PAGE1-課時作業(yè)5三角形中的幾何計算[基礎鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．在△ABC中，B＝60°，a＝4，其面積S＝20eq\r(3)，則c＝()A．15B．16C．4eq\r(21)D．20解析：由三角形的面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB，得eq\f(1,2)×4×c×sin60°＝20eq\r(3)，解得c＝20，故選D.答案：D2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝8，則△ABC的面積為()A．12B．6eq\r(3)C．28D.eq\f(21,2)解析：由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(72＋82－32,2×7×8)＝eq\f(13,14)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(3\r(3),14)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×7×8×eq\f(3\r(3),14)＝6eq\r(3).答案：B3．三角形的一邊長為14，這條邊所對的角為60°，另兩邊之比為8∶5，則這個三角形的面積為()A．40eq\r(3)B．20eq\r(3)C．40eq\r(2)D．20eq\r(2)解析：設另兩邊長為8x,5x，則cos60°＝eq\f(64x2＋25x2－142,80x2)，解得x＝2.兩邊長是16與10，三角形的面積是eq\f(1,2)×16×10×sin60°＝40eq\r(3).答案：A4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).答案：C5．已知△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝eq\f(π,3)，則△ABC的周長等于()A．3＋eq\r(3)B．3eq\r(3)C．2＋eq\r(3)D.eq\f(3\r(3),2)解析：由已知得eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)AB·BCsineq\f(π,3)，∴AB·BC＝2.由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝AB2＋BC2－AB·BC＝(AB＋BC)2－3AB·BC＝(AB＋BC)2－6，又AC＝eq\r(3)，∴AB＋BC＝3.∴AB＋BC＋AC＝3＋eq\r(3).答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.解析：因為cosC＝eq\f(1,3)，C∈(0，π)，所以sinC＝eq\f(2\r(2),3)，所以eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，所以b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，則c＝________.解析：因為S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×5sinC＝5eq\r(3)，所以sinC＝eq\f(\r(3),2).又因為0<C<π，所以C＝eq\f(π,3)或C＝eq\f(2π,3)，所以由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5×eq\f(1,2)＝21或c2＝42＋52－2×4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝61，所以c＝eq\r(21)或c＝eq\r(61).答案：eq\r(21)或eq\r(61).8．在△ABC中，三邊a，b，c與面積S的關系式為a2＋4S＝b2＋c2，則角A＝________.解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∵4·eq\f(1,2)bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.答案：45°三、解答題(每小題10分，共20分)9．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)當A＝30°時，求a的值；(2)當△ABC的面積為3時，求a＋c的值．解析：(1)因為cosB＝eq\f(4,5)>0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝eq\f(3,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可得eq\f(a,sin30°)＝eq\f(10,3)，所以a＝eq\f(5,3).(2)因為△ABC的面積S＝eq\f(1,2)ac·sinB，sinB＝eq\f(3,5)，所以eq\f(3,10)ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝a2＋c2－eq\f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2因為a＋c>0，所以a＋c＝2eq\r(10).10．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，CD＝eq\r(6)－eq\r(2).(1)求AD的長；(2)若BC＝eq\r(10)，求△ABC的面積．解析：(1)因為AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB＝45°，在△ADC中，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(DC,sin∠DAC)，所以AD＝eq\f(\r(6)－\r(2)×sin45°,sin30°)＝2eq\r(3)－2.(2)因為∠ADC＝180°－(30°＋45°)＝105°，所以sin∠ADC＝sin(45°＋60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ADC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(DC,sin∠DAC)，所以AC＝2.設AB＝x.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB可得x2－2eq\r(2)x－6＝0，所以AB＝3eq\r(2)(舍負值)．所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·AB·sin∠CAB＝3.[實力提升](20分鐘，40分)11．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2)D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)解析：設AB＝c，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即7＝c2＋4－2×2×c×eq\f(1,2)，即c2－2c－3＝0，所以c＝3或c＝－1(負值舍去)．設BC邊上的高等于h，由三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)BC·h，即eq\f(1,2)×3×2×sin60°＝eq\f(1,2)×2×h，解得h＝eq\f(3\r(3),2).故選B.答案：B12．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，則△ABC的面積為________．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝b2＋c2－eq\f(7,4)bc，①由b2－bc－2c2＝0得b＝2c或b＝－代入①得c＝2.∴b＝4，sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(15),8).S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×2×eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(15),2).答案：eq\f(\r(15),2)13．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0.(1)求A的大小．(2)若a＝7，求△ABC的周長的取值范圍．解析：(1)由正弦定理得：acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0?sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC＝sinB＋sinC?sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC?eq\r(3)sinA－cosA＝1?sin(A－30°)＝eq\f(1,2)?A－30°＝30°?A＝60°.(2)由已知：b>0，c>0，b＋c>a＝7，由余弦定理49＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－eq\f(3,4)(b＋c)2＝eq\f(1,4)(b＋c)2(當且僅當b＝c時等號成立)，所以(b＋c)2≤4×49，又b＋c>7，所以7<b＋c≤14，即14<a＋b＋c≤21.從而△ABC的周長的取值范圍是(14,21]．14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a2＋c2－b2＝eq\f(1,2)ac.(1)求sin2eq\f(A＋C,2)＋cos2B的值；(2)若b＝2，求△ABC面積的最大值．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理可知，a2＋c2－b2＝2accosB，由題意知a2＋c2－b2＝eq\f(1,2)ac，∴2accosB＝eq\f(1,2)ac，∴cosB＝eq\f(1,4).又在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sineq\f(A＋C,2)＝coseq\f(B,2)，則原式＝cos2eq\f(B,2)＋cos2B＝eq\f(1＋cosB,2)＋2cos2B－1＝2cos2B＋eq\f(1,2)cosB－eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)－eq