有理系數多項式的有理根的求法研究目錄TOC\o"1-3"\h\u0引言 摘要：多項式是代數學的一個基本概念，它與高階方程的討論有關，它在代數的進一步研究中起著重要的作用，是學習許多數學分支的工具。在多項式理論中，人們有興趣理解有理系數多項式的概念及性質，進一步掌握有理系數多項式的有理根的計算方法，關于有理系數多項式的有理根的研究一直是人們感興趣的問題。有理系數多項式在多項式的研究中起著越來越重要的作用。本文介紹有理系數多項式的概念及性質，有理系數多項式的有理根的求法與整系數多項式的有理根的求法關系，有理系數多項式的有理根的求法。關鍵詞：本原多項式，可約，有理系數多項式。0引言有理系數多項式是高等代數里面多項式因式分解討論的一個特例。每一個次數大于等于1的有理系數多項式都能唯一地分解成不可約的有理系數多項式的乘積。但是對于任意一個給定的多項式，要具體地寫出它的分解式卻是一個很復雜的問題，即使要判別一個有理系數多項式是否可約也不是一個容易解決的問題，有理系數多項式的因式分解問題，可以歸結為整系數多項式的因式分解問題，并進一步解決有理系數多項式的有理根的求法，并且，在有理系數多項式環中有任意次數的不可約多項式。有理系數多項式的有理根的研究工作，可以轉化為討論整系數多項式的有理根，由于系數的整數性導致了研究的相對困難，多項式這一傳統課題的繼續研究意義重大，無論是對于多項式理論知識的完善。還是對于學生對多項式知識的進一步的理解深化都具有一定的意義。1有理系數多項式的概念及性質1.1有理系數多項式的概念定義1設，其中，每一個系數屬于有理數，則稱為有理系數多項式。特別的，若每一個系數屬于整數，則稱為整系數多項式。1.2有理系數多項式的性質引理1設是有理數域上的多項式，若，其中為有理數，為整系數多項式，則在有理數域上可約在有理數域上可約。定義2若是一個整系數多項式的系數互素，即設多項式是整系數多項式，若每一個系數的最大公約數為1，那么稱為一個本原多項式。引理2（高斯引理）兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式。證設給了兩個本原多項式，，并且設。有，則最大公約數是1，若不是。設是的公約素數，且，所以，且，而是素數，從而或。不妨設，而是本原多項式。存在，且，使得，但不能整除。同理存在，且，使得，但不能整除。所以中除外，所有項均可被整除，而是的公約數，所以，而，又是素數，故或，但不能整除且不能整除，所以矛盾。則這樣的不存在，從而是一個本原多項式。引理3若是本原多項式，是非整數的有理數，則是非整系數多項式。定理1整系數多項式在有理數域上可約在整數上可約。證必要性顯然成立。充分性設，是有理數系數多項式，，則，是本原多項式。同理，是本原多項式。則，由引理3可知為整數，因為和是本原多項式，由引理2可知是本原多項式。則在整數上可約。定理2若是一個整系數次多項式在有理數域上可約，那么總可以分解成次數都小于的兩個整系數多項式的乘積。證設，這里與都是有理數域上的次數小于的多項式。令的系數的公分母是。那么，這里是一個整系數多項式。又令的系數的最大公因數是。那么，這里是一個有理數而是一個本原多項式。同理，這里是一個有理數而是一個本原多項式。于是，其中與是互素的整數，并且。由于是一個整系數多項式，所以多項式的每一系數與的乘積都必須被整除。但與互素，所以的每一系數必須被整除，這就是說，是多項式的系數的一個公因數。但是一個本原多項式，因此，而。和顯然各與和有相同的次數，這樣，可以分解成次數都小于的兩個整系數多項式的乘積。定理3（艾森斯坦法）設是一個整系數多項式。若是能夠找到一個素數，使最高次項系數不能被整除；其余各項的系數都能被整除；常數項不能被整除，那么多項式在有理數域上不可約。證若是多項式在有理數域上可約，那么由定理2，可以分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積：這里，，并且。由此得到。因為，而是一個素數，所以或。但不能整除，所以不能同時整除與。不妨假設而不能整除。可設，有，不能整除，因為，，有，其中，從而，即或，又因為不能整除，與假設矛盾，所以這樣的不存在。即多項式在有理數域上不可約。證明下列多項式在有理數域上不可約：（i）；（ii）；（iii）；證（i），。素數不能整除，而能整除其他系數。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，多項式在有理數域上不可約。（ii），。素數不能整除，而能整除其他系數。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，多項式在有理數域上不可約。（iii）設。，。素數不能整除，而能整除其他系數。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，在有理數域上不可約，則多項式在有理數域上也不可約。證明對任意的，多項式在有理數域上不可約。證設，。素數不能整除，而能整除其他系數。但不能被整除。由定理3（艾森斯坦法）可知，對任意的，多項式在有理數域上不可約。2有理系數多項式的有理根及求法2.1有理系數多項式的有理根定義1設有理系數多項式，其中為整數且，如果當（是有理數）時，的值，那么叫做的一個有理根。其中，令，則為整系數多項式，令，則，即與有相同的根，從而求有理系數多項式的有理根可以轉化為求整系數多項式的有理根。2.2有理系數多項式的有理根的求法定理1設是一個整系數多項式。若是有理數是的一個根，這里和是互素的整數，那么整除的最高次項系數，而整除的常數項；，這里是一個整系數多項式。證由于是的一個根，所以，這里是一個有理系數多項式。我們有，這里是一個本原多項式，因為和互素。另一方面，可以寫成，這里是一個有理數而是一個本原多項式。這樣，這里和是互素的整數并且，而和都是本原多項式。由此，和定理1的證明一樣，可以推得，而（3），這里是一個整系數多項式。令。那么由（3）得。比較系數，得和，這就是說整除而整除。另一方面，比較（2）和（3），得，所以也是一個整系數多項式。定理2設整數是整系數多項式的根，則都是整數。證由整系數多項式，有理系數多項式，且，得到，則，得所以為整系數多項式。因為，，所以，。證畢。定理3（綜合除法）設，。若，則為的有理根。通過以上的三個定理得到有理系數多項式的有理根的求法：第一步：求出的最高次項系數的所有因數，常數項的所有因數，得到所有可能的有理根；第二步：算出和，同時判斷是否為的有理根，再把所有可能的有理根進行檢驗，如果與都是整數，那么得到的所有都可能是的有理根；第三步：用綜合除法試驗第二步得出的是否為的有理根，如果除得的余數為0，那么是的有理根。第四步：令，判斷是否為的有理根，若是則為重根，再次用綜合除法，判斷為幾重根，若不是則為的有理單根。求下列多項式的有理根：（i）（ii）（iii）（iv）（i）第一步：令。；第二步：，當且僅當時，與都是整數；第三步：取進行試驗，由綜合除法得是多項式的一個有理根；第四步：同時可得，容易看出不是多項式的有理根，所以不是的重根，綜上所述，是多項式的唯一的有理單根。（ii）第一步：令。，；第二步：當且僅當時，與都是整數；第三步：取進行試驗，由綜合除法得是多項式的一個有理根。第四步：同時可得，容易看出不是多項式的有理根，所以不是的重根，綜上所述，是多項式的唯一的有理單根。（iii）第一步：，令，由定義1知與的有理根相同。，；第二步：當且僅當時，與都是整數；第三步：取進行試驗，由綜合除法，，得是多項式的一個有理根。第四步：同時可得，容易看出不是多項式的有理根，所以不是的重根，綜上所述，是多項式的唯一的有理單根。（iv）第一步：，令，由定義1知與的有理根相同。，則，令，易知的有理根也是的有理根，，；第二步：僅當時，與都是整數；第三步：取進行試驗，由綜合除法，得是多項式的一個有理根；第四步：同時可得，容易看出不是多項式的有理根，所以不是的重根，則是多項式的唯一的有理單根。從而的有理單根為，綜上所述-1和2是的兩個有理單根。證明沒有有理根。證，，不存在，使得與都是整數，則沒有有理根。證明在有理數域上不可約。證如果可約，那么至少有一個一次因式，也就是有一個有理根。，，不存在，使得與都是整數，則沒有有理根。則在有理數域上不可約。求的有理根。第一步：。令，由定義1知與的有理根相同。，；第二步：當且僅當時，與都是整數；第三步：取進行試驗，由綜合除法，，得是多項式的有理根。第四步：同時可得，容易看出和不是多項式的有理根，所以和都不是的重根，綜上所述，和是的兩個有理單根。3小結有理系數多項式的有理根的求法是多項式理論中非常重要的內容之一。人們對有理系數多項式的有理根的求法的研究有非常大的興趣，目前對于有理系數多項式的有理根的求法已經有了許多的研究，也得到了許多有意義的研究結果，本文較為系統的敘述了有理系數多項式的概念及有理系數多項式的可約性，有理系數多項式的有理根的求法與整系數多項式的有理根的求法關系，最后總結了有理系數多項式的有理根的求法。求有理系數多項式的有理根可以轉化為求整系數多項式的有理根，我們可以用定理簡潔的整理求解有理系數多項式的有理根的求解過程，盡可能的將有理根的范圍縮小，接著再用綜合除法進行試驗，得出有理系數多項式的有理根，再判斷是否為重根，最后總結有理系數多項式的全部有理根。但在有理系數多項式中理論知識還是不夠完善，以及有理系數多項式有理根的求法還是比較單一，還需要轉化為整系數多項式，沒有直接求有理系數多項式的有理根的方法，以上的方面都有待我們再次深入研究。參考文獻：[1].程云鵬,張凱院.矩陣論[M].西安:西北工業大學出版社,2001[2].北京大學數學系.高等代數[M].北京:北京大學出版社,2003[3].R.A.合恩，C.R.約翰遜.矩陣分析[M].天津:天津大學出版社,1989[4].謝國瑞.線性代數及其應用[M].北京:高等教育出版社,2000[5].黃廷祝，楊傳勝.特殊矩陣分