第1頁/共1頁銀川市·石嘴山市2025年普通高中學科教學質量檢測數學（滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區.2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.5．本試卷共5頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據根式的性質解不等式求集合，再由交運算求集合.【詳解】由題設，則.故選：B2.已知復數z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據復數的除法運算即可得到答案.【詳解】.故選：D.3.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據奇函數的性質及已知區間的解析式，結合指數函數及對數運算性質求函數值，即可得.【詳解】由函數是定義在上的奇函數，則當時，，故，所以.故選：A4.已知函數，則函數的單調遞增區間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換得，再求出其單調區間即可.【詳解】，令，解得，所以其單調遞增區間為.故選：A.5.已知函數，若函數與圖象有三個交點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據函數與的圖象有三個交點，得到有三個根，再分離參數得到去分析與的交點個數.【詳解】因為函數與的圖象有三個交點，所以，當時，方程必然成立，當時，分離參數可得，則與有兩個交點，若，則，若，則，如圖所示，結合圖像，要與有兩個交點，需滿足.故選：C6.如圖所示，質點P從點A出發，沿AB，BC，CD運動至點D，已知，，則質點P位移的大小是（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由數量積的運算律，定義，結合模長計算可得.【詳解】由題意可得質點P位移為，所以因為，，所以，設的夾角為，所以，因為所以，所以.故選：D7.已知拋物線C的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F且垂直于l的直線與C的準線交于點D．若，則（）A. B. C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】令，設，若，即，聯立拋物線與直線，并應用韋達定理及已知得，進而確定坐標，結合得，即可求弦長.【詳解】令，則，可設，若，即，聯立拋物線和直線，可得，則，，而，即，故，，所以，則，可得，故，，所以，則，，由上，聯立，可得，即，所以，可得，故，所以.故選：B8.現有編號為A，B，C的三盞燈和三個開關，每個開關單獨控制一盞燈，每按一次開關相應的燈都按紅、黃、藍的順序變換一次顏色．假設三盞燈初始顏色均為紅色，如果三個開關總共按90次，則三盞燈的顏色不可能是（）A.紅、紅、紅 B.紅、藍、黃 C.紅、黃、黃 D.黃、黃、黃【答案】C【解析】【分析】依據規律可知，按、、次后燈為黃色、藍色、紅色，則可計算共按次數，通過判斷其方程是否有正整數根來做出選擇.【詳解】由題意可知，按次后燈為黃色，按次后燈為藍色，按次后燈為紅色，其中，設分別與A，B，C三盞燈對應，A：若最后為紅、紅、紅，則共按次，即，故A可實現；B：若最后為紅、藍、黃，則共按次，即，故B可實現；C：若最后為紅、黃、黃，則共按次，即，故C不可能實現；D：若最后為紅、藍、黃，則共按次，即，故D可實現；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圓柱內有一個棱長為2的正方體，正方體的各個頂點在圓柱的上、下底面圓周上，則（）A.圓柱的軸截面為正方形B.過正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分C.圓柱的表面積為D.若圓柱的上下底面是一個球的兩個平行截面，則該球的體積是【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據題意求軸截面的邊長即可；對于B：根據對稱性分析判斷；對于C：求圓柱的底面半徑和母線長，進而可得表面積；對于D：可知該球的球心為，進而求球的半徑和體積.【詳解】如圖所示，對于正方體和圓柱，正方體的中心為，對于選項A：由題意可知：，所以圓柱的軸截面不為正方形，故A錯誤；對于選項B：因為正方體的中心也為圓柱的中心，根據對稱性可知過正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分，故B正確；對于選項C：可知圓柱的底面半徑為，母線長為2，所以圓柱的表面積為，故C正確；對于選項D：可知該球的球心為，則，即球的半徑為，所以該球的體積是，故D正確；故選：BCD.10.已知函數，則（）A.B.函數的圖象位于直線與之間C.若是函數的極值點，則曲線在處的切線方程為或D.函數在區間上單調遞減【答案】ABC【解析】【分析】代入結合正弦函數的誘導公式可得A正確；由正弦函數的值域可得B正確；由正弦函數的極值點結合導數的意義和點斜式方程可得C正確；舉反例可得D錯誤.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由正弦函數的值域可得，即函數的圖象位于直線與之間，故B正確；對于C，若是函數的極值點，則，又，所以，且，所以由點斜式可得曲線在處的切線方程為或，故C正確；對于D，舉反例，當時，；當時，，故D錯誤.故選：ABC11.雙曲線的左、右焦點分別為，過作漸近線的垂線l，垂足為N，l與另一條漸近線交于點M，且M，N都在x軸上方，，點在E上，則（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.雙曲線的離心率C.直線與的斜率之積是2 D.雙曲線在點P處的切線與x軸交于點I，則【答案】AD【解析】【分析】由題設，且漸近線為，若垂直于，則，聯立漸近線求得、，結合已知得，結合雙曲線參數關系判斷A、B；應用斜率的兩點式判斷C；設點P處的切線為并聯立雙曲線，由求得，即可求得，即可判斷D.【詳解】由題設，且漸近線為，若垂直于，則，，可得，同理得，由，則，整理得，可得，B錯，所以，故漸近線方程為，A對，在雙曲線上，則，則，所以，則，C錯；點P處的切線為，聯立，得，所以，則，所以，則，故切線為，令，則，故，D對.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學舉辦知識競賽，題庫中共有1000道試題，其中有500道A類題，300道B類題，200道C類題．根據以往經驗，某同學答對A，B，C三類試題的概率分別為．若該同學從題庫中隨機選一道試題作答，則他答對的概率是________．【答案】##0.68【解析】【分析】利用全概率公式計算可得.【詳解】設學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，設學生答對試題為事件，則，，，，，，所以.故答案為：.13.在中，點D在邊BC上，，則________．【答案】【解析】【分析】不妨設，利用正弦定理可得，結合余弦定理運算求解.【詳解】不妨設，因，由正弦定理可得，則，即，所以.故答案為：.14.已知函數的圖象與直線交于A，B兩點，且在處取得極值．設，若，則的面積為________．【答案】【解析】【分析】令，研究的奇偶性、單調性并確定各區間的函數值符號，畫出其大致圖象，根據與的平移關系，結合函數圖象及極值定義求三角形面積.【詳解】令，顯然定義域為，由，故為偶函數，由，在、上單調遞減，在、上單調遞增，且、上，上，在區間內趨向時趨向正無窮，在、內趨向時趨向負無窮，顯然在處取得極小值，為，故的大致圖象如下，根據與的平移關系，若與的交點，則，極值點，當，結合對稱性易知，，又，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某制藥廠生產一種治療流感的藥物，該藥品有效成分的標準含量為/片．由于升級了生產工藝，需檢驗采用新工藝生產的藥品的有效成分是否達標，現隨機抽取了生產的10片藥品作為樣本，測得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．（1）計算樣本的平均數和方差；（2）判斷采用新工藝生產的藥品的有效成分是否達標（若，則認為采用新工藝生產的藥品的有效成分不達標；反之認為達標）．【答案】（1），；（2）達標.【解析】【分析】（1）根據平均數和方差的計算公式即可得到答案；（2）計算兩者的平方值并比較大小即可.【小問1詳解】，.【小問2詳解】因為，，所以，故采用新工藝生產的藥品的有效成分達標．16.已知數列滿足．（1）證明：數列為等差數列；（2）設，記數列的前n項和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）等式兩邊同時除以可得；（2）（ii）由錯位相減法求和即可；（ii）構造數列，由不等式組求數列的最值大即可.【小問1詳解】因，即，所以數列是以為首項，3為公差的等差數列.【小問2詳解】（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因為，所以，令，不妨設的第項取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.17.已知函數，其中．（1）求函數的極值；（2）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，求a的值；（3）當時，證明：當時，．【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導數研究極值即可；（2）先求出在點處的切線，再由導數幾何意義求的切點，根據共切線且切點在切線上求參數值；（3）問題化為當，時，恒成立，利用導數研究左側的單調性及最值，即可證.【小問1詳解】由題設且，則，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，所以有極小值，無極大值；【小問2詳解】由，則，故切線方程為，而，令，則，所以切點為，且在上，所以，可得；【小問3詳解】由，問題等價于當，時，恒成立，令且，則，所以，對于且，則，所以，，即在上單調遞增，，，即在上單調遞減，所以，即恒成立，所以，故在上單調遞減，則，綜上，恒成立，結論得證.18.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為1和2的正方形，O為底面ABCD的中心，．（1）求證：平面ABCD；（2）設M為的中點，CM交于點P，點Q滿足．（i）求直線AP與平面所成角的正弦值；（ⅱ）求平面與平面APQ夾角的余弦值的取值范圍，并說明t取何值時，平面平面APQ．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）；（ⅱ），時平面平面APQ．【解析】【分析】（1）由題設得，利用三角形相似及等腰三角形的性質得，再應用線面垂直的判定即可證；（2）（i）構建合適的空間直角坐標系，并確定相關點的坐標，應用向量法求線面角的正弦值；（ⅱ）根據空間直角坐標系，應用向量法求面面角的余弦值范圍，進而確定面面垂直對應的參數值即可.【小問1詳解】由題設，顯然，易知為直角三角形，即，連接，又，為公共邊，則，即，由題意為中點，則，由且都在面內，則平面ABCD；【小問2詳解】（i）由（1）知平面ABCD，而且，則，即為平行四邊形，故，故面ABCD，且為正方形，可構建如圖示的空間直角坐標系，則，由M為的中點，CM交于點P，設，由，，則，所以，則，可得，則，而面的一個法向量為，所以，故直線AP與平面所成角的正弦值；（ⅱ）由，則，故，又，，若是面，即面的一個法向量，則，取，故，若是面APQ的一個法向量，則，取，故，所以，由，則，所以，當時，，此時平面平面APQ．19.已知橢圓的右頂點為，上頂點為，離心率為，點在橢圓上，以原點為圓心的圓與直線相切．（1）求橢圓及圓的方程；（2）過作兩條互相垂直的射線交橢圓于兩點．（i）證明：直線與圓相切；（ii）求面積的取值范圍．【答案】（1）橢圓：，圓：；（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據離心率以及點在橢圓上，求出的值，得到橢圓方程；根據圓心到切線的距離為半徑，求得圓的方程；（2）分類討論當直線的斜率存在和不存在時