數學試題一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列各式中，結果是的相反數的是（）A. B. C. D.2.作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從上面看到的圖形的是（）A. B.C. D.3.矩形的一條對角線與一邊的夾角為，則兩條對角線相交所成的銳角是（）A. B. C. D.4.下列各式計算正確的是（）A. B.C. D.5.已知a，b，m是實數，且，那么有（）A. B. C. D.6.如圖，小明在點C處測得樹的頂端A仰角為，測得米，則樹的高（單位：米）為（）A. B. C. D.7.某班學生對三角形內角和為展開證明討論，以下四個學生的作法中，不能證明的內角和為的是（）A.過點A作 B.延長BC到點D，過點C作C.過點A作于點D D.過BC上一點D作，8.如圖，直線交反比例函數（）的圖象于點和點，交軸于點，，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若的面積為，則的值為（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共18分）9.單項式的系數是，次數是，則______．10.計算：_________．11.如圖，拋物線的對稱軸是直線，關于的方程的一個根為，則另一個根為________．12.已知一次函數的圖象經過原點，則的值為_________．13.如圖，中，，，，動點在邊上運動，將線段繞點逆時針旋轉得，取的中點，當點從點開始向右運動到點時結束，則對應的點所經過的路線的長度為___________．14.如圖，以為直徑的與相切于點C，交的延長線于點E，直徑，，弦，垂足為點F，連接，，則下列結論正確的是___________．（寫出所有正確結論的序號）①；②③扇形的面積為④若點P線段上一動點，則有最大值三、解答題（本大題10小題，共78分）15.先化簡，再求值：，其中．16.一個不透明口袋中有三個小球，每個小球上只標有一個漢字，分別是“步”、“步”、“高”，除漢字外其余均相同．小亮同學從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小亮同學兩次摸出小球上的漢字不相同的概率．17.《九章算術》是中國古代的一部數學專著，其中第六章《均輸》卷記載了一道有趣的數學問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，天到北海；大雁從北海起飛，天到南海．現野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經過多少天相遇？18.如圖，在中，于E，點F在邊上，，求證：四邊形是矩形．19.圖①、圖②、圖③都是正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段的端點都在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求畫圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以為底邊畫一個等腰直角三角形；（2）在圖②中畫線段（點E、F不與點A、B重合），使與線段相交，且它們所夾銳角度數為．（3）在圖③中線段左側作一點P，連結，使且的面積為．20.北京冬奧會的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學就積極組織了志愿者選拔活動，對報名的志愿者進行現場測試，現從兩所大學參加測試的志愿者中分別隨機抽取了20名志愿者的測試成績進行整理和分析（成績得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．，B．，C．；D．，E．），下面給出了部分信息：a．甲校20名志愿者的成績在D組的數據是：90，91，91，92；b．乙校20名志愿者的成績是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c．甲校抽取志愿者成績的扇形統計圖如圖所示：d．甲、乙兩校抽取的志愿者成績的平均數、中位數、眾數、方差如下表所示：學校平均數中位數眾數方差甲92a95乙92b根據以上信息，解答下列問題：（1）由上表填空：________，_______，________．（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次測試，估計甲乙兩校此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者共有多少人？21.五一勞動節前夕，龍泉公園管理處購進兩種類型的花卉盆景共盆，其中種類型的花并價格為每盆元，購買種類型的花卉盆景所需費用（單位：元）與購買數量（單位：盆）的函數關系圖象如圖所示．（1）求與的函數關系式；（2）若購買種類型花卉盆景所需的數量不超過盆，但不少于種類型花卉盆景的數量，試問如何購買能使購買費用最少？并求出最少費用．22.【綜合與實踐】問題情境：活動課上，小強同學以等腰三角形為背景展開有關圖形旋轉的探究活動．如圖1，已知中，，．將從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉，得到（點D、E分別是點B、C的對應點），旋轉角為，設線段交于點P，線段分別交、于點F、Q，如圖2．特例分析：當旋轉到時，則旋轉角的度數為___________；探究規律：在繞點A逆時針旋轉的過程中，小強同學發現線段始終等于線段，請你幫小強同學證明這一結論．拓展延伸：（1）在繞點A逆時針旋轉的過程中，直接寫出當是等腰三角形時旋轉角α的度數．（2）在圖3中，作射線、交于點M，四邊形面積記為，的面積記為，是否存在四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出此時旋轉角α的度數，及此時的值；若不存在，請說明理由．23.如圖，的面積為，，，動點從點出發，沿以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動，將線段繞點順時針旋轉至，設點的運動時間為（）．（1）；（2）連結，當平分的面積時，求的值；（3）求點的運動路徑長；（4）點在線段上運動時，在射線上作一點，使，當為銳角時，直接寫出的取值范圍．24.已知拋物線經過點，（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線上找一點，使是以為直角邊的三角形，求點的坐標；（3）交軸于點，點是拋物線上一動點，過點作于點，過點作的平行線，交軸于點．①點在下方的拋物線上時，的值記為，求的最大值及此時點的坐標；②拋物線與四邊形交點的縱坐標的最大值記為，最小值記為，當時，直接寫出點的坐標．

數學試題一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列各式中，結果是的相反數的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相反數的定義、有理數的混合運算，先求出的相反數是，再根據有理數的混合運算法則逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：的相反數是，，故A選項不符合題意；，故B選項符合題意；，故C選項不符合題意；，故D選項不符合題意；故選：B．2.作為中國非物質文化遺產之一紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從上面看到的圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了三視圖的知識，準確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形是解決問題的關鍵．從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看不到的棱都應表現在視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．【詳解】解：從上面看，得到的圖形是故選：B．3.矩形的一條對角線與一邊的夾角為，則兩條對角線相交所成的銳角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查矩形的性質，等腰三角形的判定和性質．根據矩形的性質和等邊對等角，進行求解即可．【詳解】解：如圖，矩形，則：，，∴，∴，∴兩條對角線相交所成的銳角的度數為，故選：D．4.下列各式計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查整式的乘法，冪的運算法則，解題的關鍵是掌握整式的乘法運算，冪的運算，根據冪的運算法則和單項式乘以單項式進行計算即可．【詳解】解：A、，故該選項錯誤，不符合題意；B、，故該選項錯誤，不符合題意；C、，故該選項錯誤，不符合題意；D、，故該選項正確，符合題意；故選：D．5.已知a，b，m是實數，且，那么有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了不等式的性質，熟知不等式的性質是解題的關鍵：不等式兩邊同時加上或減去一個數或者式子，不等號不改變方向，不等式兩邊乘以乘以或除以一個正數，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以或除以一個負數，不等號改變方向．【詳解】解：A、由不一定可得，例如，但是，原式錯誤，不符合題意；B、由可得，原式正確，符合題意；C、由不一定能得到，例如時，，原式錯誤，不符合題意；D、由不一定能得到，例如時，，原式錯誤，不符合題意；故選：B．6.如圖，小明在點C處測得樹的頂端A仰角為，測得米，則樹的高（單位：米）為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過解直角可以求得的長度．【詳解】解：在直角中，∵，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關鍵．7.某班學生對三角形內角和為展開證明討論，以下四個學生的作法中，不能證明的內角和為的是（）A.過點A作 B.延長BC到點D，過點C作C.過點A作于點D D.過BC上一點D作，【答案】C【解析】【分析】本題運用轉化的思想作出相應的平行線，把三角形的內角進行轉化，再根據平角的定義解決此題．【詳解】解：A、由，則，．由，得，故符合題意．B、由，則，．由，得，故符合題意．C、由于，則，無法證得三角形內角和是，故不符合題意．D、由，得，，則．由，得，，由，得，故符合題意，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內角和的定理的證明，熟練掌握轉化的思想以及平行線的性質是解決本題的關鍵．8.如圖，直線交反比例函數（）的圖象于點和點，交軸于點，，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若的面積為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數系數的幾何意義．根據題意得到，，繼而得到，求出，得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，，∵，∴，，∴，∴，∴，軸于點，，點在反比例函數，，∴．故選：D．二、填空題（每小題3分，共18分）9.單項式的系數是，次數是，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了代數式求值，單項式次數和系數的定義，單項式中數字因數叫做這個單項式的系數，所有字母的指數之和叫做單項式的次數，據此可得，再代值計算即可．【詳解】解：∵單項式的系數是，次數是，∴，∴，故答案為：1．10.計算：_________．【答案】18【解析】【分析】此題考查了二次根式的乘除法．根據二次根式的乘法法則進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：18．11.如圖，拋物線的對稱軸是直線，關于的方程的一個根為，則另一個根為________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線的對稱軸是，設的另一根為x，利用二次函數的對稱性即可求出x．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是，設的另一根為x，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．12.已知一次函數的圖象經過原點，則的值為_________．【答案】4【解析】【分析】本題考查了求一次函數的解析式、一次函數的定義、利用平方根解方程，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．將點代入一次函數的解析式可得一個關于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根據一次函數的定義可得，由此即可得出答案．【詳解】解：∵一次函數的圖象經過原點，∴，解得，又∵函數是一次函數，∴，解得，綜上，，故答案為：4．13.如圖，中，，，，動點在邊上運動，將線段繞點逆時針旋轉得，取的中點，當點從點開始向右運動到點時結束，則對應的點所經過的路線的長度為___________．【答案】【解析】【分析】如圖，取的中點，連接，由題意得，，則是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，得，，根據直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，再根據勾股定理，即可．【詳解】解：如圖所示：把繞點A逆時針旋轉得，取的中點，連接，∵線段繞點逆時針旋轉得，∴，，，∴當點與點重合時，點與點重合時，是等邊三角形；當點與點重合時，點在處，是等邊三角形，∴連接、兩點，為點的運動路線，∵是的中點，∴，，∴，∵在中，，，，∴，∴，∴在中，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質，以及勾股定理，解題的關鍵是掌握等邊三角形的判定和性質，勾股定理的運用，旋轉的性質．14.如圖，以為直徑與相切于點C，交的延長線于點E，直徑，，弦，垂足為點F，連接，，則下列結論正確的是___________．（寫出所有正確結論的序號）①；②③扇形的面積為④若點P為線段上一動點，則有最大值【答案】①②④【解析】【分析】根據圓周角定理，切線的性質，三角形相似的判定和性質，垂徑定理，構造二次函數求最值，扇形的面積公式解答即可.【詳解】解：∵以為直徑的與相切于點C，交的延長線于點E，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴；故①正確；∵，∴∴②正確；∵，，∴，，∴扇形的面積為，∴③錯誤；設，則，令，則，∵，∴當時，滿足，故y由最大值，且最大值為，∴④正確；故正確的結論為①②④；故答案為：①②④.【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、切線的性質以及相似三角形的判定與性質，扇形的面積，二次函數的最值，熟練掌握和靈活運算相關知識是解題的關鍵.三、解答題（本大題10小題，共78分）15.先化簡，再求值：，其中．【答案】，1【解析】【分析】先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值．本題考查了分式的化簡求值，求代數式的值，運用因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關鍵．【詳解】解：；當時，原式．16.一個不透明的口袋中有三個小球，每個小球上只標有一個漢字，分別是“步”、“步”、“高”，除漢字外其余均相同．小亮同學從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小亮同學兩次摸出小球上的漢字不相同的概率．【答案】【解析】【分析】本題考查了概率的知識，解題的關鍵是熟練掌握畫樹狀圖或者列表求解概率的性質；畫出樹狀圖，共有9個等可能的結果，小亮同學兩次摸出小球上的漢字不相同的結果有4個，即可完成求解．【詳解】解：根據題意，可以畫出如下樹狀圖：共有9種等可能的結果，其中小亮同學兩次摸出小球上的漢字不相同的結果有4種，∴P（小亮同學兩次摸出小球上的漢字不相同）．17.《九章算術》是中國古代的一部數學專著，其中第六章《均輸》卷記載了一道有趣的數學問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，天到北海；大雁從北海起飛，天到南海．現野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經過多少天相遇？【答案】天【解析】【分析】首先設經過天相遇，根據題意可得等量關系：野鴨天的路程＋大雁天的路程，再根據等量關系列出方程，再解即可．【詳解】解：設經過天相遇，根據題意，得∶，解得：．答：經過天相遇．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．18.如圖，在中，于E，點F在邊上，，求證：四邊形是矩形．【答案】見解析．【解析】【分析】由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD＝BC，再證AF＝CE，得四邊形AECF是平行四邊形，然后證∠AEC＝90°，即可得出結論．【詳解】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AD?DF＝BC?BE，即AF＝CE，∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識；熟練掌握矩形的判定方法，證出四邊形AECF為平行四邊形是解題的關鍵．19.圖①、圖②、圖③都是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段的端點都在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求畫圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以為底邊畫一個等腰直角三角形；（2）在圖②中畫線段（點E、F不與點A、B重合），使與線段相交，且它們所夾銳角的度數為．（3）在圖③中線段左側作一點P，連結，使且的面積為．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了作圖﹣運用與設計作圖、相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握以上知識．（1）根據等腰直角三角形的定義，作出圖形即可．（2）根據等腰直角三角形的定義作出圖形是等腰直角三角形，再利用網格線的特點作和平行與相交即可；（3）同理（2）作出圖形是等腰直角三角形，由勾股定理求出，利用相似三角形的性質即在線段上找到點P，使得，則，即可得到，連接即可．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求：【小問2詳解】解：如圖所示，線段即為所求：【小問3詳解】解：如圖所示，點為所求：20.北京冬奧會的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學就積極組織了志愿者選拔活動，對報名的志愿者進行現場測試，現從兩所大學參加測試的志愿者中分別隨機抽取了20名志愿者的測試成績進行整理和分析（成績得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．，B．，C．；D．，E．），下面給出了部分信息：a．甲校20名志愿者的成績在D組的數據是：90，91，91，92；b．乙校20名志愿者的成績是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c．甲校抽取志愿者成績的扇形統計圖如圖所示：d．甲、乙兩校抽取的志愿者成績的平均數、中位數、眾數、方差如下表所示：學校平均數中位數眾數方差甲92a95乙92b根據以上信息，解答下列問題：（1）由上表填空：________，_______，________．（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次測試，估計甲乙兩校此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者共有多少人？【答案】（1）；96；90（2）325人【解析】【分析】本題主要考查了求中位數，求眾數，求扇形圓心角度數，用樣本估計總體，正確讀懂統計圖是解題的關鍵．（1）根據中位數和眾數的定義求出中位數和眾數即可；再用360度乘以甲校C等級的占比即可得到答案；（2）用甲乙兩校的人數分別乘以其樣本中得分在90分以上的人數占比，然后求和即可得到答案．【小問1詳解】解：E的人數：（人）,把甲校的成績從低到高排列，處在第10名和第11名的成績分別為91分，92分，∴甲校的中位數；∵乙校得分中，得96分的人數最多，∴乙校的眾數；，故答案為：；96；90；【小問2詳解】解：人，∴估計甲乙兩校此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者共有325人．21.五一勞動節前夕，龍泉公園管理處購進兩種類型的花卉盆景共盆，其中種類型的花并價格為每盆元，購買種類型的花卉盆景所需費用（單位：元）與購買數量（單位：盆）的函數關系圖象如圖所示．（1）求與的函數關系式；（2）若購買種類型花卉盆景所需的數量不超過盆，但不少于種類型花卉盆景的數量，試問如何購買能使購買費用最少？并求出最少費用．【答案】（1）；（2）購買種類型花卉盆景盆，種類型花卉盆景盆，費用最少，費用最少為元．【解析】【分析】（）分兩種情況，利用待定系數法解答即可求解；（）設購買了種類型花卉盆景盆，則購買了種類型花卉盆景盆，列出不等式組求出的取值范圍，設購買兩種花卉盆景費用為元，求出與的一次函數關系式，再根據一次函數的性質解答即可求解；本題考查了一次函數的應用，待定系數法求函數解析式，正確求出函數關系式是解題的關鍵．【小問1詳解】解：當時，設，把代入得，，∴，∴；當時，設，把、代入得，，解得，∴；綜上，；【小問2詳解】解：設購買了種類型花卉盆景盆，則購買了種類型花卉盆景盆，由題意可得，，解得，設購買兩種花卉盆景費用為元，則，∵，∴隨的增大而減小，∴當時，的值最小，，此時，，∴購買種類型花卉盆景盆，種類型花卉盆景盆，費用最少，費用最少為元．22.【綜合與實踐】問題情境：活動課上，小強同學以等腰三角形為背景展開有關圖形旋轉的探究活動．如圖1，已知中，，．將從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉，得到（點D、E分別是點B、C的對應點），旋轉角為，設線段交于點P，線段分別交、于點F、Q，如圖2．特例分析：當旋轉到時，則旋轉角的度數為___________；探究規律：在繞點A逆時針旋轉的過程中，小強同學發現線段始終等于線段，請你幫小強同學證明這一結論．拓展延伸：（1）在繞點A逆時針旋轉的過程中，直接寫出當是等腰三角形時旋轉角α的度數．（2）在圖3中，作射線、交于點M，四邊形的面積記為，的面積記為，是否存在四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出此時旋轉角α的度數，及此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】特例分析：；探究規律：證明見解析；拓展延伸：（1）或；（2）存在，．【解析】【分析】特例分析：由等邊對等角和三角形內角和定理，得到，根據三線合一的性質，得到，再根據旋轉角的定義求解即可；探究規律：由旋轉的性質易證，即可得出結論；拓展延伸：（1）根據三角形內角和定理得到，，再根據等腰三角形的定義分三種情況討論，利用等邊對等角的性質列方程分別求解即可；（2）根據旋轉的性質和等腰三角形的性質，得到，，再根據平行四邊形兩種對邊分別平行，求出，設直線與直線的距離為，分別表示出和，即可求出的值．【詳解】解：特例分析：，，，，，，點D是點B的對應點，旋轉角，故答案為：；探究規律：由旋轉的性質可知，，，，，，即，點D、E分別是點B、C的對應點，在和中，，，；拓展延伸：（1），，，，，若是等腰三角形，①當時，，則，解得：；②當時，，則，③當時，，則，解得：（舍去），綜上可知，當是等腰三角形時旋轉角α的度數為或；（2）存在四邊形是平行四邊形，，理由如下：，，，，若四邊形是平行四邊形，則，，，，，，設直線與直線的距離為，則四邊形的面積，的面積，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，三角形內角和定理等知識，掌握相關知識點是解題關鍵．23.如圖，的面積為，，，動點從點出發，沿以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動，將線段繞點順時針旋轉至，設點的運動時間為（）．（1）；（2）連結，當平分的面積時，求的值；（3）求點運動路徑長；（4）點在線段上運動時，在射線上作一點，使，當為銳角時，直接寫出取值范圍．【答案】（1）（2）（3）（4）或【解析】【分析】（1）過點作交于點，過點作交于點，根據三角形的面積公式求出，根據等腰直角三角形的判定和性質得出，根據勾股定理求出，根據三角形的面積公式求出，根據勾股定理求出，，結合銳角三角函數的定義即可求解；（2）連接，與交于點，根據題意可得是的中線，得出，根據題意得出，，求出，，根據相似三角形的判定和性質列出方程，解方程求出的值，即可；（3）將線段繞點順時針旋轉至，連接；在上取一點，連接，將線段繞點順時針旋轉至，連接；過點作，與線段的延長線交于點，連接；過點作交于點，根據勾股定理求出，根據等腰直角三角形的判定和性質得出，，根據矩形的判定和性質得出，，求出，根據勾股定理求出；分兩種情況：①點在上，結合相似三角形的判定和性質得出：當點在上運動時，點的運動軌跡是線段，②點在上，結合相似三角形的判定和性質得出：當點在上運動時，點的運動軌跡是線段，即可求解；（4）過點作交于點，連接，先求出，，結合、是直角三角形，推得當點在線段（不包含端點）上和點在線段的延長線（不包含點）上時，為銳角，分別列出不等式，求出的取值范圍即可．【小問1詳解】解：過點作交于點，過點作交于點，如圖：∵，，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，在中，，在中，，∴，故答案為：．【小問2詳解】解：連接，與交于點，如圖：∵平分的面積，即是的中線，∴，∵動點從點出發，沿以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動，將線段繞點順時針旋轉至，點的運動時間為，∴，，∴，，∵，，∴，∴，即，解得：，即當時，平分的面積．【小問3詳解】解：將線段繞點順時針旋轉至，連接；在上取一點，連接，將線段繞點順時針旋轉至，連接；過點作，與線段的延長線交于點，連接；過點作交于點，如圖：在中，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，；分兩種情況：①點在上，當點與點重合時，點與點重合，在與中，，，，∴，∵點在上，線段繞點順時針旋轉至，線段繞點順時針旋轉至，∴點在上，即當點在上運動時，點的運動軌跡是線段，故當點在上運動時，點的運動路徑長為；②點在上，當點與點重合時，點與點