統計概率解答題鞏固練習五1．（2023·山東淄博·統考三模）有一大批產品等待驗收，驗收方案如下：方案一：從中任取6件產品檢驗，次品件數大于1拒收；方案二：依次從中取4件產品檢驗；若取到次品，則停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍無次品，通過驗收.(1)若本批產品次品率為，選擇“方案二”，求需要抽取次數X的均值；(2)若本批產品次品率為，比較選擇哪種方案容易通過驗收？【答案】(1)均值為；(2)答案見解析；【解析】（1）隨機變量需要抽取次數.其分布列為：，，，；.需要抽取次數的均值為.（2）按照方案一：通過驗收的概率為：

按照方案二：通過驗收的概率為：

當時，即，解得，此時選擇方案一更容易通過驗收；

當時，，此時選擇方案一、方案二結果相同；

當時，即，解得，此時選擇方案二更容易通過驗收；2．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京順利召開，會議過后，某市宣傳部組織市民積極參加“學習十四大”知識競賽，并從所有參賽市民中隨機抽取了100人，統計了他們的競賽成績，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這100位市民競賽成績的第75百分位數；(2)該市某企業贊助了本次知識競賽，并對每位參賽市民給予一定的獎勵，獎勵方案有以下兩種：方案一：按競賽成績進行分類獎勵：當時，每人獎勵60元；當時，每人獎勵120元；當時，每人獎勵180元.方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中競賽成績低于樣本中位數的只有一次抽獎機會，競賽成績不低于樣本中位數的有兩次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應的概率如表.獎金60120概率若該市某社區的所有參賽市民決定選擇同一種獎勵方案，試利用樣本的頻率估計總體的概率，從數學期望的角度分析，該社區參賽市民選擇哪種獎勵方案更有利？【答案】(1)79.75；(2)方案二更有利【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：，，故第75百分位數位于之間，，故這100位市民的競賽成績的第75百分位數是79.75；（2）方案一、設獎勵為X，則X的可能取值為60，120，180，結合頻率分布直方圖可知，，故X的分布列為：X60120180P0.360.560.08則，方案二、設獎勵為Y，則Y的可能取值為60，120，180，240，則，故Y的分布列為：Y60120180240P則,顯然103.2＜120，故方案二更有利.3．（2023·江蘇南通·統考模擬預測）某微型電子集成系統可安裝3個或5個元件，每個元件正常工作的概率均為且各元件是否正常工作相互獨立．若有超過一半的元件正常工作，則該系統能穩定工作．(1)若該系統安裝了3個元件，且，求它穩定工作的概率；(2)試比較安裝了5個元件的系統與安裝了3個元件的系統哪個更穩定．【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1）設安裝3個元件的系統穩定工作的概率為P，則3個元件中至少2個元件正常工作．又因為各元件是否正常工作相互獨立，所以．所以安裝3個元件的系統穩定工作的概率為．（2）由（1）知，安裝3個元件的系統穩定工作的概率．設安裝5個元件的系統穩定工作的概率為，則．所以．當時，，兩個系統工作的穩定性相同；當時，，3個元件的系統比5個元件的系統更穩定；當時，，5個元件的系統比3個元件的系統更穩定．4．（2023·廣東東莞·東莞實驗中學校考模擬預測）為倡導公益環保理念，培養學生社會實踐能力，某中學開展了舊物義賣活動，所得善款將用于捐贈“圓夢困境學生”計劃.活動共計50多個班級參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當屬優秀畢業生們的筆記本，已知高三1，2，3班分別有，，的同學有購買意向.假設三個班的人數比例為.(1)現從三個班中隨機抽取一位同學：（i）求該同學有購買意向的概率；（ii）如果該同學有購買意向，求此人來自2班的概率；(2)對于優秀畢業生的筆記本，設計了一種有趣的“擲骰子叫價確定購買資格”的競買方式：統一以0元為初始叫價，通過擲骰子確定新叫價，若點數大于2，則在已叫價格基礎上增加1元更新叫價，若點數小于3，則在已叫價格基礎上增加2元更新叫價；重復上述過程，能叫到10元，即獲得以10元為價格的購買資格，未出現叫價為10元的情況則失去購買資格，并結束叫價.若甲同學已搶先選中了其中一本筆記本，試估計其獲得該筆記本購買資格的概率（精確到0.01）.【答案】(1)（i）；（ii）(2)0.75.【解析】（1）（i）設事件“該同學有購買意向”，事件“該同學來自班”.由題意可知，，所以，由全概率公式可得：.（ii）由條件概率可得.（2）由題意可得每次叫價增加1元的概率為，每次叫價增加2元的概率為.設叫價為元的概率為，叫價出現元的情況只有下列兩種：①叫價為元，且骰子點數大于2，其概率為；②叫價為元，且骰子點數小于3，其概率為.于是得到，易得，由于，于是當時，數列是以首項為，公比為的等比數列，故.于是于是，甲同學能夠獲得筆記本購買資格的概率約為0.75.5．（2023·湖北武漢·統考三模）某考生在做高考數學模擬題第12題時發現不會做．已知該題有四個選項，為多選題，至少有兩項正確，至多有3個選項正確．評分標準為：全部選對得5分，部分選對得2分，選到錯誤選項得0分．設此題正確答案為2個選項的概率為．已知該考生隨機選擇若干個（至少一個）．(1)若，該考生隨機選擇2個選項，求得分X的分布列及數學期望；(2)為使他此題得分數學期望最高，請你幫他從以下三種方案中選一種，并說明理由．方案一：隨機選擇一個選項；方案二：隨機選擇兩個選項；方案三：隨機選擇三個選項．【答案】(1)分布列見解析，(2)選擇方案一，理由見解析【解析】（1）設多選題正確答案是“選兩項”為事件，正確答案是“選三項”為事件，則．考生得0分，2分，5分為事件，，，，．當時，，則正確答案是“選兩項”時，考生選2項，全對得5分，有選錯得0分；正確答案是“選三項”時，考生選2項，選出了2個正確選項得2分，有選錯得0分．因為，所以．因為，所以，．所以，得分X的分布列為：X025P得分X的數學期望．（2）（2）方案一：隨機選擇一個選項正確答案是“選兩項”時，考生選1項，選對得2分，選錯得0分；正確答案是“選三項”時，考生選1項，選對得2分，選錯得0分．因為，所以．因為，所以所以，隨機選擇一個選項得分