PAGEPAGE1§9.6雙曲線最新考綱考情考向分析了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡潔的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).主要側(cè)重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，探討參數(shù)a，b，c及與漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是重點.以選擇、填空題為主，難度為中低檔.一般不再考查與雙曲線相關(guān)的解答題，解題時應(yīng)嫻熟駕馭基礎(chǔ)內(nèi)容及雙曲線方程的求法，能敏捷應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì).1.雙曲線定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的肯定值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當2a<|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當2a>|F1F2|時，P點不存在.2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)概念方法微思索1.平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的肯定值等于常數(shù)2a的動點的軌跡肯定為雙曲線嗎？為什么？提示不肯定.當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是兩條射線；當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在；當2a＝0時，動點的軌跡是線段F1F2的中垂線.2.方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？提示若A>0，B<0，表示焦點在x軸上的雙曲線；若A<0，B>0，表示焦點在y軸上的雙曲線.所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是AB<0.3.與橢圓標準方程相比較，雙曲線標準方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，雙曲線哪些性質(zhì)受影響？提示離心率受到影響.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，故當a>b>0時，1<e<eq\r(2)，當a＝b>0時，e＝eq\r(2)(亦稱等軸雙曲線)，當0<a<b時，e>eq\r(2).題組一思索辨析1.推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的肯定值等于8的點的軌跡是雙曲線.(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(×)(3)雙曲線方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等軸雙曲線的漸近線相互垂直，離心率等于eq\r(2).(√)(5)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).(√)題組二教材改編2.若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(5) B.5C.eq\r(2) D.2答案A解析由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).3.已知a>b>0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，則C2的漸近線方程為()A.x±eq\r(2)y＝0 B.eq\r(2)x±y＝0C.x±2y＝0 D.2x±y＝0答案A解析橢圓C1的離心率為eq\f(\r(a2－b2),a)，雙曲線C2的離心率為eq\f(\r(a2＋b2),a)，所以eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，即a4＝4b4，所以a＝eq\r(2)b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0.4.經(jīng)過點A(4,1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________.答案eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝1解析設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝±1(a>0)，把點A(4,1)代入，得a2＝15(舍負)，故所求方程為eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝1.題組三易錯自糾5.(2024·全國Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(－1,3) B.(－1，eq\r(3))C.(0,3) D.(0，eq\r(3))答案A解析∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故選A.6.若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(7),3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)答案D解析由條件知y＝－eq\f(b,a)x過點(3，－4)，∴eq\f(3b,a)＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝eq\f(5,3).故選D.7.已知雙曲線過點(4，eq\r(3))，且漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，則該雙曲線的標準方程為________________.答案eq\f(x2,4)－y2＝1解析由雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，可設(shè)該雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，已知該雙曲線過點(4，eq\r(3))，所以eq\f(42,4)－(eq\r(3))2＝λ，即λ＝1，故所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.題型一雙曲線的定義例1(1)已知定點F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2＋y2＝1上隨意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓答案B解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點，又O為F1F2的中點，∴|MF2|＝2.∵點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由雙曲線的定義可得，點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________.答案eq\f(3,4)解析∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，∴|PF1|＝2|PF2|＝4eq\r(2)，則cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4).引申探究1.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).2.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0”，則△F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.思維升華(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而依據(jù)要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，常常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________.答案(2eq\r(7)，8)解析如圖，由已知可得a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，從而|F1F2|＝4，由對稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實際意義需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋22<m2＋42，,42<m＋22＋m2，))解得－1＋eq\r(7)<m<3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2eq\r(7)<2m＋2<8.題型二雙曲線的標準方程例2(1)(2024·大連調(diào)研)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________________.答案x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)解析如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.依據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因為|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1).(2)依據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：①虛軸長為12，離心率為eq\f(5,4)；②焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12)；③經(jīng)過兩點P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7).解①設(shè)雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).由題意知，2b＝12，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.②∵雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,144)－eq\f(x2,25)＝1.③設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.思維升華求雙曲線標準方程的方法(1)定義法(2)待定系數(shù)法①當雙曲線焦點位置不確定時，設(shè)為Ax2＋By2＝1(AB<0).②與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；③與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2<k<a2).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·沈陽調(diào)研)設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的肯定值等于8，則曲線C2的標準方程為________________.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1解析由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5，0)，設(shè)曲線C2上的一點P，則||PF1|－|PF2||＝8.由雙曲線的定義知，a＝4，b＝3.故曲線C2的標準方程為eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)(2024·全國Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦點，則C的方程為()A.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1答案B解析由y＝eq\f(\r(5),2)x，可得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2).①由橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.故選B.題型三雙曲線的幾何性質(zhì)命題點1與漸近線有關(guān)的問題例3已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.eq\r(2)x±y＝0 B.x±eq\r(2)y＝0C.x±2y＝0 D.2x±y＝0答案A解析由題意，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則依據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，即eq\r(2)x±y＝0.命題點2求離心率的值(或范圍)例4已知直線l為雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線，直線l與圓(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B兩點，若|AB|＝a，則雙曲線C的離心率為________.答案eq\f(\r(7),2)解析由題意可知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，圓(x－c)2＋y2＝a2的圓心為(c,0)，半徑為a.因為直線l為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線，與圓(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B兩點，且|AB|＝a，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|bc|,\r(a2＋b2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝a2，即4b2＝3a2，即4(c2－a2)＝3a2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(7,4)，又e＝eq\f(c,a)，且e>1，所以e＝eq\f(\r(7),2).思維升華(1)求雙曲線的漸近線的方法求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0).(2)求雙曲線的離心率①求雙曲線的離心率或其范圍的方法(ⅰ)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)干脆求e.(ⅱ)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.②雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1).跟蹤訓(xùn)練3(2024·錦州模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(7)B.4C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)答案A解析因為△ABF2為等邊三角形，所以不妨設(shè)|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，因為A為雙曲線右支上一點，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因為B為雙曲線左支上一點，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，得c2＝7a2，則e2＝7，又e>1，所以e＝eq\r(7).故選A.高考中離心率問題離心率是橢圓與雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個學(xué)問點，這類問題一般有兩類：一類是依據(jù)肯定的條件求離心率；另一類是依據(jù)肯定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最終要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓與雙曲線的離心率問題難點的根本方法.例1已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點.若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于eq\f(4,5)，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))答案A解析設(shè)左焦點為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.設(shè)M(0，b)，則M到直線l的距離d＝eq\f(4b,5)≥eq\f(4,5)，∴1≤b<2.離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(\f(4－b2,4))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，故選A.例2已知F1，F(xiàn)2為雙曲線的焦點，過F2作垂直于實軸的直線交雙曲線于A，B兩點，BF1交y軸于點C，若AC⊥BF1，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2eq\r(2) D.2eq\r(3)答案B解析不妨設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由AC⊥BF1知eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BF1,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(3b2,2a)))，eq\o(BF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，\f(b2,a)))，可得2c2－eq\f(3b4,2a2)＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，則有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或eq\f(1,3)，又e>1，所以e＝eq\r(3).故選B.1.(2024·鄂爾多斯調(diào)研)已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，點(4，－2)在它的一條漸近線上，則離心率等于()A.eq\r(6)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(5),2)答案B解析漸近線方程為y＝－eq\f(a,b)x，故(4，－2)滿意方程－2＝－eq\f(a,b)×4，所以eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，故選B.2.(2024·新余摸底)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4a2)＝1(a≠0)的漸近線方程為()A.y＝±2x B.y＝±eq\f(1,2)xC.y＝±4x D.y＝±eq\r(2)x答案A解析依據(jù)雙曲線的漸近線方程知，y＝±eq\f(2a,a)x＝±2x，故選A.3.(2024·遼寧省五校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 D.x2－eq\f(y2,4)＝1答案D解析因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為eq\r(5)，所以eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，故選D.4.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8答案B解析由雙曲線的方程，得a＝1，c＝eq\r(2)，由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|＝(2eq\r(2))2，解得|PF1|·|PF2|＝4.故選B.5.已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點P使eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，則eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))的值為()A.3B.2C.－3D.－2答案B解析由題意及正弦定理得eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF2F1＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝eq\f(4＋16－16,2×2×4)＝eq\f(1,4)，∴eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))＝|eq\o(F2P,\s\up6(→))|·|eq\o(F2F1,\s\up6(→))|·cos∠PF2F1＝2×4×eq\f(1,4)＝2.故選B.6.(2024·沈陽模擬)已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，eq\r(2))，則△APF周長的最小值為()A.4＋eq\r(2) B.4(1＋eq\r(2))C.2(eq\r(2)＋eq\r(6)) D.eq\r(6)＋3eq\r(2)答案B解析由題意知F(eq\r(6)，0)，設(shè)左焦點為F0，則F0(－eq\r(6)，0)，由題意可知△APF的周長l為|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l(xiāng)＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝7.已知離心率為eq\f(\r(5),2)的雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OM⊥MF2，O為坐標原點，若＝16，則雙曲線的實軸長是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由題意知F2(c,0)，不妨令點M在漸近線y＝eq\f(b,a)x上，由題意可知|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.由＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以雙曲線C的實軸長為16.故選B.8.(2024·葫蘆島模擬)已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0，A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C.(1,2) D.(2，＋∞)答案A解析由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，圓心C2的坐標為(a,0)，半徑r＝eq\f(1,2)a，由雙曲線C1的一條漸近線與圓9.則a＝________；b＝________.答案12解析由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2.又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.10.(2024·河北名校名師俱樂部二調(diào))已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長AF2交雙曲線的右支于點B，則△F1AB的面積等于________.答案4解析由題意知a＝1，由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由題意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1為等腰三角形，∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1為等腰直角三角形.∴|BA|＝|BF1|＝eq\f(\r(2),2)|AF1|＝eq\f(\r(2),2)×4＝2eq\r(2)，∴＝eq\f(1,2)|BA|·|BF1|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.11.(2024·遼陽模擬)已知焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦點到漸近線的距離的取值范圍是__________.答案(0,2)解析對于焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的焦點(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦點在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，則焦點到漸近線的距離d＝eq\r(m－4)∈(0,2).12.(2024·福建六校聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，左頂點為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點，△APQ的一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________.答案eq\f(4,3)解析設(shè)左焦點為F1，由于雙曲線和圓都關(guān)于x軸對稱，又△APQ的一個內(nèi)角為60°，∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝eq\f(4,3)(舍負).13.(2024·營口調(diào)研)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上其次象限內(nèi)一點，若直線y＝eq\f(b,a)x恰為線段PF2的垂直平分線，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(5) D.eq\r(6)答案C解析如圖，直線PF2的方程為y＝－eq\f(a,b)(x－c)，設(shè)直線PF2與直線y＝eq\f(b,a)x的交點為N，易知Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).又線即5a2