考點40兩個計數(shù)原理、排列與組合（P3-16）考點41二項式定理（P17-34）考點42隨機(jī)事件與概率（P35-56）考點43事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式（P57-77）考點44離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)字特征（P78-94）考點45二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布（P95-111）熱考題型15概率、統(tǒng)計與其他知識的綜合（P112-137）考點40

兩個計數(shù)原理、排列與組合經(jīng)典3+21.[2023江蘇南京市、鹽城市一模]把5個相同的小球分給3個小朋友，使每個小朋友都能分到小球的分法有(

)

BA.4種

B.6種

C.21種

D.35種

2.[2022新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有(

)

BA.12種

B.24種

C.36種

D.48種

DA.56種

B.64種

C.72種

D.96種

4.[2024北京市第十二中學(xué)期末]4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時，又來了2位同學(xué)要加入，如果保持原來4位同學(xué)的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為(

)

DA.10

B.20

C.24

D.30

5.[2024北京市景山學(xué)校期末]在0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)中任取4個數(shù)，將其組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除且比4

351大的數(shù)共有(

)

CA.54個

B.62個

C.74個

D.82個

6.[2023新課標(biāo)Ⅰ卷]某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有____種（用數(shù)字作答）.64

1

560

8.[2024甘肅白銀檢測]如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有____種．48【解析】

可分四步：第一步，涂區(qū)域1，有4種選擇；第二步，涂區(qū)域2，有3種選擇；第三步，涂區(qū)域3，有2種選擇；

創(chuàng)新1+11.新考向·與立體幾何交匯[2023武漢市武昌區(qū)質(zhì)檢]若平面內(nèi)有7條直線,其中沒有2條平行,也沒有3條交于一點,則共有____個交點.（用數(shù)字作答）21

2.新考向·滲透容斥原理[2024天星原創(chuàng)]某藝術(shù)團(tuán)的演員中，會演歌唱節(jié)目的有6人，會演舞蹈節(jié)目的有5人，當(dāng)中同時能歌能舞的只有2人，現(xiàn)在從中選派4人參加演出，要求至少有2人能演舞蹈節(jié)目，那么不同的選派方法共有_____種.105

14

考點41

二項式定理經(jīng)典3+2

D

B

D

DA.1.23

B.1.24

C.1.33

D.1.34

B

BD

BCDA.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256

B.第6項的系數(shù)最大C.存在常數(shù)項

D.有理項共有6項

選項分析過程正誤AB由題意知展開式共11項，故第6項的系數(shù)最大√C√D√

AD

1

024120

8

創(chuàng)新1+1

3（答案不唯一）

14或23

考點42

隨機(jī)事件與概率經(jīng)典3+21.[2023全國甲卷（文）]某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為(

)

D

C

3.[2023湖南張家界模擬]有3本不同的科技類書，2本不同的文藝類書，若將其隨機(jī)并排擺放到書架的同一層上，則同一類別的書都不相鄰的概率是(

)

B

4.[2023天星原創(chuàng)]某地區(qū)從教育、醫(yī)療、衛(wèi)生、環(huán)保四個領(lǐng)域中遴選6個提案提交審議，若每個領(lǐng)域至少有一個提案，則教育領(lǐng)域至少有2個提案的概率為(

)

B

5.[2024貴州貴陽摸底]某節(jié)目打卡爽爽的貴陽城.該節(jié)目甲組成員和乙組成員與來自貴陽社會各界的400位青年一起在貴州大學(xué)體育館唱響了一場“青春歌會”.節(jié)目組在前期準(zhǔn)備工作中統(tǒng)計出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲.在活動中，甲組成員要從這10首歌曲中競猜排名前5名的歌曲，則在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率為(

)

B

信息轉(zhuǎn)化10個球中有5個球已標(biāo)上黑色,求從10個球中隨意摸5個,恰好摸到2個黑球的概率.【解析】6.[2023長沙市重點中學(xué)摸底]屈原是中國歷史上一位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和代表作家，其主要作品有《離騷》《九歌》《九章》《天問》等.某校于2023年6月第一個周舉辦“國學(xué)經(jīng)典誦讀”活動，計劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問》,周三不讀《離騷》的概率為(

)

C

7.數(shù)學(xué)文化[2023天星原創(chuàng)]上古時代神話傳說中，伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出了“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”（如圖）．河圖把一到十這十個數(shù)字分成五組，其口訣為：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中．現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機(jī)抽取六個數(shù)，則能成為三組的概率是(

)

C

B

BCD

ACD

11.較難［多選］[2023崇德中學(xué)段考]算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.如圖是我國傳統(tǒng)算盤的示意圖，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子ACD

12.[2022全國乙卷（理）]從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為___.

13.[2024河南洛陽部分學(xué)校聯(lián)考]為了推廣一種飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動:將8罐這種飲料裝一箱，且每箱中都放置3罐能中獎的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，則能中獎的概率為___.

14.[2022全國甲卷（理）]從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為___.

圖1圖215.較難[2024湖北武漢第四十九中學(xué)段考]四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著一枚完全相同的硬幣，所有人同時拋擲自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著.那么沒有出現(xiàn)相鄰的兩個人站起來的情況的概率為___.

創(chuàng)新1+1

A

考點43

事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式經(jīng)典3+2

A

D

C

BC

BD

是2

創(chuàng)新1+1

AA.0.8

B.0.6

C.0.5

D.0.4

B

ABD

回歸教材幾乎每年的高考試題都有以教材上的例題或習(xí)題為基礎(chǔ)進(jìn)行改編的試題.本題是在人教A版選擇性必修第三冊第51頁例6的基礎(chǔ)上進(jìn)行再創(chuàng)造而成的,題目背景學(xué)生熟悉且親切，既有利于學(xué)生發(fā)揮，又有利于教、學(xué)、考的銜接.這就要求我們在復(fù)習(xí)時既要重視教材，又要對教材再開發(fā)、再理解、再提高、再升華.3.新考法·創(chuàng)新設(shè)問形式[2022新高考I卷]一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組）,得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090

0.050

0.010

0.0013.841

6.635

10.828.

考點44

離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)字特征經(jīng)典3+2

C

X012P

D

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

01020300.160.440.340.06

4.較難[2023湖北武漢調(diào)研]口袋中共有7個質(zhì)地和大小均相同的小球,其中4個是黑球,現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個小球，直到將4個黑球全部取出時停止.

創(chuàng)新1+1

3456

（2）甲、乙兩人約定：由裁判員通過不斷拋擲硬幣，讓棋子從起點出發(fā)，并按上述規(guī)則依序前進(jìn)，直到游戲結(jié)束.若棋子最終停留在第19站，則甲選手獲勝；若棋子最終停留在第20站，則乙選手獲勝.試分析這個約定對甲、乙兩人是否公平.

2.43概率0.40.6假設(shè)圖中同組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值估算，并以頻率估計概率.

9601

0801

2001

3501

5000.10.20.250.30.15

0.40.6

0.40.6

考點45

二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布經(jīng)典3+2

AC

BD

0.2

0123

0123

（1）求甲在第一次答錯的情況下，第二次和第三次均答對的概率；

（2）請從期望和方差的角度分析甲、乙誰被錄用的可能性更大.

123

0123

012

熱考題型15

概率、統(tǒng)計與其他知識的綜合題型1

跨學(xué)科交匯

C

題型2

與平面幾何、立體幾何交匯

題型3

與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式交匯

ABD

5.[2023新課標(biāo)Ⅱ卷]某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:患病者未患病者

6.較難[2024廣東七校聯(lián)考]規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回地任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中