第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省名校聯盟高一下學期3月校際聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量AB=?2,1,AC=A.1,5 B.?1,?5 C.?5,?3 D.5,32.已知i是虛數單位，則2i1+i=(

)A.1+i B.1?i C.?1?i D.?1+i3.在?ABC中，已知AB=1,AC=2,∠BAC=π3，則?ABC的面積為(

)A.32 B.3 C.14.在?ABC中，D在線段BC上，AD為∠BAC的角平分線，若AB=2AC，則(

)A.AD=14AB+34AC 5.如圖，在測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C,D.現測得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=l，在點C測得塔頂A的仰角為θ，則塔高AB=(

)

A.l?tanθsinβsinα+βB.l?6.已知復數z=a+bia,b∈R可以表示為z=r(cosθ+isinθ)，其中r=a2+b2，θ是以x軸非負半軸為始邊，向量OZ所在射線為終邊的角．已知z1=r1(cosθA.2,?4 B.?4,2 C.?2,4 D.4,?27.如圖所示，?ABC的三條邊均與圓O相切，其中BC=20,∠ABC=120°,∠ACB=20°，則圓O的半徑約為(

A.5.861 B.5.674 C.5.076 D.4.9268.已知向量a,b,e是平面向量，e=1，若非零向量a與e的夾角為60°，向量b滿足A.23+1 B.23?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知平面向量a=(2,1),a?bA.a⊥b B.a+b=5

C.向量a+b與a的夾角的余弦值為210.設z1,z2A.z1z2=z1?z2 B.z1z211.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一條直線上，且重心到垂心的距離是重心到外心距離的兩倍．若?ABC的外心為O，重心為G，垂心為H,M為邊BC的中點，且AB=5,AC=3，則下列結論正確的有(

)A.AG?BC=?163 B.AO?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i為虛數單位，若復數z=1+ia?2ia∈R為純虛數，則a的值為

13.如圖，在?ABC中，點D滿足BC=3BD，過點D的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點E,F，設AB=xAE,AC=yAF，則14.在圓內接四邊形ABCD中，AC=4,AB=2AD,∠BAD=60°，則?BCD面積的最大值為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在三角形ABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點，已知BE=3,CD=6,BC=2(1)求三角形ABC的面積；(2)求三角形ABC的周長．16.(本小題12分)已知復數z=a+bia,b∈R，其中i(1)若|z|2?4(2)若z=1+2i+3i2+4i17.(本小題12分)已知a,(1)若AB=a+2(2)試確定實數k，使ka+b(3)若a=2,1,b18.(本小題12分)已知三角形ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且滿足acos(1)求角A的大小；(2)若三角形ABC的面積為10，內切圓的半徑為1，求a；(3)若∠BAC的角平分線交BC于D，且AD=4，求三角形ABC面積的最小值．19.(本小題12分)n個有次序的實數a1,a2,???,an所組成的有序數組a1,a2,???,an稱為一個n維向量，其中aii=1,2???,n稱為該向量的第i個分量．特別地，對一個n維向量a(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．(3)已知k個兩兩垂直的2024維信號向量x1,x2,???,xk參考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.A

6.B

7.C

8.B

9.ABD

10.AB

11.ACD

12.?2

13.3

14.315.(1)如圖，因D,E分別是邊AB,AC的中點，則設AE=EC=x,AD=DB=y．注意到∠ADC+∠CDB=π,∠AEB+∠BEC=π，則cos∠ADC+則由余弦定理：Ay2解得x=13y=2.則在三角形由余弦定理可得cosA=從而sinA=則三角形ABC的面積為：12(2)由(1)易得三角形ABC的周長為AB+AC+BC=4+2

16.(1)首先，復數的模長平方∣z∣2=代入方程得：a2展開并整理實部和虛部：a2根據復數相等的條件，得到兩個方程：a解得b=1，代入第一個方程：a2因此，復數z=2+i；(2)考慮S=n=0則iS=n=0相減得：S?iS=1+其中，n=12024in=i因此：S解得：S=1?2025i因此，z=1013?1012i，即a=1013，b=?1012，故a?b=1013?(?1012)=2025．

17.(1)AD所以AD=4a+8b又AD與AB

有公共點A，因此A,B,D

三點共線．(2)由于v1

和v2

共線，存在實數λ

ka+b和a則有k=λ1=λ2?k，解得λ=k=1所以k=1．(3)a則a+b=由a+則a+b?

18.(1)由正弦定理邊角互化可得：a又sinB=sinA+C從而3sinA則3sinA?cosA=1?2故A=π(2)因三角形ABC的面積為S=10，內切圓的半徑為r=1．則S=12a+b+c又由(1)，S=1則由余弦定理：cosA=化簡后可得：400?40a80(3)如圖，過D點做AB，AC垂線，垂足為E，F．由(1)可得∠BAC=π3，則又由角平分線性質可得DE=DF=ADsinπ又注意到∠AEF+∠EDF+∠DFA+∠FAE=π，∠AEF=∠DFA=π則∠EDF=2π3?∠EDB+FDC=π3又DE=DF=2，則BE=2tanθ,FC=2tan故三角形ABC面積為：13注意到tanθ+則S=36?2tanθ注意到tanθ>0,要使tanθtanπ則S=36?2tanθ

19.解：(1)根據題意，結合維向量的定義，則兩兩垂直的4維信號向量可以為：1,1,1,1,(2)假設存在14個兩兩垂直的14維信號向量y1因為將這14個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內積不變，所以，不妨設y1因為y1?y3=0，所以y設