專題13.6含30。的直角三角形的性質【十大題型】

【人教版】

＞題型梳理

【題型1由含30。的直角三角形的性質求線段長度1.....................................................................1

【題型2由含30。的直角三角形的性質求角度】....................................................2

【題型3由含30。的直角三角形的性質求面積】....................................................3

【題型4由含30。的直角三角形的性質求最值】....................................................4

【題型5由含30。的直角三角形的性質求坐標】....................................................5

【題型6由含30。的直角三角形的性質進行證明】..................................................6

【題型7由含30。的直角三角形的性質解決折疊問題】..............................................7

【題型8由含30。的直角三角形的性質解決旋轉問題】..............................................9

【題型9由含30。的直角三角形的性質解決動點問題】.............................................10

【題型10含30。的直角三角形的性質的實際應用】.................................................11

院舉一反三

知識點：含3。。的直角三角形的性質

在直角三角形中，30。角所對的邊等于斜邊的一半。

【題型1由含30。的直角三角形的性質求線段長度】

【例I】（23-24八年級?山東濟寧.期末）如圖，在等邊△4BC中，點0、E分別在邊BC、4c上，且4E=CD,

BE與40相交于點P,8Q_L40于點Q.

⑴求證：BE=AD；

（2）若PQ=4,求8P的長.

【變式1-1]（23-24八年級?黑龍江牡丹江?期中）在等邊三角形△48C,著力8邊上的高CD與邊BC所夾得角

為30。，且BD=3,則△4BC的周長為（）

A.18B.9C.6D.4.5

【變式1-2］（23-24八年級?山東泰安?期末）如圖所示，是等邊三角形，。為"的中點，0E_L4B,

垂足為E.若4E=3,則aABC的邊長為（）

【變式1-3］（2024八年級?江蘇?專題練習）如圖，在。中，乙48c=60。，以力C為邊在△力8C外作等邊△AC。,

過點。作DE1BC.若A8=5.4,CE=3,則8E=.

【題型2由含30。的直角三角形的性質求角度】

【例2】（2024.吉林長春.八年級期末）如圖所示，把兩塊完全相同的等腰直角三角板如圖所示的方式擺放,

線段4C在直線MN上.若點F恰好是線段88中點，則44FD的大小為。.

【變式2-1］（23-24八年級?湖北武漢?期中）如圖，在△48C中，乙4cB=45。，點M為邊BC上的動點，當2AM+

CM最小時，則4。4M的度數為（）

A.60°B.45°C.30°D,15°

【變式2-2]（2024八年級?江蘇?專題練習）如圖，△ABC中，AC=BC,且點。在外，。在4C的垂直

平分線上，連接3D,若乙DBC=30。，LACD=12°,則/力=

【變式2-3]（2024?安徽?八年級期末）已知在等腰中，AD1BC,垂足為點D,AD=^BC,貝此C的

度數有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

【題型3由含30。的直角三角形的性質求面積】

【例3】（2024?山東聊城?八年級期末）如圖,在△ABC中，/-ABC=90%Z.BAC=60%以點力為圓心,以AB的

長為半徑畫弧交4c于點。，連接BD,再分別以點8,。為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,

作射線力P交80于點M,交BC于點E,連接DE,則S^OE：S08c的值是（）

A

A.1:2B.V3:3C.2:5D.1:3

【變式3-1]（23-24八年級?重慶?期末）如圖，在中，/力=90。，點。是上一點，且BD=CD=

6/DBC=15°,則48C0的面積為（）

A.9B.12C.18D.6

【變式3-2]（23-24八年級.遼寧遼陽?期末）如圖，在△力BC中，4C=90。,二30。，。是8c上一點，連接

AD,若4D平分4B4C,設△4DB司△4DC的面積分別是Si，S?,則Si：52=（）

B

DC

c

/M\\

A---L—^5

L/

N

【變式4-3]（23-24八年級.浙江金華.期末）如圖，在等腰三角形48C中，AB=AC=4,^BAC=30°,4G是

底邊8。上的高，在4G的延長線上有一個動點D,連接CD,作“DE=150。，交48的延長線于點E,“DE的

角平分線交邊于點F,則在點。運動的過程中，線段EF的最小值（）

A.6B.4C.3D.2

【題型5由含30的直角三角形的性質求坐標】

[M51（.23-24八年級?北京朝陽?期末）如圖，在平面直角坐標系％Oy中，RSOAB的斜邊。8在上?軸上，乙48。=

30%若點A的橫坐標為1,則點B的坐標為.

【變式5-1]（23-24八年級.湖南長沙?期中）如圖，等邊△4的三個頂點都在坐標軸上，/1（-3,0）,過點

B作80J.48,交x軸于點Q,則點。的坐標為.

【變式5-2]（2024.山東泰安?八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點。的坐標為（0,0）,點M的坐

標為（3,0）,N為y軸上一動點，連接MN.將線段MN繞點M逆時針旋轉60。得到線段MK,連接NK,OK.求

線段OK長度的最小值（）

A.|B.|V3C.2D.2V3

【變式5-3]（23-24八年級?廣東東莞?期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點4的坐標是（0,1）,以。力

為邊在右側作等邊三角形。力力1，過點久作》軸的垂線，垂足為點Oi，以0遇1為邊在右側作等邊三角形。遇遇2,

再過點4作工軸的垂線，垂足為點。2，以。24為邊在右側作等迂三角形劣4公…，按此規律繼續作下去，

得到等邊二角形。20214202142022?則點人2021的縱坐標為-

【題型6由含30。的直角三角形的性質進行證明】

【例6】（23-24八年級?山東煙臺?期末）在RtZk/lBC中，Z.ACB=90°,Z.BAC=30°,力0平分4交8。于

點D.

C

D

AB

（1）用尺規作出線段/。的垂直平分線交40于點M,交力8于點M（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，求證：CD=^AN.

【變式6-1］（23-24八年級?重慶江津?期中）如圖，在等腰AMC中，AC=BC,"C8=4/B,點。是4c邊

的中點，DELAC,交A8于點E,連接CE.

（1）求乙BCE1的度數：

（2）求證：AB=3CE.

【變式6-2］（2024八年級?江蘇?專題練習）如圖，在△ABC,4cB=90。，LA=30°,A8的垂直平分線分

別交48和4c于點。，E.

（2）連接CD,請判斷ABC。的形狀，并說明理由.

【變式6-3］（23-24八年級.安徽阜陽?開學考試）如圖，已知在等邊三角形4BC中，D,E分別是邊8C,AC1.

的點，月/E=DC,連接力D,BE相交于點P,過點B作BQ14D,Q為垂足，求證：BP=2PQ.

【題型7由含30的直角三角形的性質解決折疊問題】

【例7】（23-24八年級?山東濟寧?期末）如圖，三角形紙片A8C中，/-BAC=90°,AB=4,ZC=30°.沿過

點4的直線將紙片折疊（折痕為4/0，使點B落在邊8C上的點。處；再折疊紙片，使點C與點。重合，折痕

交于點E（折痕為EG）,則FG的長是（）

A.3B.4C.6D.8

【變式7-1］（23-24八年級?湖北武漢?期中）如圖所示，在△48C中，ZC=90°,Z/1=30°,將△BCE沿BE折

疊，使點C落在4B邊。點，若EC=6cm,則4C=（）cm.

A.12B.16C.18D.14

【變式7-2］（2024?山東濱州?八年級期末）如圖，點。是矩形紙片ABCO的對稱中心，E是BC上一點,將紙片

沿4E折疊后，點及恰好與點。重合.若8E=3,則折痕4E的長為.

【變式7-3］（23-24八年級.廣西南寧.階段練習）如圖，在a4BCD中，將△/WC沿4c折疊后，點。恰好落在DC

的延長線上的點E處.若NB=60。，/8=2,則8c為.

E

【題型8由含30。的直角三角形的性質解決旋轉問題】

【例8】（23-24八年級?陜西西安?階段練習）如圖，在△ABC中,“=90°,乙ABC=30°,AC=5cm,將△ABC

繞點A逆時針旋轉至的位置，點8的對應點為點B',點C的對應點C'恰好落在邊AB上.設旋轉角

為a.

（1）式的度數為_。；

⑵求△力BB'的周長.

【變式8-1]（2024?新疆烏魯木齊?三模）如圖，將A/IBC繞點A旋轉得到△4DE,若4B=90。，ZC=30°,

AB=2,則4E的長為.

【變式8-2]（2024八年級?浙江?專題練習）如圖，ZMB'C'是△ABC繞點4旋轉180。后得到的，已知=90。,

48=1,4c=30°,則CC'的長為

【變式8?3】（2024?河北秦皇島?八年級期末）如圖,在等邊AUBC中,AB=10,P為BC上一點（不與點B,

。重合），過點P作PMJ.8C于點P,交線段48于點M,將PM繞點P順時針旋轉60。，交線段AC于點M

連接MN,有三位同學提出以下結論:

嘉嘉：△PNC為直角三角形.

淇淇：當AM=2時，AN=7.

珍珍：在點尸移動的過程中，MN不存在平行于8C的情況.

下列說法正確的是()

A.只有嘉嘉正確B.嘉嘉和淇淇正確

C.淇淇和珍珍正確D.三人都正確

【題型9由含30。的直角三角形的性質解決動點問題】

【例9】(23-24八年級?湖南岳陽?期中)如圖：△4BC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B

兩點出發,分別沿48、8C方向勻速移動，它們的速度都是lcm/s,當點尸到達B時，P、。兩點停止運動,

當點P到達8時，尸、Q兩點停止運動.設點P運動的時間為t(s).當/為時，△PBQ是直角三角形.

【變式9?1](23?24八年級?山西晉中?期中)如圖，在△ABC中，￡B=90。2=30。,4c=8cm,動點P、Q同

時從小。兩點出發，分別在力。、8C邊上勻速移動，它們的速度分別為巧＞=2cm/s“Q=lcm/s,當點尸到

達點C時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts.

(1)當￡為何值時，APCQ為等邊三角形？

(2)當￡為何值時，為直角三角形？

【變式9-2](2024八年級.全國?專題練習)已知：如圖，△/1BC是邊長3cm的等邊三角形，動點夕、。同時

從A、8兩點出發，分別沿48、8。方向勻速移動，它們的速度都是lcm/s,當點P到達點4時，P、。兩點

停止運動，設點P的運動時間為ts.

(1)當動點P、。同時運動2s時，則BP=_cm,BQ=_cm.

(2)當動點P、。同時運動ts時，分別用含有f的式子表示；BP=cm,BQ=cm.

(3)當/為何值時，ZkPBQ是直角三角形？

【變式9-3](23-24八年級?遼寧朝陽?期末)如圖，在中，乙力=60。，AB=4cm,AC=12cm.動點

。從點A開始沿48邊以lcm/s的速度運動，動點。從點C開始沿C力邊以3cm/s的速度運動.點夕和點Q同

時出發，當點P到達點8時，點。也隨之停止運動.設動點的運動時間為ts(0VtV4),解答下列問題：

Q.

(I)用含/的代數式表述4Q的長是_____.

(2)在運動過程中，是否存在某一時刻/,使△力PQ是直角三角形？若存在，求出/的值；若不存在，請說明

理由.

【題型10含30。的直角三角形的住質的實際應用】

101(23-24八年級?安徽合肥?期末)如圖①，設計一張折疊型方桌，其示意圖如圖②，若力。=BO=50cm,

CO=DO=30cm.現將桌子放平，兩條桌腿需要叉開的角度/4。8應為120。，則＞48距離地面CD的高為—

【變式10-1](23-24八年級?廣西玉林?期中)某游樂場部分平面圖如圖所示，點C、E、A在同一直線上，

點D、E、8在同一直線上，DBLAB.測得A處與E處的距離為70〃?，。處與E處的距離為35/〃，ZC=90°,

4B.4E=30°.

(rtnn

⑴請求出旋轉木馬E處到出口B處的距離；

(2)判斷入口A到出口8處的距離與海洋球。到過山車C處的距離是否相等？若相等，請證明；若不相等，

請說明理由.

【變式10-2】⑵-24八年級?河北廊坊?期末)如圖，嘉琪想測量一座占塔CO的高度，在A處測得/C4D=15。,

再往前行進60m到達B處，測得乙C8D=30。，點A,&。在同一條直線上，根據測得的數據，這座古塔

的高度為＜)

C.25企mD.50m

【變式10-3](23-24八年級?山東濟寧?期中)圖①所示的是某超市入口的雙翼閘門，如圖②，當它的雙翼展

開時，雙翼邊緣的端點4與A之間的距離為7cm.雙翼的邊緣4C=BD=90cm,且與閘機側立面夾角"1CP=

^BDQ=30°,求當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度.

圖①圖2

專題13.6含30。的直角三角形的性質【十大題型】

【人教版】

＞題型梳理

【題型1由含30。的直角三角形的性質求線段長度】................................................1

【題型2由含30。的直角三角形的性質求角度】....................................................2

【題型3由含30。的直角三角形的性質求面積1...........................................................................3

【題型4由含30。的直角三角形的性質求最值】....................................................4

【題型5由含30。的直角三角形的性質求坐標】....................................................5

【題型6由含30。的直角三角形的性質進行證明】..................................................6

【題型7由含30。的直角三角形的性質解決折疊問題】.............................................7

【題型8由含30。的直角三角形的性質解決旋轉問題】.............................................9

【題型9由含30。的直角三角形的性質解決動點問題】.............................................10

【題型10含30。的直角三角形的性質的實際應用】.................................................11

院舉一反三

知識點：含30。的直角三角形的性質

在直角三角形中，30。角所對的邊等于斜邊的一半。

【題型1由含30。的直角三角形的性質求線段長度】

【例1】(23-24八年級?山東濟寧?期末)如圖，在等邊中，點0、E分別在邊BC、4c上，且4E=CD,

BE與AO相交于點P,8Q1H0于點Q.

(1)求證：BE=AD；

(2)若PQ=4,求BP的長.

【答案】(1)見解析

(2)8

【分析】本題考杳了全等三角形的判定和性質、含30。角的直角三角形的性質、等邊三角形的性質，熟練掌

握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

（1）證明△力BE三△&4。即可得證：

（2）求出匕P8Q=30。，再根據含30。角的直角三角形的性質即可得出答案.

【詳解】（1）證明：??'△ABC為等邊三角形，

=AC,^BAC=ZC=60°,

C4O中

AB=AC

Z-BAE=Z-ACD,

.AE=CD

：.AABEOW（SAS）,

；?BE=AD.

（2）解:???AABE三ACAD,

：.LABE=/.CAD,

工乙BPQ=Z.ABP+乙BAP=乙CAD+乙BAP=4BAC=60°,

乂?：BQ1AD,

:.乙BQP=90°,

「乙PBQ=180°-乙BPQ-乙BQP=30°,

：.BP=2PQ,

又2PQ=4,

：.BP=8.

【變式1-1］（23-24八年級.黑龍江牡丹江?期中）在等邊三角形A48C,若48邊上的高CD與邊8c所夾得角

為30。，且8。=3,則的周長為（）

A.18B.9C.6D.4.5

【答案】A

【分析】由30度角的性質可求出=248=6,然后由等邊三角形的性質求解即可.

【詳解】解：如圖,

c

■:CD1AB,

：,LCDB=90°.

?:乙BCD=30°,BD=3,

：,BC=2AB=6.

是等邊三角形，

，△力8c的周長為6x3=18.

故選A.

【點睛】本題考查了等邊二角形的性質，含30度角的宜用二角形的性質，掌握含30度角的直角二角形的性

質是解答本題的關鍵.

【變式1-2]（23-24八年級?山東泰安?期末）如圖所示，△4BC是等邊三角形，。為4C的中點，OE14B,

垂足為E.若力E=3,則△ABC的邊長為（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60。；在直角三角形

中30。角所對應的邊是斜邊的一半是解題的關鍵.

根據題意可知4力=60。，在直角三角形4DE中求得力。的長，即可求得7IC的長.

【詳解】解：???△48C是等邊三角形，。為47的中點，DELABf垂足為點E.若力E=3,

，在直角三角形中，乙4=60。，^AED=90°,乙4DE=30。，

?\AD=2AE=6,

又???。為4?的中點,

：.AC=2AD=12,

，等邊三角形ABC的邊長為12,

故選：A.

【變式1-3］（2024八年級?江蘇?專題練習）如圖，在△A8C中，=60。，以AC為邊在△48C外作等邊△ACD,

過點。作DE1BC.若AB=5.4,CE=3,則8E=.

【答案】7.8

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，正確地作出輔助線，構造全等三

角形和含有30。角的直知二角形是解決問題的關鍵.過點。作CPJ.A3于尸，根據乙/WC=60。得/3AC十

乙BCA=120°,再根據等邊三角形性質得AC=CD,"CD=60°,則上CCE+Z-BCA=120°,由此得48AC=

乙DCE,據此可依據“AAS”判定AZPC和ACED全等，從而得AP=CE=3,則BP=4B-4P=2.4,進而在

根據直角三角形性質得BC=2BP=4.8,據此可得BE的長.

【詳解】解：過點C作CP_L于P,如圖所示:

C?:乙ABC=60°,

???ZBAC+Z-BCA=180°-乙ABC=120°,

???△4CD為等邊三角形，

:.AC=CD,Z.ACD=60°,

???Z.DCE+Z.BCA=1800-Z,ACD=120°,

:.Z.BAC=乙DCE,

vCP1AB,DE1BC,

Z.APC=Z.CED=90°,

在AAPC和△CED中,

AAPC=MED=90°

Z.BAC=Z-DCE

AC=CD

??.△APC三△CEO(AAS),

???AP=CE=3,

???BP=AB-AP=5.4-3=2.4,

在RtABCP中，/.ABC=60%

Z.BCP=30°,

BC=2BP=2X2.4=4.8,

:.BE=BC+CE=4.8+3=7.8.

故答案為：7.8

【題型2由含300的直角三角形的性質求角度】

【例2】(2024?吉林長春?八年級期末)如圖所示，把兩塊完全相同的等腰直角三角板如圖所示的方式擺放,

線段4C在直線MN上.若點F恰好是線段48中點，則24尸D的大小為。.

【答案】15

【分析】本題考查了三角形中位線，含30。的直角三角形，平行線的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

過點尸作CD的垂線，垂足為H,先證明FH為△ABC的中位線，和N8=乙HFA=45°,再根據直角三角形中30。

所對的直角邊為斜邊的一半即可得出乙尸=30。，繼而求出zJi'FD,以及N力/。的度數.

【詳解】過點尸作C0的垂線，垂足為"，如圖：

MCH

:點尸恰好是線段48中點，FH1.AC,^BCA=90°,

：.BC||FH,BC=2FH,

：./-B=Z.HFA=45°,

???兩塊等腰直角三角板完全相同，

:?BC=FD,

:,BC=FD=2FH,

VzFWD=90°,

：.AFDH=30°,

：./.HFD=60°,

VzB=Z.HFA=45°,

：,￡AFD=乙HFD-Z.HFA=60°-45°=15°,

故答案為：15.

【變式2-1］（23-24八年級?湖北武漢?期中）如圖,在△ABC中,乙4。式=45。，點M為邊BC上的動點,當2AM+

CM最小時，則乙C4M的度數為（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

【答案】D

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，垂線段最短，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是作出輔

助線，熟練掌握相關的性質.在BC下方作乙BCN=30°,過點A作AFJLCN于點F,過點M作ME1CN于點

E,根據含30度角的直角三角形的性質得出ME=：CM,根據2AM+CM=2（AM+：CM）=2Q1M+ME）,

兩點之間線段最短，且垂線段最短，得出當力、M、石三點共線，且AE1CN時，AM+ME最小，即2AM+CM

最小，求出此時乙C4M的度數即可.

【詳解】解：在下方作48CN=30。，過點A作人/JLCN于點八過點M作ME_LGV于點七，如圖所示：

則ME=；CM,

:.2AM+CM=2(4M+3CM)=2(4M+ME),

???兩點之間線段最短，且垂線段最短，

，當A、M、￡三點共線，且AE1CN時，AM+ME最小，即2AM+CM最小，

??.當點E在點尸時，2AM+CM最小，

???"FC=90°,^ACE=乙ACB十乙BCE=450+30°=75%

???〃?”=90°—75°=15°,

即此時N&4M=15°.

故選：D.

【變式2-2](2024八年級.江蘇?專題練習)如圖，△斐BC中,AC=BC,且點。在△ABC外，。在力C的垂直

平分線上，連接8D,若NOBC=30。，Z.ACD=12°,則41=

【答案】72

【分析】過C作CM1.80,交BD的延長線于M,過。作0NJ.4C于N,證明Rt△ONC三Rt△OMC(HL),得

乙DCM=EACD=12。,求出4105的度數，則根據等腰三角形的內角和，可求出乙力的度數.

【詳解】解：如圖，過C作CMJ.BD,交80的延長線于M,過。作DN_L/1C于N,

BC

???點。在AC的垂直平分線上，

?,?DN垂直平分4C,

：.NC=-AC,

2

\fAC=BC,

：.NC=^BCf

在玲△BMC中,Z.DBC=30°,

ACM=-2BC,

：.CM=CN,

在Rt/iDNC和RtaDMC中，

,,（CD=CD

?tc/V=CM'

ARt△DNC三Rt△DMC（HL）,

；?￡DCM=Z-ACD=12。，

?:乙DBC=30°,

J.LMCB=60°,

：.^ACB=60°-12°x2=36°,

又??NC=BC,

：,LA=1X（180°-36°）=72°,

故答案為：72.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，含30。角直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，解題時要熟

知等腰三角形的兩個底角相等，需要作輔助線，構建全等三角形，由全等三角形的對應角相等.

【變式2-3］（2024?安徽?八年級期末）已知在等腰△ABC中，AD1BC,垂足為點D,AD=^BC,則NC的

度數有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

【答案】A

【分析】根據題意分兩種情況：40落在△力8。內部和4。落在△4BC外部，然后分別根據等腰三角形的概念

和三角形內角和定理求解即可.

【詳解】（1）當4。落在A/BC內部時，

①如圖,當=時,

：.AD=BD=DC,即々C=45°.

②如圖，當=時,

：

,AD1BC,AD=-2BC,

：

.AD=-2AB.

：.LB=30°,

Azc=1x(180°-z^)=1x(180°-30°)=75°

③如圖，當=時，

C

,：AD1BC,AD=^BC,

：

,AD=-2AC.

：.LC=30°.

(2)當力。落在△力8C外部時，

④當月8=AC時，此時不存在.

⑤如圖，當AB=CB時,

,：AD1BC,AD-BC,

2

：,AD=^AB.

2

：.Z-ABD=30°,則NC=*BD=；x30°=15°.

⑥如圖，當4C=BC時,

VAD1BC,AD-BC,

2

/.AD=^AC.

2

：,￡ACD=30°,^/.ACB=180°-30°=150°,即4C=150°.

綜上，NC的度數可能為可。,30。，45°,75。，150%共5種可能，

故選：A.

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，含30。角直角三角形的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關

鍵是根據題意分情況討論.

【題型3由含30。的直角三角形的性質求面積】

【例3】（2024?山東聊城?八年級期末）如圖，在△48C中，Z.ABC=90°,Z.BAC=60°,以點3為圓心,以力B的

長為半徑畫弧交AC于點。，連接8D,再分別以點B,。為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩孤交于點P,

作射線HP交BO于點M,交BC于點E,連接DE,則S^OE：S08c的值是（）

A.1:2B.V3:3C.2:5D.1:3

【答案】D

【分析】先根據30。角的直角一:角形的性質得到48="。，證明A/Wf三△/IDE(SAS),再根據全等三角形的

判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】解：???〃"=90°,Z.BAC=60°,

：.LC=90°-ABAC=90°-60°=30°,

：.AB=^AC,

由題意得：AB=AD,4P平分NR4C,

Z.BAE=Z.DAE?

在Zi/WE與△40E中，

(AB=AD

\z-BAE=/.DAE,

(AE=AE

：.kABE三△力DE(SAS),

?'?SAABE=SAADE，

?：AD=AB=\AC.

2

J.AD=CD,

,SAADE=S^DE，

?應"8c=3s.DE，

**^hCDE-^&ABC=13

故選：D.

【點睛】本題考查作圖一基本作圖，直角三角形兩銳角互余，30。角的直角三角形，全等三角形的判定和性

質，角平分線的定義，等底同高的三角形面積相等.掌握基本作圖及全等三角形的判定和性質是解題的關

鍵.

【變式3-1](23-24八年級?重慶?期末)如圖，在RtA/lBC中，/力=90。，點。是AB上一點，且BD=CD=

6,LDBC=15°,則△8C0的面積為()

A.9B.12C.18D.6

【答案】A

【分析】本題考查等邊對等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根據等邊對等角結合三角形的外

角，求出NADC=30。，進而求出4c的長，由三角形的面積公式求出ABC。的面積即可.

【詳解】解：VFD=CD=6,/.DEC=15°,

工人DCB=（B=15°,

：.LADC=+乙BCD=30°,

??Z=90。,

：.AC=\CD=3,

2

:、kBCD的面積為;8DTC=：x6x3=9；

故選A.

【變式3-2]（23-24八年級.遼寧遼陽?期末）如圖,在AABC中,LC=90。/8=30°,。是BC上一點,連接

AD,若AD平分ZB力C,設△4DB司△4DC的面積分別是Si，$2，則Si：52=（）

A.1:1B.2:1C.3:1D.3:2

【答案】B

【分析】本題考查了直角三角形的性質，等角對等邊，三角形的面積等知識，先求出4840=，&40=30。,

得出40=8。，從而CD=^力。=（80,然后根據三角形面積公式可得結論.

【詳解】解：=90。,乙8=30。，

???48力。=90。-30。=60。.

?ZD平分NB力C,

=^CAD=\LBAC=30°,

2

?"8=乙BAD,

??AD=BD,

：.CD=-AD=-BD

22t

，S1：S2=^BDAC-.^CDAC=2:1.

故選B.

【變式3?3]（23-24八年級?湖南永州?期中）如圖，在△ABC中,18=6,將△48C繞點B按逆時針方向旋

轉30。后得到△4/G，求陰影部分的面積.

Ali

【答案】9

【分析】根據旋轉的性質得到△ABC=AB=6,所以△4B4是等腰三角形，依據2力/力=30°

得到等腰三角形的面積，由圖形可以知道S陰影=SML+S△勺pg-S4ABe=SM】BA，最終得到陰影部分的

面積.本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋

轉角；旋轉前、后的圖形全等.運用面積的和差關系解決不規則圖形的面積是解決此題的關鍵.

【詳解】解：在△A8C中，48=6,將繞點8按逆時針方向旋轉30。后得到△為8￡,

**?AABC=△AiBC1

???ArB=AB=6,

△&BA是等腰三角形，^ArBA=30°,

如圖，過Ai作148于D,則=

又,S陰影=SM]BA+S^ABCI-SAABC=SMIBA，

SAA'BC1—^e^CBA?

S陰影=SAAIBA=9-

【題型4由含30。的直角三角形的性質求最值】

【例4】（23-24八年級?湖北荊門?期末）如圖，C4_L直線［于點力，。4=4,點8是直線2上一動點，以CB為邊

向上作等邊△M8C,連接M4則M4的最小值為（）

M

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，熟練

掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.以4C為邊作等邊三角形4CE,連接ME,過點力作力5_LME于

點、F,證明△BC4三△MCE(SAS),由全等三角形的性質得出6/1=ME,^BAC=^MEC=90°,由直角三角

形的性質可得出答案.

【詳解】解：如圖，以AC為邊作等邊三角形4CE,連接ME,過點4作于點F,

△河3。和4力CE為等邊二角形，

BC=CM,AC=CE,/-BCM=/-ACE=60°,

???Z.BCA=乙MCE,

在ABCA^AMCE中，

(BC=MC

?C=NMCE,

(AC=CE

.-.ABCAMCE(SAS),

???BA二ME,Z.BAC=Z.MEC=90°,

Zv4FF=900-60=30°,

???B是直線Z的動點，

??.M在直線ME上運動，

MA的最小值為4尸，

vAE=AC=4,

AF=-AE=2.

2

故選:B

【變式4-1](23-24八年級?黑龍江齊齊哈爾?期末)如圖，已知/力。8=60。，OC平分點尸在。(?上，

。。1。4于點。，OP=6,點E是射線。8上的動點，則PE的最小值為()

a

o

B.2C.5D.3

【答案】D

【分析】題考查了垂線段最短以及角平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線的性質及垂線段最短的實際

應用.過P作，。從根據垂線段最短即可求出PE最小值.

【詳解】解：VZ/10F=60%OC平分4/1。氏

：.LAOC=30°,

?:PD1OA,OP=6,

：

,PD=-2OP=3,

過P作PH1OB于點H,

???點E是射線0B上的動點，

JPE的最小值為3,

故選：C.

【變式4-2]（23-24八年級?江蘇蘇州?期中）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，M是高C"所在直線上的

一個動點，連接M8,將線段8M繞點8逆時針旋轉60。得到8N,連接HN.則在點M運動過程中，線段H/V長

度的最小值是.

c

/M\\

AL---L—^5

/

N

【答案】|

【分析】取BC的中點，連接MG,根據等邊三角形的性質和旋轉可以證明三△NBH,可得MG=NH,

根據垂線段最短，當MG1CH時，MG最短，即HN最短，進而根據30度角所對直角邊等于斜邊的一半即可

求得線段HN長度的最小值.本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、垂線

段最短的性質，作輔助線構造出全等二角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

???線段8M繞點8逆時針旋轉60。得到BN,

:.乙MBH+乙HBN=60°,

乂A8C是等邊三角形，

:.Z.ABC=60°,

即/M8H+4MBC=60°,

:.乙HBN=乙GBM,

???CH是等邊三角形的高，

???BH=-AB,

BH=BG,

又旋轉到BN,

??.BM=BN,

MBG三△NBH(SAS),

MG=NH,

根據垂線段最短，當MGIC”時，MG最短，即，N最短，

止匕時NBC"=Ix60°=30°,

CG=-BC=-x6=3,

22

MG=\CG=1,

：?HN=

2

.??線段HN長度的最小值是|.

故答案為：|

【變式4-3](23-24八年級?浙江金華?期末)如圖，在等腰三角形,4BC中，AB=AC=4,^BAC=30°,4G是

底邊BC上的高，在AG的延長線上有一個動點D,連接CD,作乙CDE=150。，交力8的延長線于點E,aDE的

角平分線交力B邊于點心則在點。運動的過程中，線段EF的最小值()

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】此題考查了全等三角形的判定即性質，等腰三角形的三線合一的性質，角平分線的性質，含30度

角的直角三角形的性質.作。Ml48于M,作。N1AC于N,證明AMDE三△NDC(ASA),推出。E=DC,

再證明△EDF三SCDF(SAS),推;LE尸=CF,得到當CF1時CF有最小值，即EF有最小值，|±UB4C=30°,

AC=4,求出CF.

【詳解】解?：作DMJLAB于M,作DN14C于N,

vAB=AC,AG1BC,

:.AG^^^BAC,RfJAD平^48AC,

vDM1AB,DNLAC,

???DM=DN,

???，BAC=30°,/-AMD=乙AND=90°,

:./MON=150°,

vLCDE=150°,

4MDE=150°-乙CDM=乙NDC,

.??△MOE/VDC(ASA),

???DE=DC,

???DF平分乙CZ)E,

Z.EDF=Z.CDF,

連接CF,

vDF=DF,

:AEDF=△CO/(SAS),

:.EF=CF,

.??當6148時CF有最小值，即“有最小值,

此時，???Z.BAC=30°,AC=4,

：?CF=-AC=2,

2

故選:D.

【題型5由含30。的直角三角形的性質求坐標】

【例5】（23-24八年級?北京朝陽?期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，RN0A8的斜邊OB在x軸上，乙48。=

30%若點A的橫坐標為1,則點8的坐標為.

【答案】（4,0）

【分析】本題主要考查了含30度角直角三角形的特征，解題的關鍵是掌握含30度角的直角三角形，30度角

所對的邊是斜邊的一半.過點A作x軸的垂線，垂足為點C,先得;I"。力C=30。，則04=20C=2,進而

得出08=204=4,即可解答.

【詳解】解：過點A作x軸的垂線，垂足為點C,

,?，Rt△。/B中//8。=30。，

：.LAOB=60°,

'：AC1OB,

：.￡OAC=30°,

???點4的橫坐標為1,

：.0C=1,

/.0A=2OC=2,

?：BB0=30°,

OB=2OA=4,

工點B的坐標為（4,0）,

故答案為：（4,0）.

【變式5-1]（23-24八年級?湖南長沙?期中）如圖，等邊A43C的二個頂點都在坐標軸上，A（-3,0）,過點

【分析】本題考查了坐標與圖形，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質.由等邊三角形的性

質求得48的長，再由含30度角的直角三角形的性質求得40的長，繼而求得。0的長，即可求解.

【詳解】解：是等邊三角形，且80_L4C,

：.AO=OC,Z,BAC=60°,

V71（-3,0）,

：.A0=3,

.'.AB=AC=2A0=6,

VBDLAB,

：,LABD=90°,

：.LADB=30°,

：.AD=2AB=12,

：,0D=AD-0A=9,

???點。的坐標為（9,0）.

故答案為：（9,0）.

【變式5-2】（2024?山東泰安?八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點。的坐標為（0,0）,點M的坐

標為（3,0）,N為），軸上一動點，連接MN.將線段MN繞點M逆時針旋轉60。得到線段MK,連接NK,0K.求

線段0K長度的最小值（）

A.1B.1V3C.2D.2V3

【答案】A

【分析】如圖所示，將MOK繞點M順時針旋轉60度得到△MQN,連接。Q,由旋轉的性質可得OK=

NQ,OM=QM,Z-OMQ=60°,證明△OMQ是等邊三角形，得到/QOM=60。，OQ=OM,推;l"NOQ=

30。；由垂線段最短可知，當NQ，y軸，NQ最小，即。K最小，此時點N與點N，重合，由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，將△MOK繞點M順時針旋轉6U度得到AMQ/V,連接OQ,

由旋轉的性質可得。K=NQ,OM=QM,LOMQ=60°,

???AOMQ是等邊三角形，

：.AQOM=60°,OQ=OM,

LNOQ=30°,

???點M的坐標為（3,0）,

：.0Q=OM=3,

由垂線段最短可知，當NQJ.y軸，NQ最小，即OK最小，此時點N與點NL重合，

13

,0K最小值=NQ最小值=^OQ=5，

故選A.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定，坐標與圖形，含30度角的直角三角形的

性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【變式5-3］（23-24八年級.廣東東莞?期末）如圖，在平面直角坐標系％Oy中，已知點人的坐標是（0,1）,以。力

為邊在右側作等邊三角形0441，過點久作式軸的垂線，垂足為點0［，以0遇1為邊在右側作等邊三角形017M2,

再過點必作％軸的垂線，垂足為點。2，以。2%為邊在右側作等邊三角形外4公…，按此規律繼續作下去，

得到等邊三角形。202遇202通2022，則點人2021的縱坐標為?

【分析】此題主要考瓷了點的坐標，等邊二角形的性質，直角二角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，

理解在直角三角形中，30。的角所對的邊等于斜邊的一半是解決問題的關鍵.

首先根據點4的坐標及等邊三角形的性質得04=OA=1,匕/1。力1=60。,進而得411。。1=30。,再根據直角

三角形的性質得401=3。4=條點4的縱坐標為p依次類推得到點乙的縱坐標為（J”即可解題.

【詳解】???點A的坐標是（0,1），△0/L4】是等邊三角形，

???OAi=OA=1,Z.AOAY=60°?

???"