函數概念與基本初等函數第三章

第9講函數模型及其應用欄目導航01基礎整合

自測糾偏03配套訓練02重難突破

能力提升基礎整合自測糾偏11.幾類函數模型2.三種函數模型的性質遞增遞增y軸x軸3.解函數應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型．(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型．(3)解模：求解數學模型，得出數學結論．(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．【特別提醒】“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小．x123458y0.51.52.082.52.853.52．(2021年臨沂月考)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是

(

)A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)【答案】B3．(2021年寧波期末)(多選)如圖所示的某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系為y＝at.有以下幾個判斷，正確的是 (

)A．a＝2B．浮萍從5m2蔓延到15m2只需要經過1.5個月C．在第6個月，浮萍面積超過30m2D．若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所經過的時間分別為t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3【答案】ACD【答案】185．(2021年大慶模擬)某機構一年需購買消毒液300噸，每次購買x噸，每次運費為3萬元，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．【答案】15判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利． (

)(2)冪函數增長比直線增長更快． (

)(3)在(0，＋∞)內，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>0)的增長速度． (

)(4)指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增長速度越來越快． (

)(5)指數函數模型，一般用于解決變化較快、短時間內變化量較大的實際問題． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√重難突破能力提升2已知函數模型求解實際問題【答案】C【解題技巧】利用所給函數模型解決實際問題的關鍵點(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數；(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數；(3)利用該模型求解實際問題．【答案】C利用函數圖象刻畫實際問題給出下列四個結論：①在[t1，t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；②在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；③在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；④甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強．其中所有正確結論的序號是________．【答案】①②③【解析】由題圖可知甲企業的污水排放量在t1時刻高于乙企業，而在t2時刻甲、乙兩企業的污水排放量相同，故在[t1，t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強，故①正確；由題圖知在t2時刻，甲企業對應的關系圖象斜率的絕對值大于乙企業，故②正確；在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都低于污水達標排放量，故都已達標，③正確；甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力明顯低于[t1，t2]時的，故④錯誤．【解題技巧】判斷實際問題中兩變量呈現某種變化趨勢的方法(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象；(2)驗證法：當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．【變式精練】2．(1)(2021年武漢月考)如圖所示是一魚缸的軸截面圖，已知該魚缸裝滿水時儲水量為V，缸高為H，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是 (

)(2)已知甲、乙兩車由同一起點同時出發，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙，如圖所示，那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是 (

)A．在t1時刻，甲車在乙車前面B．t1時刻后，甲車在乙車后面C．在t0時刻，兩車的位置相同D．t0時刻后，乙車在甲車前面【答案】(1)B

(2)A【解析】(1)v＝f(h)是增函數，且曲線的斜率應該是先變大后變小．故選B．(2)由圖象可知，曲線v甲比v乙在0～t0,0～t1與t軸所圍成的圖形面積大，則在t0，t1時刻，甲車均在乙車前面．示通法構建函數模型解決實際問題的步驟構建函數模型解決實際問題考向2構建指數、對數函數模型

(2021年青島期末)2006年某市某地段商業用地價格為每畝60萬元，由于土地價格持續上漲，到2018年已經上漲到每畝120萬元，現給出兩種地價增長方式，其中P1：f(t)＝at＋b(a，b∈R)是按直線上升的地價，P2：g(t)＝clog2(d＋t)(c，d∈R)是按對數增長的地價，t是2006年以來經過的年數.2006年對應的t值為0.(1)求f(t)，g(t)的解析式；(2)2018年開始，國家出臺“穩定土地價格”的相關調控政策，為此，該市要求2022年的地價相對于2018年上漲幅度控制在10%以內，請分析比較以上兩種增長方式，確定出最合適的一種模型(參考數據：log210≈3.32)．(1)求k的值，并將該產品每日的利潤L(萬元)表示為日產量x(千只)的函數；(2)當日產量為多少千只時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．【解題技巧】構建函數模型解決實際問題的方法(1)在實際問題中，若兩個變量之間的關系是直線上升或直線下降或圖象為直線(或其一部分)，一般構建一次函數模型，利用一次函數的圖象與性質求解；構建二次函數模型，首先根據已知條件確定二次函數解析式，再利用二次函數的圖象、最值求法、單調性、零點等知識解決實際問題；若變量間的關系由幾個不同的關系式構成，則應構建分段函數模型求解．(1)你認為哪個函數模型較好，并簡單說明理由；(2)試用你認為較好的函數模型，分析大約從第幾個月份開始，該公司的月收入會超過100萬元(參考數據：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)?x15202530Q(x)