，同色球不加區(qū)分，將這5個(gè)球排成一列，則不同的排法有10種．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】若兩個(gè)紅球不相鄰，用插空法，則有C42種方法，若兩個(gè)紅球相鄰，用捆綁法則有C【解答】解：若兩個(gè)紅球不相鄰，用插空法，則有C42=6種方法，若兩個(gè)紅球相鄰，用捆綁法則有故共有6+4＝10種不同的方法，故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)基本原理的應(yīng)用，組合數(shù)公式，注意分兩個(gè)紅球不相鄰，兩個(gè)紅球相鄰，兩種情況討論．10．（2024秋?太原期末）十六進(jìn)制中分別用0、1、2、?、9、A、B、C、D、E、F表示十進(jìn)制中0、1、2、?、9、10、11、12、13、14、15這十六個(gè)數(shù)字．現(xiàn)將0、1、2、?、9、A、B、C、D、E、F這十六個(gè)數(shù)字全部填入表中16個(gè)空格中（只需補(bǔ)充未填數(shù)字），要求每行從左到右，每列從上到下，依次地增大，則所填空格的不同方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）108．948A【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】108．【分析】分析可知，表格的左上角必為0，右下角必為F，則第四行和第四列的空格只能放B、C、D、E，剩余空格只能放1、2、3、5、6、7，對(duì)0的左邊和下方所放的數(shù)字進(jìn)行分類討論，結(jié)合分步和分類計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【解答】解：由題意可知，表格的左上角必為0，右下角必為F，由題意可知，如下表的空格中只能填1、2、3、5、6、7，048剩下的B、C、D、E只能放在第四列和第四行的空格中，9AF故只需確定第四列的兩個(gè)空格即可，則第四行的兩個(gè)空格就可以確定了，此時(shí)只需在B、C、D、E中選擇2個(gè)字母由上到下依次增大的順序填入即可，則第四行的兩個(gè)空格只需在最后兩個(gè)字母按照由左到右依次增大填入即可，此時(shí)，不同的填入的方法種數(shù)為C42=6種，接下來(lái)考慮1、2、3、5、6①當(dāng)把3放入此處時(shí)，1、2只能按照如下表的方式填入，031428此時(shí)，剩下的三個(gè)格子要放5、6、7，只需考慮7的放置．如7放在如下位置，則剩余的兩個(gè)空，5、6可以隨意填入，此時(shí)有2種填法；0314728若7放在如下位置，則5、6只能按照如下位置放置；035146278此時(shí)，不同的放法種數(shù)為3種；②當(dāng)把2放在如下位置時(shí)，1只能放在0的下方，02△14△8此時(shí)，3只能放在△的任一位置，剩余3個(gè)位置放5、6、7，也是3種放法，此時(shí)有2×3＝6種放法；③若1放在如下位置，此時(shí)2可以放在1的右邊或0的下方，0148當(dāng)把2放在0的下方時(shí)，01△24△8則3可以放在△的任一位置，剩余三個(gè)空格放5、6、7，有3種放法，當(dāng)把2放在1的右邊時(shí)，則3只能放在0的下方，012348剩余的三個(gè)格子放5、6、7，有3種放法，此時(shí)有3種放法，此時(shí)有2×3＝6種不同的放法．綜上所示，不同的填法種數(shù)為6×（3+6+3+6）＝108種．故答案為：108．【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．11．（2024秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）有4名學(xué)生報(bào)名參加“行知杯”足球賽和“靈辰杯”籃球賽兩項(xiàng)比賽，每人至少報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加人數(shù)不限，則不同的報(bào)名結(jié)果有81種．【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】81．【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：因?yàn)槊咳酥辽賵?bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加人數(shù)不限，所以每名學(xué)生都有3種報(bào)名結(jié)果，只報(bào)“行知杯”足球賽，或只報(bào)“靈辰杯”籃球賽，或兩個(gè)比賽都報(bào)，所以4名學(xué)生不同的報(bào)名結(jié)果有3×3×3×3＝81種．故答案為：81．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024春?安順校級(jí)期中）如圖，用4種不同的顏色對(duì)A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有48．【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】48．【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可．【解答】解：用4種不同的顏色對(duì)A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，對(duì)于區(qū)域A，有4種涂色方法，對(duì)于區(qū)域B，有3種涂色方法，對(duì)于區(qū)域C，有2種涂色方法，對(duì)于區(qū)域D，有2種涂色方法，則由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得4×3×2×2＝48種涂色方法．故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?于洪區(qū)校級(jí)期末）用1，2，3，4，5，6，7組成無(wú)重復(fù)數(shù)字七位數(shù)，滿足下述條件的七位數(shù)各有多少個(gè)？（Ⅰ）奇數(shù)都排在一起；（Ⅱ）偶數(shù)不相鄰；（Ⅲ）三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列．【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）576個(gè)；（Ⅱ）1440個(gè)；（Ⅲ）840個(gè)．【分析】（Ⅰ）利用捆綁法即可求解；（Ⅱ）利用插空法即可求解；（Ⅲ）先選3個(gè)位置排偶數(shù)，再在剩下的位置排奇數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）①先將4個(gè)奇數(shù)排好，有A4②將四個(gè)數(shù)字看成一個(gè)整體，與其他3個(gè)數(shù)字全排列，有A4則有A44（Ⅱ）①先將4個(gè)奇數(shù)排好，有A4②排好后，有5個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排3個(gè)偶數(shù)，有A5則有A44（Ⅲ）①在7個(gè)數(shù)位中任選3個(gè)，將三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列，有C7②剩下的4個(gè)數(shù)字安排在剩下的4個(gè)數(shù)位上，有A4則有C73【點(diǎn)評(píng)】本題考查了捆綁法和插空法的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2024秋?華池縣校級(jí)期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)．【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）600；（2）193．【分析】（1）根據(jù)題意，先排首位，再排其它位置，進(jìn)而結(jié)合分步計(jì)數(shù)乘法原理得到答案；（2）根據(jù)所給數(shù)字，考慮首位數(shù)字是1和2兩種情況，當(dāng)首位數(shù)字為1時(shí)都比240135小，當(dāng)首位數(shù)字為2時(shí)考慮比240135小的數(shù)字，進(jìn)而根據(jù)排列數(shù)公式和分類加法計(jì)數(shù)原理得到答案．【解答】解：（1）由于是五位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字有A5其它位置有A5所以用0，1，2，3，4，5可以組成5×120＝600個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．（2）由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A5首位數(shù)字為2，萬(wàn)位上為0，1，3中的一個(gè)有3A所以從小到大排列，240135是第A55+3即所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．（2024秋?白銀校級(jí)期末）（1）如圖1所示，分別給A，B，C，D，4個(gè)區(qū)域涂色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色可供選擇，要求相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，同一區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方法共有多少種？（2）如圖2所示，用紅、黃、藍(lán)3種顏色給四棱錐的頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)不能同色，則不同的涂色方法共有多少種？【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）48；（2）6．【分析】（1）應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理及排列數(shù)計(jì)算即可；（2）應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【解答】解：（1）先涂A，B，C區(qū)域，有A43=24種涂色方法，再涂D所以共有24×2＝48種涂色方法；（2）先給頂點(diǎn)P涂色，有3種涂色方法，再給頂點(diǎn)A，C涂色，有2種涂色方法，最后給頂點(diǎn)B，D涂色，有1種涂色方法，所以有3×2×1＝6種涂色方法．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事需要分成兩個(gè)步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個(gè)步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：完成一件事的n個(gè)步驟相互依存，必須依次完成n個(gè)步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】如果完成一件事情有n個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則可使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分步；（2）對(duì)每一步的方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分步乘法計(jì)數(shù)原理求積；【命題方向】與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．例：從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.432B.288C.216D.108分析：本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，先從4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中取2個(gè)共C42C32解答：∵由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，第一步先從4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中取2個(gè)共C42第二步再把4個(gè)數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共A21∴所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)共有18×12＝216種．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查分步計(jì)數(shù)原理，是一個(gè)數(shù)字問題，數(shù)字問題是排列中的一大類問題，把排列問題包含在數(shù)字問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．2．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理共同點(diǎn)都是計(jì)數(shù)原理，即統(tǒng)計(jì)完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨(dú)立，且每類方案中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事n個(gè)步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)