等比數(shù)列的概念課堂教學(xué)情景引入情境1

折紙游戲請寫出折紙游戲中紙張的層數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列.1，2，4，8，16，32，…①情景引入情境2

實(shí)例探究《莊子·天下篇》中的一個(gè)論述：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.木棰長度第一天取半第二天取半第三天取半第四天取半.........第天取半n設(shè)木棰長度為1

探究新知問題1

以上數(shù)列有怎樣的取值規(guī)律？

共同特點(diǎn):

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).

問題2

類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？

探究新知【探究一】

等比數(shù)列的定義

等比數(shù)列的定義：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母

表示.例如①的公比問題3

你能用符號語言描述等比數(shù)列的定義嗎？問題4

你能列舉生活中一些等比數(shù)列的例子嗎？

探究新知練習(xí)1

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列．如果是，寫出它的公比．

（1）16，8，4，2，1（2）1，

（3）1，1，1，0，1

（4）1，1，1，1，1 注：（1）公比為同一個(gè)常數(shù)；

（2）等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不能為零；

（3）公比可正可負(fù)，但不可為零.

探究新知練習(xí)2

若在2與8中間插入一個(gè)數(shù)G，使得2，G，8成等比數(shù)列，G是多少？由等比數(shù)列的定義，有

所以

即等比中項(xiàng)的定義：

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

思考：等比中項(xiàng)G與a、b之間又怎樣的關(guān)系？

探究新知

練習(xí)3

在-1，()，4中插入一個(gè)什么數(shù)使其變成等比數(shù)列.思考:

任何兩個(gè)非零實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？

結(jié)論：同號的兩數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；異號的兩數(shù)沒有等比中項(xiàng).

探究新知【探究二】

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【探究】

等比數(shù)列1，2，4，8，16，…的第10項(xiàng)是多少？第50項(xiàng)是多少？等差數(shù)列

等比數(shù)列

不完全歸納法

探究新知

問題5

那同學(xué)們能不能類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的研究過程，來推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？問題6

還有什么其他方法，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？累乘法累加法等差數(shù)列

等比數(shù)列

探究新知又

，這就是說，當(dāng)

時(shí)上式也成立.因此，首項(xiàng)為

，公比為

的等比數(shù)列

的通項(xiàng)公式為

探究新知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

首項(xiàng)為

,公比

為的等差數(shù)列

的通項(xiàng)公式為注：等比數(shù)列中四個(gè)基本量a1，an，n，q知三求一（方程思想）

探究新知【探究三】等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系【探究】

在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出等比數(shù)列

和函數(shù)

的圖象.（1）等比數(shù)列

的圖象有什么特點(diǎn)？（2）等比數(shù)列

的圖象與函數(shù)

的圖象有什么關(guān)系？

探究新知

問題7

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，觀察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，它和哪一類函數(shù)有關(guān)？

等比數(shù)列

的通項(xiàng)公式可以寫為

當(dāng)

且

時(shí)，等比數(shù)列

的第

項(xiàng)

是指數(shù)函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的函數(shù)值，即

（如右圖所示）.

反之，任給指數(shù)函數(shù)指數(shù)型函數(shù)

為常數(shù)，

且

則

構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為

公比為

的等比數(shù)列.

例題解析

例1

若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求

的第5項(xiàng).法1：基本量法；法2：等比中項(xiàng)法.

例題解析

例2

已知等比數(shù)列

的公比為

試用

的第

項(xiàng)

表示.形等差數(shù)列等比數(shù)列類比抽象概念代數(shù)運(yùn)算歸納法累乘法累加法通項(xiàng)公式函數(shù)角度數(shù)一次函數(shù)指數(shù)函數(shù)數(shù)形

課堂小結(jié)課時(shí)分層作業(yè).A組------必做題：教材P31的練習(xí)第1、2、3題；B組------選做題：已知

是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，

是等比數(shù)列嗎？

課后作業(yè)教學(xué)闡釋4.3.1等比數(shù)列的概念人教版A版選擇性必修第二冊教材分析和學(xué)情分析教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)和核心素養(yǎng)2教學(xué)方法和教學(xué)設(shè)備31目錄CONTENTS教學(xué)過程4選擇性必修第二冊第四章一、教材分析和學(xué)情分析新老教材對比：知識導(dǎo)入環(huán)節(jié)，新教材類比函數(shù)的研究方法比舊教材類比實(shí)數(shù)的研究方法更符合新課標(biāo)要求。等差數(shù)列有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用《函數(shù)》內(nèi)容的延伸起著承上啟下的作用為學(xué)習(xí)等比數(shù)列給出了“示范”提供了“模式”，打好基礎(chǔ)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材是探究特殊數(shù)列的開始“數(shù)列”的概念、通項(xiàng)公式及遞推公式的延續(xù)教材的地位和作用一、教材分析和學(xué)情分析學(xué)生知識層面上學(xué)生能力層面上學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的相關(guān)基本知識，對數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)有了一定的認(rèn)識，對函數(shù)、方程思想體會逐漸深刻.高二學(xué)生具備了一定分析問題、解決問題的能力，基本形成合作交流、獨(dú)立探究的能力；邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，但缺乏冷靜、深刻.二、教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)和核心素養(yǎng)課標(biāo)要求3、通過對等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及實(shí)事求是的精神，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.體會探究過程中的主體作用及探究問題的方法，經(jīng)歷解決問題的全過程.1、通過實(shí)例抽象出等比數(shù)列的定義，探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、通過現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型，讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，體會數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥乏味的；素養(yǎng)要求數(shù)學(xué)抽象邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模重難點(diǎn)二、教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)和核心素養(yǎng)理解等比數(shù)列的概念；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用.重點(diǎn)等比數(shù)列的函數(shù)特征及綜合運(yùn)用.難點(diǎn)04OPTION采取由特殊到一般，再到特殊的思想，以探究式教學(xué)思想為主導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，讓學(xué)生在討論、分析、探索、感悟，中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，借助多媒體的直觀展示，幫助學(xué)生理解；通過講練結(jié)合，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。突破三、教學(xué)方法和教學(xué)設(shè)備以學(xué)生為主體，教師是主導(dǎo)，采用問題引導(dǎo)探究式教學(xué)和小組合作式學(xué)習(xí)法。教學(xué)策略方法Geogebra軟件、課件、多媒體、翻頁筆。教學(xué)設(shè)備及工具四、教學(xué)過程情景引入新課講授例析&練習(xí)探究等比數(shù)列的概念課堂小結(jié)作業(yè)布置四、教學(xué)過程——情景引入04OPTION以小游戲開頭，且此結(jié)果出乎預(yù)料，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.設(shè)計(jì)意圖情境1

折紙游戲請寫出折紙游戲中紙張的層數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列.情境2

實(shí)例探究《莊子·天下篇》中的一個(gè)論述：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.四、教學(xué)過程——探究新知04OPTION由幾個(gè)具體數(shù)列提煉出定義，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，類比等差數(shù)列下定義，增強(qiáng)學(xué)生的類比能力，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系.讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，強(qiáng)化學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力.設(shè)計(jì)意圖問題1

以上數(shù)列有怎樣的取值規(guī)律？

問題2

類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？四、教學(xué)過程——探究新知04OPTION通過體會數(shù)學(xué)符號語言的簡潔美，有助于理解概念的本質(zhì)，為通項(xiàng)公式的推導(dǎo)做鋪墊.設(shè)計(jì)意圖【探究一】

等比數(shù)列的定義

等比數(shù)列的定義：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母

表示.例如①的公比問題3

你能用符號語言描述等比數(shù)列的定義嗎？四、教學(xué)過程——探究新知04OPTION讓學(xué)生感受到等比數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)學(xué)模型，體會到數(shù)學(xué)源于生活的實(shí)際，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看問題.設(shè)計(jì)意圖問題4

你能列舉生活中一些等比數(shù)列的例子嗎？04OPTION學(xué)生對剛學(xué)習(xí)的概念理解還不夠深刻，通過概念的辨析，強(qiáng)化學(xué)生對等比數(shù)列概念的理解，看清“等比”的本質(zhì)特征.結(jié)合練習(xí)找到定義中需注意的點(diǎn)，講練結(jié)合，使學(xué)生更好的掌握知識.設(shè)計(jì)意圖四、教學(xué)過程——探究新知練習(xí)1

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列．如果是，寫出它的公比．

（1）16，8，4，2，1（2）1，

（3）1，1，1，0，1

（4）1，1，1，1，1 四、教學(xué)過程——探究新知四、教學(xué)過程——探究新知04OPTION理解了等比數(shù)列概念的基礎(chǔ)上，類比等差中項(xiàng)的定義，進(jìn)一步由學(xué)生自己給出等比中項(xiàng)的定義，再一次經(jīng)歷由特殊到一般，為后面研究等比數(shù)列的性質(zhì)做鋪墊.設(shè)計(jì)意圖

練習(xí)3

在-1，()，4中插入一個(gè)什么數(shù)使其變成等比數(shù)列.思考:

任何兩個(gè)非零實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？四、教學(xué)過程——探究新知04OPTION研究折紙問題，呼應(yīng)開頭，并引出研究等比數(shù)列通項(xiàng)公式的必要性.培養(yǎng)學(xué)生自己解決問題的能力，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”.設(shè)計(jì)意圖【探究二】

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【探究】

等比數(shù)列1，2，4，8，16，…的第10項(xiàng)是多少？第50項(xiàng)是多少？四、教學(xué)過程——探究新知04OPTION不完全歸納法直觀但未必可靠，由這種方法得到的結(jié)論還需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明才可以用，進(jìn)而引出實(shí)用性更強(qiáng)的累乘法.同時(shí)在小組討論中培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神.設(shè)計(jì)意圖

問題5

那同學(xué)們能不能類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的研究過程，來推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？

1、不完全歸納法04OPTION類比舊知識，探究新定義，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，并對不同方法加以比較，利用學(xué)生思維的發(fā)散，提高思維能力.設(shè)計(jì)意圖四、教學(xué)過程——探究新知問題6

還有什么其他方法，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？2、累乘法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

首項(xiàng)為

,公比

為的等差數(shù)列

的通項(xiàng)公式為注：等比數(shù)列中四個(gè)基本量a1，an，n，q知三求一（方程思想）四、教學(xué)過程——探究新知04OPTION引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步掌握函數(shù)思想，增強(qiáng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).設(shè)計(jì)意圖四、教學(xué)過程——探究新知

問題7

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，觀察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，它和哪一類函數(shù)有關(guān)？四、教學(xué)過程——例題分析04OPTION通過具體例題講解，分析等比數(shù)列通項(xiàng)公式中的四個(gè)量，已知什么？求什么？怎么求？提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力.培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思想、方程思想(知三求一)，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的意識.設(shè)計(jì)意圖

例1

若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求

的第5項(xiàng).

例2

已知等比數(shù)列

的公比為

試用

的第

項(xiàng)

表示.四、教學(xué)過程——課堂小結(jié)04OPTION通過設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果，突出重點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思能力及概括能力、表達(dá)能力.設(shè)計(jì)意圖