PAGEPAGE1二平面與圓柱面的截線課時過關·實力提升基礎鞏固1下列說法不正確的是()A.圓柱面的母線與軸線平行B.圓柱面的某一軸截面垂直于直截面C.圓柱面與斜截面截得的橢圓的離心率與圓柱面半徑無關,只與母線和斜截面的夾角有關D.平面截圓柱面的截線橢圓中,短軸長即為圓柱面的半徑解析明顯A正確;由于任一軸截面過軸線,故軸截面與圓柱的直截面垂直,B正確;C明顯正確;D中短軸長應為圓柱面的直徑長,故不正確.答案D2已知平面β與一圓柱斜截口(橢圓)的離心率為32,則平面β與圓柱母線的夾角是()A.30° B.60° C.45° D.90°解析設β與母線夾角為φ,則cosφ=32,故φ=30°答案A3假如橢圓的兩個焦點將長軸分成三等份,那么,這個橢圓的兩條準線間的距離是焦距的()A.9倍 B.4倍 C.12倍 D.18倍解析設橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c,由已知,得2a3=2c,即a=3c,故兩條準線間的距離為2a2答案A4一組底面為同心圓的圓柱被一平面所截,截口橢圓具有()A.相同的長軸 B.相同的焦點C.相同的準線 D.相同的離心率解析因為底面半徑大小不等,所以長軸不同.嵌入的Dandelin球不同,則焦點不同,準線也不同,而平面與圓柱的母線夾角相同,故離心率相同.答案D5若橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形,則此橢圓的離心率是()A.15 B.34 C.33解析設橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c,由已知a=2c,得ca=12答案D6兩個圓柱的底面半徑分別為R,r(R>r),平面π與它們的母線的夾角分別為α,β(α<β<90°),斜截口橢圓的離心率分別為e1,e2,則()A.e1>e2 B.e1<e2 C.e1=e2 D.無法確定解析∵e1=cosα,e2=cosβ,又α<β<90°時,cosα>cosβ,∴e1>e2.答案A7已知圓柱的底面半徑為2,平面π與圓柱的斜截口橢圓的離心率為12,則橢圓的長半軸是()A.2 B.4 C.163 D.解析設橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c.由題意,知b=2,ca則a2-4a答案D8已知平面π截圓柱體,截口是一條封閉曲線,且截面與底面所成的角為45°,此曲線是,它的離心率為.

答案橢圓29已知橢圓兩條準線間的距離為8,離心率為12,則Dandelin球的半徑是.

解析由題意知a解得a∴b=a2-c2=答案310如圖,設兩個焦點的距離F1F2=2c,兩個端點的距離G1G2=2a,求證:l1與l2之間的距離為2a2證明如圖,設橢圓上隨意一點P,過點P作PQ1⊥l1于點Q1,過點P作PQ2⊥l2于點Q2.連接PF1,PF2.∵e=PF∴PF1=caPQ1,PF2=caPQ由橢圓定義,知PF1+PF2=2a,∴caPQ1+caPQ2=2∴PQ1+PQ2=2a即l1與l2之間的距離為2a實力提升1如圖,過點F1作F1Q⊥G1G2,若△QF1F2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率為()A.2B.2C.2-2D.2-1解析設橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c.∵△QF1F2是等腰直角三角形,∴QF1=F1F2=2c,QF2=22c.由橢圓的定義,得QF1+QF2=2a,∴e=2c2a答案D2已知圓柱的底面半徑為r,平面α與圓柱母線的夾角為30°,則它們截口橢圓的焦距是()A.23r B.43r C.3r D.3r解析如圖,過點G2作G2H⊥AD,H為垂足,則G2H=2r.在Rt△G1G2H中,G1G2=G2Hcos60°=2r×2∴長軸2a=G1G2=4r,短軸2b=2r.∴焦距2c=2a2-b2=2×3r=答案A3一平面截圓柱(圓柱底面半徑為1,高足夠長)的側面,得到一個離心率是32的二次曲線,該曲線兩焦點之間的距離為()A.2 B.23 C.32 D.3解析∵e=32<1,∴曲線是橢圓,且e=cosθ=32,θ=30°,φ=60°(φ∴cos60°=22a,∴2a=212=4,又ca=32,∴c=3.∴2答案B★4如圖,已知A為左頂點,F是左焦點,l交OA的延長線于點B,點P,Q在橢圓上,有PD⊥l于點D,QF⊥AO,則橢圓的離心率是①PFPD;②QFBF③AOBO;④AFAB;⑤FOAO.A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①②③④⑤解析①PFPD②過點Q作QC⊥l于C,∵QC=FB,∴QFBF③∵AO=a,BO=a2c,∴AOBO④∵AF=a-c,AB=a2c∴AFAB=a-⑤∵FO=c,AO=a,∴FOAO=∴①②③④⑤的表述均正確,故選D.答案D5已知圓柱底面半徑為b,平面π與圓柱母線的夾角為30°,在圓柱與平面交線上有一點P到一準線l1的距離是3b,則點P到另一準線l2對應的焦點F2的距離是.

解析由題意知,橢圓短軸長為2b,長軸長2a=2bsin30°=4b,∴c=∴e=3b2b=32設點P到焦點F1的距離為d,則d3b=32,又PF1+PF2=2a=4b,∴PF2=4b-PF1=4b-32b=52答案526如圖,已知PF1∶PF2=1∶3,AB=12,G1G2=20,求PQ的長.解設橢圓長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,由已知可得a=10,b=6,c=a2-b2=8,e=ca=45.由橢圓定義,知PF1又PF1∶PF2=1∶3,則PF1=5,PF2=15.由離心率定義,得PF∴PQ=254★7如圖,在圓柱O1O2內嵌入雙球,使它們與圓柱面相切,并且和圓柱的斜截面相切,切點分別為F1,F2.求證:斜截面與圓柱面的截線是以點F1,F2為焦點的橢圓.證明如圖,設點P為曲線上任一點,連接PF1,PF2,則PF1,PF2分別是兩個球面的切線,切點分別為F1,F2,過點P作母