2024-2025學年江蘇省連云港市高一上學期開學摸底考數學檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知或，，則＝（

）A． B． C． D．2．設集合，，則（

）．A． B．C． D．x?1≤x≤33．若集合，，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．下列命題的否定是全稱量詞命題且為真命題的有（

）A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．至少有一個實數，使5．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，6．已知，，且恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．牛頓冷卻定律（Newton'slawofcooling）是牛頓在1701年用實驗確定的：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，環境溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足.已知環境溫度為，一塊面包從溫度為的烤箱里拿出，經過10分鐘溫度降為，那么大約再經過多長時間，溫度降為？（參考數據：）（

）A．33分鐘 B．28分鐘 C．23分鐘 D．18分鐘8．已知為正實數，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．設為全集，集合滿足條件，那么下列各式中不一定成立的是（）A． B．C． D．10．對任意，記，并稱為集合的對稱差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（

）A．若且，則A=?B．若且，則C．若且，則D．存在，使得11．下列說法不正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．若，則的最大值為2C．若不等式的解集為，則必有D．命題“，使得．”的否定為“，使得．”12．已知，且，則（

）A．的最小值是 B．最小值為C．的最大值是 D．的最小值是三、填空題（本大題共4小題）13．設A,是非空集合，定義且.已知，，則.14．已知集合，，若，則實數的取值范圍是．15．已知，則．16．設，則的最大值為.四、解答題（本大題共6小題）17．設集合，；(1)若，求實數的取值范圍；(2)若，求實數的取值范圍．18．已知集合，，全集.(1)當時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍.19．（1）已知，計算和的值；（2）已知，，求的值．20．（1）設，求的值；（2）已知，且，求的值．21．中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導體自給率目標邁出的重要一步.根據國際半導體產業協會(SEMI)的數據，在截至2024年的4年里，中國計劃建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產線，建設該生產線的成本為300萬元，若該型芯片生產線在2024年產出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.(1)已知2024年該型芯片生產線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數解析式.(2)請你為該型芯片的生產線的產量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產線所獲利潤最大，并預測最大利潤.22．設為正整數，集合．對于集合中的任意元素和，記．(1)當時，若，，求和的值；(2)當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意元素，當相同時，是奇數；當不同時，是偶數．求集合中元素個數的最大值；(3)給定不小于的，從集合中任取個兩兩互不相同的元素．證明：存在，使得．

答案1．【正確答案】D【詳解】因為或，，所以，故選D.2．【正確答案】D【詳解】集合，，則，故選D.3．【正確答案】D【詳解】因為集合，，且，當時，則，解得；當時，則，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選D.4．【正確答案】A【詳解】對于A，A是特稱命題，其否定為，，即為真命題，A正確；對于B，B是全稱命題，其否定為特稱命題，故B排除；對于C，C是特稱命題，其否定為，，即為假命題，C錯誤；對于D，D是特稱命題，其否定為任意實數x，都有，代入不成立，為假命題，D錯誤.故選A．5．【正確答案】D【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選D.6．【正確答案】B【分析】先利用“1”的代換求得的最小值，再由求解.【詳解】設，則，解得，則，，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為2，又因為對，，且恒成立，所以，故選B.7．【正確答案】C【分析】根據題意列出方程，指數對數互化，解出即可．【詳解】依題意，得，化簡得，解得.設這塊面包總共經過分鐘，溫度降為30°，則，化簡得，解得，故大約再經過（分鐘），這塊面包溫度降為30°，故選C.8．【正確答案】C【詳解】因為，則，由于，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，故選C.9．【正確答案】ABC【分析】結合舉例及集合的運算和集合的關系求解即可.【詳解】當，，，時，滿足，此時，不是的子集，所以A、B不一定成立；，，所以C不一定成立；對于D，若，則，但，因為，所以，于是，所以，同理若，則，，因此，成立，所以D成立.故選ABC.10．【正確答案】AB【分析】根據集合的新定義，結合選項以及集合交并補的性質逐一判斷即可．【詳解】對于，因為，所以，所以，且中的元素不能出現在中，因此，即正確；對于，因為，所以，即與是相同的，所以，B正確；對于，因為，所以，所以，即錯誤；對于，由于,而，故，即錯誤．故選AB．11．【正確答案】ABD【分析】對于A：根據充分、必要條件分析判斷；對于B：根據不等式運算求解；對于C：根據分類討論a的符號，結合一元二次不等式分析判斷；對于D：根據特稱命題的否定是全稱命題分析判斷.【詳解】對于選項A：例如，則，即，滿足題意，但，即充分性不成立；例如，則，即，滿足題意，但，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A錯誤；對于選項B：若，則，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，故B錯誤；對于選項C：若，則的解集不可能為兩數之間，不合題意；若，則的解集不可能為兩數之間，不合題意；綜上所述：若不等式的解集為，則必有，故C正確；對于選項D：命題“，使得．”的否定為“，使得”，故D錯誤.故選ABD.12．【正確答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到A選項；二元換一元，代入，利用二次函數求出最值，得出B選項；利用即可得到C選項；利用“1”的妙用得出D選項.【詳解】對于A項，因為，且，所以，即時，等號成立，即的最大值是，故A錯誤；對于B項，因為，所以，，所以，故B正確；對于C項，因為，且，所以，即當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D項，因為，即時，等號成立，所以的最小值是，故D錯誤．故選BC．13．【正確答案】或【詳解】∵A,是非空集合，且，而，，∴，，故或.14．【正確答案】【詳解】由，可得，由于，且，則，所以，則實數的取值范圍是，故15．【正確答案】5【分析】設，再用表達求解即可.【詳解】設，則，，，故.故516．【正確答案】2【詳解】設，則，，當且僅當，時，等號成立，故.令，解得，，所以，當，時，等號成立.故2.17．【正確答案】(1);(2)【詳解】（1）由題意，集合，，需分為和兩種情形進行討論：當時，，解得，滿足題意；當時，因為，所以，解得，綜上所述，實數的取值范圍為.（2）由題意，需分為和兩種情形進行討論：當時，，解得，滿足題意；當時，因為，所以，解得，或無解,綜上所述，實數的取值范圍為．【方法總結】根據集合的運算結果求參數的值或取值范圍的方法(1)將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系,若集合中的元素能一一列舉,則用觀察法得到不同集合中元素之間的關系;若集合與不等式有關,則一般利用數軸解決,要注意端點值能否取到.(2)將集合之間的關系轉化為解方程(組)或不等式(組)問題求解.(3)根據求解結果來確定參數的值或取值范圍.18．【正確答案】(1);(2)【詳解】（1）當時，集合，則或，所以.（2）若“”是“”的必要條件，則，因為，則，可知，可得，解得，所以實數的取值范圍為.【方法總結】充分必要條件和對應集合的關系可根據如下規則轉化:(1)若p是q的必要不充分條件,則q對應集合是p對應集合的真子集;(2)若p是q的充分不必要條件,則p對應集合是q對應集合的真子集;(3)若p是q的充要條件,則p對應集合與q對應集合相等;(4)若p是q的既不充分也不必要條件,則q對應集合與p對應集合互不包含.19．【正確答案】（1），；（2）.【詳解】解：（1）∵，∴；．（2）（方法一）．（方法二）.20．【正確答案】（1）1；（2）【詳解】（1）因為，則，則,所以；（2）因為，則，，可得，，則．由題意可得，則，且，所以．21．【正確答案】(1)；(2)當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．【分析】（1）根據利潤等于售價減成本可求利潤的表達式；（2）根據的表達式分別求出每段函數的最大值即可.【詳解】（1）（1）由題意可得，，所以，即.（2）當時，；當時，，對稱軸，；當時，由基本不等式知，當且僅當，即時等號成立，故，綜上，當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．22．【正確答案】(1)2，1；(2)最大值為4個；(3)證明見解析．【分析】（1）直接根據定義計算；（2）注意到1的個數的奇偶性，根據定義反證證明；（3）設，，，，則且，對從集合中任取個兩兩互不相同的元素，分兩種情況討論，第一種若存在兩個不同元素同時屬于一個；第二種若任意兩個不同元素都不同時屬于一個，由第二種情況推出矛盾即可．【詳解】（1）因為，所以，．（2）設，令其中()則，，，則，當，且()時，由題意知，是奇數，(不同)是偶數，等價于是奇數，(不同)是偶數．若是奇數時，則中等于1的個數為1或3，所以，且．將上述集合中的元素分成如下四組：經檢驗，每組中兩個元素，均有，所以每組中兩個元素不可能同時是集合中的元素．所以集合中元素的個數不超過4個．當且時，或，所以又集合滿足條件．所以集合中元素個數最大值為4個．（3）設，，，則且，從集合中任取個兩兩互不相同的元素，若存在兩個不同元素同時屬于一個，則，記，所以，存在，使得；若任意兩個不同元素都不同時屬于一個，則至多取個兩兩互不相同的元素，與已知取個兩兩互不相同的元素矛盾．綜上，存在，使得．2024-2025學年江蘇省連云港市高一上學期開學摸底考數學檢測試題（二）一、填空題（本大題滿分54分，其中第1-6題每題滿分4分，第7-12題每題滿分5分）1．用符號“”或“”填空：.2．不列各對象的全體不能構成集合的有.（填序號）①上大嘉高高一年級全體學生；②與1非常接近的全體實數；③7的正整數倍的全體；④給定的一條長度為1的線段上的所有點.3．已知全集，集合，則.4．已知集合，若，則實數．5．已知方程有兩個實數根和，則.6．集合，則.（用“”或“”連接）7．已知集合，，則.8．計算.9．用描述法表示被7除余3的所有自然數組成的集合.10．已知集合滿足，則滿足條件的集合的個數為.11．已知集合有且僅有兩個子集，則實數.12．設是整數集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個．二、選擇題（本大題滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分）13．如果集合中的元素是三角形的邊長，那么這個三角形一定不可能是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形14．設集合，，則（

）A． B．C． D．15．下列結論正確的是（）A．任何一個集合至少有兩個子集B．空集是任何集合的真子集C．若且，則D．若且，則16．設集合，，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17．已知，.(1)求實數的取值范圍；(2)當時，求實數的值.18．已知，.(1)若，求；(2)若且，求的值.19．已知方程，當取何值時；(1)方程有兩個不相等的實數根？(2)方程有一個實數根？20．已知集合，，.(1)若，求實數的取值范圍；(2)若，求實數的取值范圍；(3)若，求實數的取值范圍.21．已知是滿足下列條件的集合：①，；②若，，則；③若且，則.(1)判斷是否正確，并說明理由；(2)證明：若，，則；(3)證明：若，則.1．【分析】根據元素與集合的關系求解．【詳解】不是自然數，因此應填，故．2．②【分析】根據集合的概念判斷即可.【詳解】因為②所表示的研究對象不能確定，所以不能構成集合，而①③④研究對象確定符合集合的概念.故②3．【分析】利用全集和補集的運算即可得出結果.【詳解】由全集，集合可得，.故4．【分析】利用元素與集合的關系可得出關于的等式，解之即可.【詳解】因為集合，若，則，解得.故答案為.5．8【分析】利用根與系數的關系求解.【詳解】方程有兩個實數根和，則有，，所以.故86．【分析】根據元素與集合的關系，若，求出m、n的值，驗證是否符合條件即可.【詳解】當時，有，滿足.所以.故7．【分析】解集合A中函數的定義域和集合B中函數的值域，得到這兩個集合，再求交集.【詳解】函數有意義，則有，，所以，由，得，所以，則.故8．【分析】把和式中的每個分數裂成兩個分數的差，再求和即得.【詳解】.9．【分析】根據被7除余3的自然數為，結合集合的表示方法，即可求解.【詳解】由題意，設被除7的商為，余數為3，這個數可表示為，所以設被7除余3的自然數組成的集合為.故10．16【分析】根據已知，只需考慮元素的情況即可．【詳解】由已知可得，一定是集合的元素，所以只需要考慮剩余元素出現在集合中的情況即可．又集合的子集個數為，所以所有滿足條件的集合的個數是16．故16．11．1或【分析】結合已知條件，求出的解的個數，然后對參數分類討論，并結合一元二次方程的根的個數與判別式之間的關系求解即可.【詳解】若A恰有兩個子集，所以關于x的方程恰有一個實數解，①當時，，滿足題意；②當時，，所以，綜上所述，或.故1或.12．7根據集合的新定義，可得集合不含“孤立元”，則集合中的三個數必須連在一起，利用列舉法，即可求解.【詳解】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，則集合中的三個數必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，，共7個．故7.本題主要考查集合的新定義的應用，其中解答中正確理解新定義，合理轉化求解是解答的關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.13．D【分析】由集合元素的互異性可得解.【詳解】根據集合元素的互異性可知，該三角形一定不可能是等腰三角形.故選：D.14．B【分析】根據給定條件，利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，解得或，所以.故選：B15．C【分析】利用空集的性質以及子集，真子集的定義、元素與集合的屬于關系、集合與集合的包含關系對各個問題逐個判斷即可求解．【詳解】解：A．空集只有一個子集，是它本身，故錯誤，不符合題意；B．空集是任何非空集合的真子集，故錯誤，不符合題意；C．若且，則，正確，符合題意；D．若且，則不一定相等，故錯誤，不符合題意；故選：C．16．B【分析】將兩集合結構化為一致即可判斷.【詳解】，代表所有奇數，代表所有整數所以故選:B17．(1)且(2)【分析】（1）利用集合中元素的互異性解方程即可得出結果；（2）由集合相等構造方程組即可求得.【詳解】（1）由并根據集合中元素的互異性可知，即，解得且；所以實數的取值范圍為且；（2）當時可得或；當時，解得，當時，無解；所以.18．(1)；(2)1或2.【分析】（1）根據給定條件，結合