8.2立體圖形的直觀圖第八章立體幾何初步整體感知[學習目標]

1．掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．2．會用斜二測畫法畫常見的柱體、錐體、臺體、球以及簡單組合體的直觀圖．[討論交流]

預習教材P107－P111的內容，思考以下問題：問題1．畫簡單幾何體的直觀圖的步驟是什么？問題2．水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法有哪些規則？問題3．用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟是什么？[自我感知]經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．探究建構探究1水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法探究問題圖①②是從不同角度拍攝同一個魔方的照片，哪個圖更能給人立體感？如何畫這種立體圖形？[提示]

①更能給人立體感．為了在平面內表示立體圖形，可以利用平行投影畫直觀圖．[新知生成]1．直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形．2．斜二測畫法我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的________畫法．平行投影3．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟45°135°水平面x′軸或y′軸線段保持原長度不變一半【教用·微提醒】

1．斜二測畫法畫圖的關鍵是在原圖中找到決定圖形位置與形狀的點，并在直觀圖中畫出．2．斜二測畫法的位置特征與度量特征簡記為：橫不變、縱折半，平行位置不改變．【鏈接·教材例題】例1用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖．[解]畫法：(1)如圖8.2-4(1)，在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，AD的垂直平分線MN為y軸，兩軸相交于點O．在圖8.2-4(2)中，畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°．

[典例講評]

1．(源自蘇教版教材)畫水平放置的正三角形的直觀圖．

反思領悟

關于斜二測畫法作圖(1)首先在原圖中建立直角坐標系，一般采用對稱建系或盡可能將圖形中的邊、頂點落在坐標軸上．(2)建立斜二測坐標系，先作坐標軸上的點、與坐標軸平行的線段，原則是“橫不變，縱減半”．(3)對于不與坐標軸平行的線段，可通過在原圖中作輔助線的方法確定在直觀圖中的位置．[學以致用]

1．畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．[解]

畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對應的坐標系，使∠x′O′y′＝45°．

探究2空間幾何體的直觀圖的畫法[新知生成]立體圖形直觀圖的畫法步驟(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個__軸，直觀圖中與之對應的是____軸．(2)畫底面：________________表示水平平面，________________和________________表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖．(3)畫側棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中______和____都不變．(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為____．zz′O′x′y′平面O′y′z′平面O′x′z′平面平行性長度虛線【鏈接·教材例題】例2已知長方體的長、寬、高分別是3cm，2cm，1.5cm，用斜二測畫法畫出它的直觀圖．分析：畫棱柱的直觀圖，通常將其底面水平放置．利用斜二測畫法畫出底面，再畫出側棱，就可以得到棱柱的直觀圖．長方體是一種特殊的棱柱，為畫圖簡便，可取經過長方體的一個頂點的三條棱所在直線作為x軸、y軸、z軸．[解]

畫法：(1)畫軸．如圖8.2-6，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．(2)畫底面．在x軸正半軸上取線段AB，使AB＝3cm；在y軸正半軸上取線段AD，使AD＝1cm．過點B作y軸的平行線，過點D作x軸的平行線，設它們的交點為C，則?ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖．(3)畫側棱．在z軸正半軸上取線段AA′，使AA′＝1.5cm，過B，C，D各點分別作z軸的平行線，在這些平行線上分別截取1.5cm長的線段BB′，CC′，DD′．(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖了．【鏈接·教材例題】例3已知圓柱的底面半徑為1cm，側面母線長3cm，畫出它的直觀圖．[解]

(1)畫軸．如圖8.2-7，畫x軸、z軸，使∠xOz＝90°．(2)畫下底面．以O為中點，在x軸上取線段AB，使OA＝OB＝1cm．利用橢圓模板畫橢圓，使其經過A，B兩點．這個橢圓就是圓柱的下底面．(3)畫上底面．在Oz上截取點O′，使OO′＝3cm，過點O′作平行于軸Ox的軸O′x′．類似下底面的作法作出圓柱的上底面．(4)成圖．連接AA′，BB′，整理得到圓柱的直觀圖．例4某簡單組合體由上下兩部分組成，下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合．畫出這個組合體的直觀圖．

分析：畫組合體的直觀圖，先要分析它的結構特征，知道其中有哪些簡單幾何體以及它們的組合方式，然后再畫直觀圖．本題中沒有尺寸要求，

畫圖時只需選擇合適的大小，表達出該幾何體的結構特征就可以了．[解]畫法：如圖8.2-10，先畫出圓柱的上下底面，再在圓柱和圓錐共同的軸線上確定圓錐的頂點，最后畫出圓柱和圓錐的母線，并標注相關字母，就得到組合體的直觀圖．[典例講評]

2．(源自北師大版教材)用斜二測畫法畫正五棱錐的直觀圖．[解]

(1)根據平面圖形的直觀圖畫法畫底面(如圖)；(2)畫z′軸(z′軸與x′軸的夾角為90°)，并畫高(與原長相等)(如圖①)；(3)連線成圖，擦去輔助線，且將被遮線畫成虛線(如圖②)，就得到正五棱錐的直觀圖S′-A′B′C′D′E′(如圖③)．反思領悟

畫空間幾何體的直觀圖的策略(1)畫空間幾何體時，首先按照斜二測畫法規則畫出幾何體的底面直觀圖，然后根據平行于z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，畫出幾何體的各側面，并成圖．(2)畫空間幾何體的步驟可簡單總結為：畫軸→畫底面→畫側棱→成圖．[學以致用]

2．(1)已知兩個圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為(

)A．2cm

B．3cmC．2.5cm D．5cm(2)(源自北師大版教材)畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm、高為2cm的正四棱臺的直觀圖．√(1)D

[圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點間距離為2＋3＝5(cm)，在直觀圖中與z軸平行(或在z軸上)的線段長度不變，仍為5cm，故選D．](2)[解]

第一步，用斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形ABCD；第二步，取四邊形ABCD對角線中點O，過點O作z軸，且OO′＝2cm；第三步，建立平面坐標系O′x′y′，用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為2cm的正方形A′B′C′D′；第四步，連接AA′，BB′，CC′，DD′，得四棱臺ABCD-A′B′C′D′即為所求，如圖：【教用·備選題】畫正六棱柱(底面是正六邊形，側棱垂直于底面)的直觀圖．(底面邊長尺寸不作要求，側棱長為2cm)[解]畫法：(1)畫軸．畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．(2)畫底面．根據x′軸，y′軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF．(3)畫側棱．過A，B，C，D，E，F各點分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于側棱長2cm．(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖．探究3直觀圖的還原與計算[典例講評]

3．如圖，矩形O′A′B′C′是由斜二測畫法得到的水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，則原圖形是________，其面積為________．菱形

發現規律

1．直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度____，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的____，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．2．直觀圖與原圖形面積之間的關系若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝___S或S＝____S′．不變2倍

√√

【教用·備選題】如圖所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二測畫法下的直觀圖，A′B′在x′軸上，B′C′與x′軸垂直，且B′C′＝3，求△ABC的邊AB上的高．

243題號1應用遷移√1．若把一個高為10cm的圓柱的底面畫在O′x′y′平面上，則圓柱的高應畫成(

)A．平行于z′軸且大小為10cmB．平行于z′軸且大小為5cmC．與z′軸成45°且大小為10cmD．與z′軸成45°且大小為5cm243題號1A

[平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致．]23題號142．如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是(

)√A

BC

D23題號14

23題號41

√

23題號41243題號14．下列結論正確的是________(填序號)．①相等的角在直觀圖中仍然相等；②相等的線段在直觀圖中仍然相等；③水平放置的三角形的直觀圖是三角形；④水平放置的菱形的直觀圖是菱形．③③

[對于①，相等的角在直觀圖中不一定相等，如一個等腰直角三角形，畫出直觀圖后不是等腰直角三角形，故錯誤；對于②，相等的線段在直觀圖中不一定相等，如正方形在直觀圖中是平行四邊形，鄰邊不相等，故錯誤；對于③，三角形的直觀圖仍然是三角形，正確；對于④，菱形的直觀圖不一定是菱形，