浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

2

1.已知集合人={0,1,2,3},B={x\x-2x<0}t則4nB=()

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{1,2,3)

3.設二￡(0,兀)，條件〃:sina=g條件q:cosa=今,則〃是q的(

)

A,充分不要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設直線/:x—2)，—/=(),圓c：(x-l)2+(y-2)2=1,則/與圓C()

A.相交B.相切C.相離D.以上都有可能

5.等差數列｛《,｝的首項為正數，公差為"，S”為｛q｝的前〃項和，若出=3,且邑，S.+S.,

Ss成等比數列，則d=()

99

A.1B.2C.-D.2或一

22

6.在△ABC中，inB=—,C=I2O°,6C=2,則△/：€?的面積為()

s7

A.6>/3B.45/3

C.373D.2G

7.金華市選拔2個管理型教師和4個教學型教師去新疆支教，把這6個老師分配到3個學

校，要求每個學校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個學校，則不同的分配方案有

()

A.72種B.48種C.36種D.24種

8.已知cos(a-尸)=一，sinasin/7=一--,則cos%-sinT=()

312

A1

A,2IcID-i

二、多選題

9.從某小區抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的用電量都在50~350KW.h

之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖

中六個小矩形的面積從左到右依次為罵（i=l,2,L,6）,則（）

A.k的值為0.0044

B.這100戶居民該月用電量的中位數為175

C.用電量落在區間［150,350）內的戶數為75

D.這100戶居民該月的平均用電量為次（501+25應

r=l

10.已知m>>1,則（）

ahn

A.h>aB.m>fr

C.log聲>log,/D.bg“〃>log“"

11.在矩形A8CD中，AB=2AD,E為線段AB的中點，將△4OE沿直線DE翻折成

△AOE.若M為線段AC的中點，則在△AQE從起始到結束的翻折過程中，（）

A.存在某位置，使得力

B.存在某位置，使得C￡_LA。

C.MB的長為定值

D.M8與CD所成角￡勺正切值的最小值為g

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知單位向量4,滿足|4-26|=6，則。與〃的夾角為.

13.已知函數/(1)=\必；：；,若/(“在點(IJ⑴)處的切線與點(,%,/(%))處的切線互相

垂直，則.％=

22

=1(4>4>0)與雙曲線C?:2-今=13>0也>0)有相同的焦距,

14.設橢圓G：\+

它們的離心率分別為，，%橢圓G的焦點為「，尸2,c,,G在第一象限的交點為P,若

點。在直線y=x上，且/626二90。，則f+f的值為

%q

四、解答題

15.為鼓勵消費，某商場開展積分獎勵活動，消費滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次

點數之和等于7,則獲得5個積分：若點數之和不等于？，則獲得2個積分.

(1)記兩次點數之和等于7為事件A,第一次點數是奇數為事件8,證明：事件A,B是獨立

事件；

(2)現有3位顧客參與了這個活動，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望.

16.設/(X)=SillVCOSX十?COSt￥,AG0,-J.

(1)若。=1,求/(x)的值域；

⑵若/(X)存在極值點，求實數。的取值范圍.

17.如圖，在三楂柱48小A4G中，△48C是邊長為2的正三角形，側面84GC是矩形，

AA=A8.

(I)求證：三棱錐A-ABC是正三棱錐;

(2)若三棱柱ABC-44G的體積為2&，求直線AG與平面AA8避所成角的正弦值.

18.設拋物線U.y2=2〃M〃>0),直線4-1是拋物線C的準線，且與x軸交于點B,過點

B的宣線/與拋物線C交于不同的兩點M,N,是不在直線/上的一點，直線人加，AN

分別與準線交于P，Q兩點.

(1)求拋物線。的方程；

(2)證明：忸“=忸

⑶記△人MN,△APQ的面積分別為邑，若號=2星，求直線/的方程.

19.設〃為素數，對任意的非負整數〃，記〃=%p°+q/+…+4P*,

%(")=%+4+/+…+%其中q￡{0,1,2,…,p-l}(OqWA),如果非負整數〃滿足叫(〃)

能被〃整除，則稱〃對p“協調

(1)分別判斷194,195,196這三個數是否對3“協調”，并說明理由;

⑵判斷并證明在P),/人+1,p%+2,…，〃2〃+(〃2-1)這p2個數中，有多少個數對"，協

調”；

⑶計算前p2個對p“協調”的非負整數之和.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】根據一元二次不等式求解8={x|0<x<2},即可由交集求解.

【詳解】fi={x|x2-2x<0}={x|O<x<2},故4「8={1},

故選：B

2.A

【分析】根據復數的除法運算即可求解.

【詳解】_L=e)3

解,2+i(2+i)(2-i)5，

故選：A

3.B

【分析】根據必要不充分條件的定義，結合同角三角函數基本關系，即可求解.

【詳解】由于aw(O,兀)，

若sina=L則cosa=±Jl-sin%=±且,充分性不成立，

22

若cosa=立，則sina=Jl-cos%二,必要性成立，

22

故〃是q的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線/的距離，與半徑比較即可判斷求解.

【詳解】圓C:(X-1)2+()，-2)2=1的圓心為C(L2),半徑r=l,

則圓心(到直線/的距離d="一，&=%3?1>1=『,

故直線/與圓。相離.

故選：C.

5.B

【分析】由等比中項的性質得到邑S5=(S1+S3『，結合求和公式得到d=-3q或d=2q,再

由%=3,q>0計算可得.

【詳解】因為*,S+S3，S5成等比數列,

答案第I頁，共13頁

所以S2s5=(S1+S3『，即(2q+4)(56+1(W)=(4%+,

即(3《+州2q-d)=0,

所以4=-3q或d=2q,

又%=3,at>0,

3

當〃二-3卬，則4+d=4-3q=3,解得4=一耳（舍去）,

當d=2q,則4+d=4+2q=3,解得q=1,則d=2.

故選：B

6.D

【分析】根據兩角差的正弦公式求出sinA,再由正弦定理求出〃，代入面積公式即可得解.

【詳解】由潁竟,

sinA=sin(60°-5)=sin60°cosB-cos60°sinB—xJl----x,

V72V492714

2x叵

q=上，即匹竺2=—_=4,

由正弦定理,

sinAsinBsinAyj2\

所以S△板=—abs\nC=-x2x4x

22

故選：D

7.A

【分析】首先取2名教學型老師分配給一個學校，再把剩余老師分成A；組，然后分給剩余

2個不同學校有A；種不同分法，再由分步乘法計數原理得解.

【詳解】選取一個學校安排2名教學型老師有C；C；種不同的方法，

剩余2名教學型老師與2名管理型教師，各取I名，分成兩組共有A；種，

這2組分配到2個不同學校有A；種不同分法，

所以由分步乘法計數原理知，共有=3x6x2x2=72種不同的分法.

故選：A

8.C

答案笫2頁，共13頁

【分析】由已知結合兩角差的余弦公式可先求出cosacos/,然后結合二倍角公式及和差化

積公式進行化簡即可求解.

【詳解】由cos(a—/?)=：得cosacos/?+sinasin/?=；,

又sinasin4=---,所以cosacos/?=2，

1212

所以

,_.,1+cos2a_l-cos2夕_cos2a+cos26_cos[(a+1)+(a—4)]+cos[(a+6)一(a—6)]

cosaip-22-22

=cos(a+/7)cos(nr-/?)

=(cosacos/y-sin?sin/7)(cos?cos/y+sinasin0)

,51、，5rill

=(-------1-------)X(----------------)=-X-=一.

12121212236

故選：C.

9.AD

【分析】根據頻率分布直方圖中頻率之和為1即可判斷A,根據中位數的計算即可求解B,

根據頻率即可求解C,根據平均數的計算即可判斷D.

【詳解】對于A,由頻率分布直方圖的性質可知，

(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x50=1,

解得x=0.0044,故A正確；

對于B,因為(0.0024+0.0036)x50=0.3<0.5,(O.(X)24+0.0036+O.(X)6())x50=0.6>0.5,

所以中位數落在區間[150,200)內，設其為機，

則0.3+。〃—150)x0.006=0.5,解得〃?川83,故B錯誤；

對于C,用電量落在區間[150,350)內的戶數為

(O.(X)6()+0.0044+0.0024+0.0012)x50x10()=70,故C錯誤；

對于D,這100戶居民該月的平均用電量為

6

(50+25)山+(50x2+25應++(50x6+25)穌=^(50/+25)再，故D正確.

r=l

故選：AD.

10.ACD

【分析】利用指數函數和對數函數的單調性求解即可.

【詳解】對于A,因為所以指數函數)，="在R上單調遞減，且。<匕，所以夕>人

答案第3頁，共13頁

因為哥函數y=/在(。，+8)上單調遞增，且所以〃</九

所以人">犬，故A正確，

對于B,取加=5,n=2,Wij52<25,故B錯誤；

對于C,因為對數函數y=logbX在3+8)上單調遞減，y=log”d在(0,+8)上單調遞增，

所以log/,a>log//=1,log"?<log,?w=l,

所以log”a>log”,"，故C正確;

對于D,因為丁=Inx在(0,+oo)上單調遞增，

所以Ina<InZ?<0,Inm>0,則log(,m=詈^>黑;=log/(m,

inaIn/;

因為對數函數J=log,X在(0,+oo)上單調遞減，

所以所/>10gont>lo&_m,故D正確.

故選：ACD.

11.BCD

【分析】當AC，。￡時，可得出平面A。。，得出。c_LOE推出矛盾判斷A,當。4

平面ACOE時可判斷B,艱據等角定理及余弦定理判斷C,建系利用向量法判斷D.

【詳解】如圖，

設OE的中點0,連接0C0A,則。4，?！?若AC_LD￡,由A0,4Cu

平面AOC,可得。石/平面4。。，OCu平面AOC，則可證出OCJLOE，顯然矛盾

(CD^CE),故A錯誤：

因為CE_LO￡,所以當04J.平面8a)石，由CEu平面ACD石可得Q4_LCE,由

OXADE-O,Q4,力Eu平面即可得CE_L平面ADE,再由A^u平面4力后，則

答案第4頁，共13頁

有CE_LA。，故B正確;

取CD中點N,MN〃AD,MN=gAQ,BN//ED,且NMN氏NAQE方向相同，

所以=七為定值，所以8W=4MN?+BN?-2MN,BMcos/MNB為定值，故C

正確；

不妨設A8=2&，以OSQV分別為X），軸，如圖建立空間直角坐標系，

設幺。入=夕,則《（（J,cos。,sin。）,8（2,1,0）,C（l,2,+蜉）,。（-1,0,0）,

DC=（2,2,0）,1|BM|=^,設MB與8所成角為巴

I222y2

\DCBM

則8s展辰而7￥玲嘰專二平,即M"與所成最小角的余弦值為半，此

時lan8=g,故D正確.

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：處理折疊問題，注意折前折后可變量與不變量，充分利用折前折后不

變的量，其次靈活運用線面垂直的判定定理與性質定理是研究垂直問題的關鍵所在，最后不

容易直接處理的最值問題可考慮向顯法計算后得解.

12.y（或寫成60。）

【分析】將等式la-2切=6兩邊平方即可.

【詳解】因為|。-2以2=/-4〃./7+4/=3,

所以

所以COS〈Z,/＞〉=L,??,/??€[0,7t],??,/??=—.

23

故答案為：—

J

13.—/—0.5

2

【分析】分別求出函數在兩段上的導數，根據導數的幾何意義求出切線斜率，再由切線垂直

得解.

【詳解】當x>0時，/'（1）=■!■>（）,所以r⑴=1,且點（$J（Xo））不在y=1nx上,

X

答案笫5頁，共13頁

否則切線不垂直，故與40,

當xvO時,f\x)=2x,所以尸"0)=2與,

由切線垂直可知，2xoxl=-l,解得

故答案為：-g

14.2

【分析】設橢圓與雙曲線相同的焦距為2c,先根據題意得出點尸的坐標(c>0),再將點P分

別代入橢圓和雙曲線的方程中，求離心率，即可得解.

【詳解】設橢圓與雙曲線相同的焦距為2c,則。；+”=已狀-照=/,

又/￡/瑪=90。,所以|“卜自耳〉|=c,

乂點P在第一象限，且在直線)'=不上，

所以。與C,與C,又點〃在橢圓上，

解得1=但?必=安區,因為。<弓<1,所以1=今但，

e；42<2

fviv(42y22

同理可得點尸在雙曲線上，所以TcTc,即三一"^二2,

1-------__1-------z_=la;c-a；

解得臺2-應

~2~

「二”112+02-0r

所以/+/=，-+—=2.

C|c-2J~

故答案為：2.

答案笫6頁，共13頁

15.(1)證明見解析

(2)分布列見解析；y

【分析】(1)根據古典概型分別計算P(A),P(B),P(AB),曰P(A8),P(A)P(B)的關系證明;

(2)根據〃次獨立重復試驗模型求出概率，列出分布列，得出期望.

【詳解】⑴因為兩次點數之和等于7有以下基本事件:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

共6個，

611

Z

又/

=一=--

所以P(A)6V2

36

而第一次點數是奇數且兩次點數之和等于7的基本事件是(L6),(3,4),(5,2)共3個,

3I

所以玖八8)=忑="，

3o12

故P(A5)=P(A)P(B),所以事件A,5是獨立事件.

(2)設三位參與這個活動的顧客共獲得的積分為X,則X可取6,9,12,15,

P(X=6)=C；(l-1j=戰，^(X=9)=C'/ip-lJ=^,

\o)Zin\o)\o)210

P(X=12)=呢丁(1峭=裝,P(X=15)=H=*

koy\O/210\oy210

所以分布列為:

X691215

12575151

P

216216216216

15

所以E(X)=空*6+21x9+xl2+—x!5=—

2162162162

答案第7頁，共13頁

<35/3

16.(1)0—

(2)(-1,+oo)

【分析】⑴求導，得ra)=-(sinx+l)(2sinx-l),即可根據川0高和工喂用判斷

導數的正負確定函數的單調性，求解極值點以及端點處的函數值即可求解，

(2)將問題轉化為了'(x)=0在x/O,"上有解，即可分離參數得，=」--2sinx,利用

I2/sinx

換元法，結合函數單調性即可求解.

【詳解】(1)若。=1,/(A)=sinxcosx+cosx,0,g,

)"(DMCOS2x-si/x-sinxu-Zsi/x-sinx+lu-lsinx+lXZsinjv-l)

當xc0,看)時，sinx>0,2sinx-l<0,則/'(x)>0,/(力單調遞增；

當xw看國時，sinx>0,2sinx-l>0,則/(x)單調遞減

I。乙)

乂尼卜哈〃。)=1,佃=。

所以/(x)e,即/(X)的值域為H]

(2)/"(X)=cos?x-sin2x-?sinx=l-2sin2x-asinx.

/(x)存在極值點，則f'(x)=O在x/o，"上有解，即〃=」--2sinx有解.

I21sinx

令r=sinx,則a=1-2i在fw(0,1)上有,解.

因為函數y=；-2f在區間(0,1)上單調遞減，所以。?-1,+8),經檢驗符合題意.

17.(1)證明見解析

⑵坐

3

【分析】(1)根據線面垂直的判定定理及性質定理，證明A。，平面A8C即可;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角正弦即可.

答案第8頁，共13頁

【詳解】（1）分別取入從BC中點。，E,連接CO,AE交于點O,則點。為正三角形/WC

的中心.

因為AA=A8,。4=。8得。。_1月&AD,1AB,

又4。1。。=。，4。,。。（=平面4。。，

所以A42平面A。。，又AOu平面A。。，

則A8J.4。；

取MG中點片,連接A4,EE,則四邊形是平行四邊形，

因為側面BBCC是矩形，所以8C_LE且，乂8c_LAE,

又七月仆/^二旦￡鳥,從后匚平面/14內￡：,

所以8C上平面AAEE,又AOu平面4A￡E,則8C_LA。；

又ABcBC=B,A3,BCu平面ABC,所以A。，平面ABC,

所以三棱錐A-ABC是正三棱錐.

（2）因為三棱柱ABC-AHG的體積為2枝，底面積為石，所以高4。=半，

以R為坐標原點，以為x軸正方向.行〃為y軸正方向，過點忖旦與0A平行的方向為z軸

的正方向建立空間直角坐標系，

則A（G,O,O"（OJO）,C（O,TO）,A隹0,平），

設平面A”用的法向量小，因為A8=b61,0）,AA=（-￥，0,^）.

答案笫9頁，共13頁

AB-〃1=-y/3x+y=0

WJ例.「一苧x+半Z=。'取z=l可得4=(&,跖i),

又AC|=A4,+AC=

設直線AC,與平面A448所成角為仇

所以sine=kos〃|,Ac]=^^=^^=^.

11

n^AC{\683

18.(l)y2=4x

⑵證明見解析

(3)x±Gy+1=0

【分析】（I）根據準線方程可得〃，即可求解；

（2）設，:x=（y-l,”a，yJ,N（七,M）,聯立直線與拋物線,得出根與系數的關系,再

由直線的相交求出f,Q坐標，轉化為求?+%=。即可得證；

（3）由⑵可得色=悶，再由5=加N|d,根據S1=2S?可得f,即可得解.

【詳解】（1）因為產-1為拋物線的準線，

所以|二1,即2〃=4,

故拋物線C的方程為）？=4,r

（2）如圖，

設/：x=ty-\,),N(%,%)，

答案第10頁，共13頁

聯立），=4x,消去x得），一4）+4=。,

則A=16（/一1）>0,且4+外”，

'）加=4

又AM：令l[得P，],〃―2（'L〃）],

王-1Ix,-l]

同理可得QT〃-"2J,

1"1）

2（y.-n]2（必一〃）[2（y.-n）2（y,-/?）

所以①+）'O=/L〈—〃一I尢J=2〃_J/+JJ

X—1—1Di—2ty2-2

=2n_2（y-2（》-2）+2（乃一〃）（曬一2）

〃6-2）.-2）'

4%必一（2加一4）（凹+%）+8〃8〃一8疝

Z〃/〃,

廠）\）’2-2/（y+力）+44-4廠

故忸”=忸°|.

（3）由（2）可得：S?二年2（1—2（%；）,

*-2。2-2V/2-1

S.=-\MN\d=-xVf?+1-4>/^+1=2ylit-12|,

21127^7111

由S1=2s2,得：r—1=2,解得t=±5/3>

所以直線/的方程為x±#y+l=O.

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問中直線較多，解題的關鍵在于理清主從關系，據此求出RQ

點的坐標（含參數），第二個關鍵點在于將忸R=|伙2|轉化為只。關于工對稱，即升+4=°.

19.（1）194,196對3“協調”，195對3不“協調”

（2）有且僅有一個數對〃“協調”，證明見解析

2

【分析】（1）根據〃對協調”的定義，即可計算?。?94）,嗎（195）,嗎（196）,即可求解,

答案第11頁，共13頁

(2)根據〃對p“協調”的定義以及整除原理可證明引理.，證明每一列里有且僅有一個數對

p“協調”，即可根據引理求證.

(3)將〃％〃2〃+1,〃2〃+2,.,〃2〃+(〃2?1)這〃2個數分成〃組，每組〃個數，根據引理證

明每一列里有且僅有一個數對P"協調''，即可求解.

【詳解】(1)因為194=2x3°+lx3i+0x32+lxT+2x34,所以嗎(194)=2+1+0+1+2=6