第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）1．（3分）某地區(qū)某日最高氣溫是零上8℃，記作+8℃，最低氣溫是零下3℃，應(yīng)該記作（）A．﹣3℃ B．+3℃ C．﹣5℃ D．+5℃2．（3分）如圖，這個(gè)幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）在學(xué)校文藝匯演中，7名參加舞蹈表演的女生身高（單位：cm）如下：170175169171172170173這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．175 B．172 C．171 D．1704．（3分）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A．4xy﹣3xy＝1 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．5 D．5．（3分）剪紙是我國(guó)民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對(duì)稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合，則點(diǎn)A（﹣4，2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4）6．（3分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2（其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2為常數(shù)）的圖象分別為直線l1，l2.下列結(jié)論正確的是（）A．b1+b2＞0 B．b1b2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1k2＜07．（3分）不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，那么兩次都摸出白球的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）將三角尺ABC按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線l1上，頂點(diǎn)B落在直線l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．45° B．35° C．30° D．25°9．（3分）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，以下條件不能證明?ABCD是菱形的是（）A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD210．（3分）如圖，小程的爸爸用一段10m長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長(zhǎng)5.5m）的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)1m寬的門（由其它材料成），則BC長(zhǎng)為（）A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m11．（3分）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門所在圓的圓心，若AB＝1m，CD＝2.5m，則拱門所在圓的半徑為（）A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m12．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，EF∥x軸，點(diǎn)E在雙曲線y（k為常數(shù)，k＞0）上，將正六邊形ABCDEF向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)D恰好落在雙曲線上，則k的值為（）A．4 B．3 C．2 D．3二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對(duì)應(yīng)題的橫線上）13．（3分）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝．14．（3分）如圖，根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙，用不等式表示零件長(zhǎng)度L的合格尺寸（L的取值范圍）．15．（3分）分式方程的解是．16．（3分）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成一個(gè)底面半徑為5cm，母線長(zhǎng)為12cm的圓錐的側(cè)面，那么這個(gè)扇形紙片的面積是cm2（結(jié)果用含π的式子表示）．17．（3分）關(guān)于拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常數(shù)），下列結(jié)論正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．①當(dāng)m＝0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸；②若此拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m＝﹣4；③若點(diǎn)A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在拋物線上，則y1＜y2；④無(wú)論m為何值，拋物線的頂點(diǎn)到直線y＝x的距離都等于2．三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號(hào)后面標(biāo)出，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上寫出解答各題的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟18．（5分）計(jì)算：|2|+2sin60°﹣（﹣π）0．19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）（4a﹣b），其中a，b＝2．20．（6分）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹的高度．如圖，從C點(diǎn)測(cè)得楊樹底端B點(diǎn)的仰角是30°，BC長(zhǎng)6米，在距離C點(diǎn)4米處的D點(diǎn)測(cè)得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為45°，求楊樹AB的高度（精確到0.1米，AB，BC，CD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：1.73）．21．（8分）為迎接2024年5月26日的科爾沁馬拉松賽事，某中學(xué)七年級(jí)提前開展了一次“馬拉松”歷史知識(shí)測(cè)試．七年級(jí)600名學(xué)生全部參加本次測(cè)試，調(diào)查研究小組隨機(jī)抽取50名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（百分制）作為一個(gè)樣本．【收集數(shù)據(jù)】調(diào)查研究小組收集到50名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838352848080829291867786887270719390819074788175【整理描述數(shù)據(jù)】通過(guò)整理數(shù)據(jù)，得到以下尚不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：組別成績(jī)分組頻數(shù)A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9016D90≤x≤100b（1）頻數(shù)分布表中a＝，b＝，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中m＝，D所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是．【應(yīng)用數(shù)據(jù)】（3）若成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)參加這次知識(shí)測(cè)試的七年級(jí)學(xué)生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．22．（8分）如圖，△ABC中．∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：∠ABC＝2∠ACD；（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半徑．23．（10分）某中學(xué)為加強(qiáng)新時(shí)代中學(xué)生勞動(dòng)教育，開辟了勞動(dòng)教育實(shí)踐基地．在基地建設(shè)過(guò)程中，需要采購(gòu)煎蛋器和三明治機(jī)．經(jīng)過(guò)調(diào)查，購(gòu)買2臺(tái)煎蛋器和1臺(tái)三明治機(jī)需240元，購(gòu)買1臺(tái)煎蛋器和3臺(tái)三明治機(jī)需395元．（1）求煎蛋器和三明治機(jī)每臺(tái)價(jià)格各是多少元；（2）學(xué)校準(zhǔn)備采購(gòu)這兩種機(jī)器共50臺(tái)，其中要求三明治機(jī)的臺(tái)數(shù)不少于煎蛋器臺(tái)數(shù)的一半．請(qǐng)你給出最節(jié)省費(fèi)用的購(gòu)買方案．24．（8分）【實(shí)際情境】手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“牽形圖”，AM＝AN，DM＝DN．求證∠AMD＝∠AND．【模型應(yīng)用】（2）如圖2、△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過(guò)程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，AC為⊙O的直徑，，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．求證AE＝2CD．25．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，拋物線（k為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且交x軸于A，B兩點(diǎn)．（1）求拋物線表示的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD，DP，CP．求四邊形ACPD的面積．26．（10分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某小組將一個(gè)含45°的三角尺AEF和一個(gè)正方形紙板ABCD如圖1擺放，若AE＝1，AB＝2．將三角尺AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）角，觀察圖形的變化，完成探究活動(dòng)．【初步探究】如圖2，連接BE，DF并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，BG交AD于點(diǎn)M．問(wèn)題1BE和DF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．【深入探究】應(yīng)用問(wèn)題1的結(jié)論解決下面的問(wèn)題．問(wèn)題2如圖3，連接BD，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，連接OA，OG．求證OA＝OD＝OG．【嘗試應(yīng)用】問(wèn)題3如圖4，請(qǐng)直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α從0°變化到60°時(shí)，點(diǎn)G經(jīng)過(guò)路線的長(zhǎng)度．

2024年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）1．（3分）某地區(qū)某日最高氣溫是零上8℃，記作+8℃，最低氣溫是零下3℃，應(yīng)該記作（）A．﹣3℃ B．+3℃ C．﹣5℃ D．+5℃【答案】A【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，某地區(qū)某日最高氣溫是零上8℃，記作+8℃，最低氣溫是零下3℃，應(yīng)該記作﹣3℃．故選：A．2．（3分）如圖，這個(gè)幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：這個(gè)幾何體的俯視圖是，故選：D．3．（3分）在學(xué)校文藝匯演中，7名參加舞蹈表演的女生身高（單位：cm）如下：170175169171172170173這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．175 B．172 C．171 D．170【答案】C【解答】解：把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：169，170，170，171，171，173，175，∵排序后位于中間的數(shù)是171，∴中位數(shù)為171cm，故選：C．4．（3分）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A．4xy﹣3xy＝1 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．5 D．【答案】B【解答】解：A.4xy﹣3xy＝xy，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．（﹣a2）3＝﹣a6，因此選項(xiàng)B符合題意；C.|﹣5|＝5，因此選項(xiàng)C不符合題意；D.23，因此選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．5．（3分）剪紙是我國(guó)民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對(duì)稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合，則點(diǎn)A（﹣4，2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4）【答案】C【解答】解：由所給圖形可知，此圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，所以點(diǎn)A（﹣4，2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）．故選：C．6．（3分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2（其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2為常數(shù)）的圖象分別為直線l1，l2.下列結(jié)論正確的是（）A．b1+b2＞0 B．b1b2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1k2＜0【答案】A【解答】解：由圖象可得，b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，∴b1+b2＞0，故選項(xiàng)A正確，符合題意；b1b2＜0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；k1+k2＞0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；k1k2＞0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．7．（3分）不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，那么兩次都摸出白球的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：列表如下：紅白白紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）白（白，紅）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，白）（白，白）共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸出白球的結(jié)果有4種，∴兩次都摸出白球的概率為．故選：C．8．（3分）將三角尺ABC按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線l1上，頂點(diǎn)B落在直線l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．45° B．35° C．30° D．25°【答案】B【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝25°，∴∠2＝60°﹣25°＝35°．故選：B．9．（3分）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，以下條件不能證明?ABCD是菱形的是（）A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2【答案】D【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵OA2+OB2＝AD2，∴OA2+OD2＝AD2，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)C不符合題意，D、∵AD2+OA2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∴不能證得?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．10．（3分）如圖，小程的爸爸用一段10m長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長(zhǎng)5.5m）的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)1m寬的門（由其它材料成），則BC長(zhǎng)為（）A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m【答案】C【解答】解：設(shè)BC長(zhǎng)為xm，則AB的長(zhǎng)為（10+1﹣x）m，根據(jù)題意得，（10+1﹣x）x＝15，解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去），答：BC長(zhǎng)為5m，故選：C．11．（3分）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門所在圓的圓心，若AB＝1m，CD＝2.5m，則拱門所在圓的半徑為（）A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，∵D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門所在圓的圓心，AB＝1m，∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，設(shè)拱門所在圓的半徑為rm，∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m，∴OD＝2.5﹣r，∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2，解得：r＝1.3，∴拱門所在圓的半徑為1.3m；故選B．12．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，EF∥x軸，點(diǎn)E在雙曲線y（k為常數(shù)，k＞0）上，將正六邊形ABCDEF向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)D恰好落在雙曲線上，則k的值為（）A．4 B．3 C．2 D．3【答案】A【解答】解：如圖，作DG⊥EF交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，DG交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)H，∵原點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，EF∥x軸，∴∠EDO60°，∴EDG＝30°，∴EGED，GD設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為a，則E（，），H（a，），∵點(diǎn)EH都在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得a＝4，∴H（4，），∴k＝4．故選：A．二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對(duì)應(yīng)題的橫線上）13．（3分）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2，＝3a（x2﹣2xy+y2），＝3a（x﹣y）2，故答案為：3a（x﹣y）2．14．（3分）如圖，根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙，用不等式表示零件長(zhǎng)度L的合格尺寸（L的取值范圍）39.9≤L≤40.1．【答案】39.9≤L≤40.1．【解答】解：根據(jù)題意，得39.9≤L≤40.1．故答案為：39.9≤L≤40.1．15．（3分）分式方程的解是x＝﹣4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：去分母得：3x＝2x﹣4，解得：x＝﹣4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣4是分式方程的解．故答案為：x＝﹣416．（3分）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成一個(gè)底面半徑為5cm，母線長(zhǎng)為12cm的圓錐的側(cè)面，那么這個(gè)扇形紙片的面積是60πcm2（結(jié)果用含π的式子表示）．【答案】60π．【解答】解：這個(gè)扇形紙片的面積是為2π×5×12＝60π（cm2）．故答案為：60π．17．（3分）關(guān)于拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常數(shù)），下列結(jié)論正確的是①④（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．①當(dāng)m＝0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸；②若此拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m＝﹣4；③若點(diǎn)A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在拋物線上，則y1＜y2；④無(wú)論m為何值，拋物線的頂點(diǎn)到直線y＝x的距離都等于2．【答案】①④．【解答】解：當(dāng)m＝0時(shí)，拋物線為y＝x2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸是y軸，故①正確．又若此拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．∴m＝4，故②錯(cuò)誤．由題意，∵拋物線為y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，∴對(duì)稱軸是直線xm．又拋物線開口向上，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越?。帧逜（m﹣2，y1），B（m+1，y2），∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．∴y1＞y2，故③錯(cuò)誤．由題意，∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的對(duì)稱軸是直線x＝m，∴頂點(diǎn)為（m，m﹣4）．∴頂點(diǎn)在直線y＝x﹣4上．又直線y＝x與y＝x﹣4平行，∴頂點(diǎn)到直線y＝x的距離等于兩條平行線間的距離．又直線y＝x﹣4與y軸的夾角為45°，且y＝x﹣4是y＝x向下平移4個(gè)單位得到的，∴兩平行線間的距離為4sin45°＝42．∴頂點(diǎn)到直線y＝x的距離為2，故④正確．故答案為：①④．三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號(hào)后面標(biāo)出，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上寫出解答各題的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟18．（5分）計(jì)算：|2|+2sin60°﹣（﹣π）0．【答案】1．【解答】解：|2|+2sin60°﹣（﹣π）0＝221＝21＝1．19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）（4a﹣b），其中a，b＝2．【答案】﹣3ab；．【解答】解：原式＝4a2﹣b2﹣（4a2﹣ab+4ab﹣b2）＝4a2﹣b2﹣4a2+ab﹣4ab+b2＝﹣3ab．當(dāng)a，b＝2時(shí)，原式．20．（6分）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹的高度．如圖，從C點(diǎn)測(cè)得楊樹底端B點(diǎn)的仰角是30°，BC長(zhǎng)6米，在距離C點(diǎn)4米處的D點(diǎn)測(cè)得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為45°，求楊樹AB的高度（精確到0.1米，AB，BC，CD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：1.73）．【答案】楊樹AB的高度約為6.2米．【解答】解：延長(zhǎng)AB交DC于H，則∠AHD＝90°，∵∠BCH＝30°，BC＝6米，∴BHBC＝3米，CHBC＝3米，∵∠ADC＝45°，∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+3）米，∴AB＝AH﹣BH＝4+33＝1+36.2（米），答：楊樹AB的高度約為6.2米．21．（8分）為迎接2024年5月26日的科爾沁馬拉松賽事，某中學(xué)七年級(jí)提前開展了一次“馬拉松”歷史知識(shí)測(cè)試．七年級(jí)600名學(xué)生全部參加本次測(cè)試，調(diào)查研究小組隨機(jī)抽取50名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（百分制）作為一個(gè)樣本．【收集數(shù)據(jù)】調(diào)查研究小組收集到50名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838352848080829291867786887270719390819074788175【整理描述數(shù)據(jù)】通過(guò)整理數(shù)據(jù)，得到以下尚不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：組別成績(jī)分組頻數(shù)A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9016D90≤x≤100b（1）頻數(shù)分布表中a＝9，b＝9，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中m＝18，D所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是64.8°．【應(yīng)用數(shù)據(jù)】（3）若成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)參加這次知識(shí)測(cè)試的七年級(jí)學(xué)生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【答案】（1）80，0.45，80；（2）18，64.8°；（3）108人．【解答】解：（1）頻數(shù)分布表中a＝9，b＝9，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：故答案為：80，0.45，80；（2）∵m%100%＝18%，∴m＝18，D所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是360°×18%＝64.8°；故答案為：18，64.8°；（3）600×18%＝108（人），答：估計(jì)參加這次知識(shí)測(cè)試的七年級(jí)學(xué)生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為108人．22．（8分）如圖，△ABC中．∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：∠ABC＝2∠ACD；（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解答；（2）3．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵AB為⊙O的切線，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°，∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10，∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得r＝3，即⊙O的半徑為3．23．（10分）某中學(xué)為加強(qiáng)新時(shí)代中學(xué)生勞動(dòng)教育，開辟了勞動(dòng)教育實(shí)踐基地．在基地建設(shè)過(guò)程中，需要采購(gòu)煎蛋器和三明治機(jī)．經(jīng)過(guò)調(diào)查，購(gòu)買2臺(tái)煎蛋器和1臺(tái)三明治機(jī)需240元，購(gòu)買1臺(tái)煎蛋器和3臺(tái)三明治機(jī)需395元．（1）求煎蛋器和三明治機(jī)每臺(tái)價(jià)格各是多少元；（2）學(xué)校準(zhǔn)備采購(gòu)這兩種機(jī)器共50臺(tái)，其中要求三明治機(jī)的臺(tái)數(shù)不少于煎蛋器臺(tái)數(shù)的一半．請(qǐng)你給出最節(jié)省費(fèi)用的購(gòu)買方案．【答案】（1）每臺(tái)煎蛋器的價(jià)格是65元，每臺(tái)三明治機(jī)的價(jià)格是110元；（2）最節(jié)省費(fèi)用的購(gòu)買方案為：購(gòu)買33臺(tái)煎蛋器，17臺(tái)三明治機(jī)．【解答】解：（1）設(shè)每臺(tái)煎蛋器的價(jià)格是x元，每臺(tái)三明治機(jī)的價(jià)格是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每臺(tái)煎蛋器的價(jià)格是65元，每臺(tái)三明治機(jī)的價(jià)格是110元；（2）設(shè)購(gòu)買m臺(tái)煎蛋器，則購(gòu)買（50﹣m）臺(tái)三明治機(jī)，根據(jù)題意得：50﹣mm，解得：m．設(shè)學(xué)校采購(gòu)這兩種機(jī)器所需總費(fèi)用為w元，則w＝65m+110（50﹣m），即w＝﹣45m+5500，∵﹣45＜0，∴w隨m的增大而減小，又∵m為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝33時(shí)，w取得最小值，此時(shí)50﹣m＝50﹣33＝17，∴最節(jié)省費(fèi)用的購(gòu)買方案為：購(gòu)買33臺(tái)煎蛋器，17臺(tái)三明治機(jī)．24．（8分）【實(shí)際情境】手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“牽形圖”，AM＝AN，DM＝DN．求證∠AMD＝∠AND．【模型應(yīng)用】（2）如圖2、△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過(guò)程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，AC為⊙O的直徑，，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．求證AE＝2CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【解答】解：（1）在△ADM和△ADN中，，∴△ADM≌△ADN（SSS），∴∠AMD＝∠AND；（2）解：（Ⅰ）選擇②為條件，①為結(jié)論，如圖，在AC取點(diǎn)N，使AN＝AM，連接DN，∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中，∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，∴△ADM≌△ADN（SAS），∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，∵AC＝AM+MD，AC＝AN+NC，∴DM＝CN，∴DN＝CN，∴∠C＝∠CDN，∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN+∠C＝2∠C；（Ⅱ）選擇①為條件，②為結(jié)論，如圖，在AC取點(diǎn)N，使AN＝AM，連接DN，∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中，∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，∴△ADM≌△ADN（SAS），∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，∵∠AMD＝2∠C，∴∠AND＝2∠C＝∠CDN+∠C，∴∠CDN＝∠C，∴DN＝CN，∴DM＝CN，∵AC＝AN+NC，∴AC＝AM+MD；（3）如圖，連接BD，取AE的中點(diǎn)F，連接BF，∵∠BAC的平分線AD，∴，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴AE＝2BF＝2AF，∴∠ABF＝∠BAF，∵∠BAF＝∠BCD，∴∠ABF＝∠CBD，∵，∴AB＝BC，∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD＝CD，∴AE＝2CD．25．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，拋物線（k為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且交x軸于A，B兩點(diǎn)．（1）求拋物線表示的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD，DP，C