第二十七章27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例課堂環(huán)節(jié)導(dǎo)航新知導(dǎo)入知識探究課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂檢測課后作業(yè)新知導(dǎo)入怎樣測量這些非常高大

的物體的高度？1.能運用三角形相似的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行簡單的幾何推理.2.進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，能利用相似三角形的知識設(shè)計方案解決一些簡單的實際問題，如高度和寬度的測量問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)

據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.知識點1利用相似三角形測量高度知識探究素養(yǎng)考點1利用相似三角形測量高度知識探究解：太陽光是平行的光線,因此∠BAO=∠EDF.因此金字塔的高為134m.又∠AOB=∠DFE=90°，例1、如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.∴△ABO∽△DEF.【總結(jié)】測量不能到達(dá)頂部的物體的高度

測高方法一：可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決.表達(dá)式：物1高：物2高=影1長：影2長知識探究鞏固練習(xí)1．如圖，要測量旗桿AB的高度，可在地面上豎一根竹竿DE，測量出DE的長以及DE和AB在同一時刻下地面上的影長即可，則下面能用來求AB長的等式是（

）

CAFEBO┐┐還可以有其他測量方法嗎？△ABO∽△AEF平面鏡【想一想】知識探究知識探究測高方法二：可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.【歸納總結(jié)】測量不能到達(dá)頂部的物體的高度2.如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P

處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端C

處，已知AB=2米，且測得

BP=3米，DP=12米，那么該古城墻的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B知識探究素養(yǎng)考點2利用相似三角形測量寬度知識探究

如圖，為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q,S共線且直線PS與河垂直,接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT,RT確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計算河寬PQ.知識探究分析：設(shè)河寬PQ長xm,由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到_______∽_______，△PST△PQR再解x的方程可求出河寬．因此有即已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計算河寬PQ.知識探究解：

設(shè)河寬PQ長Xm，依題意得：a//b∴△PST∽△PQR∴∴解得X=90

因此河寬為90m。經(jīng)檢驗：X=90是原分式方程的解。已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計算河寬PQ.【討論】測量前面例題中的河寬，你還有哪些方法？【方法總結(jié)】利用相似測量不能直接到達(dá)的兩點間的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，構(gòu)造的相似三角形可以為“A”字型，也可以為“X”字型，并測量出必要的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所要求的兩點間的距離．知識探究鞏固練習(xí)3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

此時如果測得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求兩岸間的大致距離AB．EADCB30m24m80m鞏固練習(xí)解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

解得AB=64.因此，兩岸間的大致距離為64m.EADCB30m24m80m鞏固練習(xí)測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.【歸納總結(jié)】例3

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD＝5m．一個人估計自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C了？分析：如圖（1），設(shè)觀察者眼睛的位置為點F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB、CD于點H、K．視線FA、FG的夾角∠AFH是觀察點A時的仰角.類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角．由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）之內(nèi)．素養(yǎng)考點3利用相似三角形測量有遮擋的物體圖（1）仰角水平線視線知識探究解：如圖（2），假設(shè)觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹頂端點A、C恰在一條直線上．由題意可知，AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD，△AEH∽△CEK即解得EH＝8（m）由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，即她與左邊樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它．圖（2）∴知識探究【討論】利用相似來解決測量物體高度的問題的一般思路是怎樣的【方法總結(jié)】一般情況下，可以從人眼所在的部位向物體作垂線，根據(jù)人、物體都與地面垂直構(gòu)造相似三角形數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等解決問題．知識探究4.

如圖，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G點，則AD＝_____＝_____，圖中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC鞏固練習(xí)1.

如圖，要測量旗桿AB

的高度，可在地面上豎一根竹竿DE，測量出DE

的長以及DE

和AB

在同一時刻下地面上的影長即可，則下面能用來求AB長的等式是（）

A．B．

C．D．C課堂檢測2.

如圖，九年級某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高1.6米的楚陽同學(xué)站在C

處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時刻，其他成員測得AC=2米，AB=10米，則旗桿的高度是____米．

8課堂檢測3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．EADCB60m50m120m課堂檢測解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴

，即，解得AB=100(m).因此，兩岸間的大致距離為100m.EADCB60m50m120m課堂檢測

4.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.ABCDGEF課堂檢測ABCDGEF解：由題意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，則

解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗桿的高度為11.5m.∴

課堂檢測

5.如圖，某一時刻，旗桿AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿AB在地面上的影長BC為9.6m，在墻面上的影長CD為2m．同一時刻，小明又測得豎立于地面長1m的標(biāo)桿的影長為1.2m．請幫助小明求出旗桿的高度．ABCD課堂檢測解：如圖：過點D作DE∥BC，交AB于點E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一時刻物高與影長成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m，∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，故學(xué)校旗桿的高度為10m.EABCD課堂檢測課堂檢測6．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影子長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（

）A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m7．如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為______．

A1.5米課堂檢測8.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一邊選定點B和點C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D