重慶市2024-2025學年高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（一）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則集合的真子集的個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．31 D．322.若復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3.已知且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．84.已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5.已知α，，且，，則（

）A． B． C． D．6.命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7.某校高三數(shù)學老師共有20人，他們的年齡分布如下表所示，下列說法正確的是（

）年齡人數(shù)126542A．這20人年齡的分位數(shù)的估計值是46.5B．這20人年齡的中位數(shù)的估計值是41C．這20人年齡的極差的估計值是55D．這20人年齡的眾數(shù)的估計值是358.已知函數(shù)，.當時，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.某學校有甲、乙、丙三個社團，人數(shù)分別為、、，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，進行某項興趣調查．已知抽出的人中有人對此感興趣，有人不感興趣，現(xiàn)從這人中隨機抽取人做進一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學生人數(shù)，則（

）A．從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為人、人、人B．隨機變量C．隨機變量的數(shù)學期望為D．若事件“抽取的3人都感興趣”，則10.在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．C．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區(qū)域的面積大于411.已知直線，A是之間的一定點并且點A到的距離分別為1，2，B是直線上一動點，作，且使AC與直線交于點C，，則（

）A．面積的最小值為B．點到直線的距離為定值C．當時，的外接圓半徑為D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個詞典里包含個不同的單詞，其中有個以字母“”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇個單詞組成一個新的子集，其中至少包含兩個“”開頭，一共有_______個這樣的子集.（要求用數(shù)字作答）13.在的展開式中，若的系數(shù)為，則_______.14.已知函數(shù)，若函數(shù)，當恰有3個零點時，求的取值范圍為_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，三棱錐中，，，是的中點.（1）求繞旋轉一周形成的幾何體的體積；（2）點在棱上，且，求直線與平面所成角的大小.16.（15分）已知的內角所對的邊分別是.（1）求角；（2）若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長的取值范圍.17.（15分）夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若在前一天選擇綠豆湯的條件下，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復．（提示：設表示第天選擇綠豆湯）（1）求該同學第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率（2）求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；（3）記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，求出的通項公式.18.（17分）已知數(shù)列的前項和為，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，公比.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，其中.①求數(shù)列的前2024項和；②求.19.（17分）已知雙曲線的中心為坐標原點，左焦點為，漸近線方程為.（1）求的方程；（2）若互相垂直的兩條直線均過點，且，直線交于兩點，交于兩點，分別為弦和的中點，直線交軸于點，設.①求；②記，，求.數(shù)學答案題號1234567891011答案ACDBAABDACDABDABD1．A【試題解析】，，三個元素，真子集個數(shù)為.2．C【試題解析】因為，所以.3．D【試題解析】且，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，的最小值為8.4．B【試題解析】，故在方向上的投影向量為.5．A【試題解析】由，，則，則.則，由，則，，.6．A【試題解析】要在上單調遞減，則，解得，在為增函數(shù)，則，解得，因為是的真子集，故命題是命題的充分不必要條件.7．B【試題解析】因為，故80%分位數(shù)落在區(qū)間，設其估計值為m，則，解得，A錯；因為，所以中位數(shù)（50%分位數(shù)）落在區(qū)間，設其估計值為n，則，解得，B正確；有表格中數(shù)據(jù)可知極差不超過，C錯；因為本題無法確定年齡的具體數(shù)值，故無法判斷眾數(shù)的值.8．D【試題解析】令，則.若，則在上恒成立，則在上單調遞減，則，不符合題意.若，則當時，，單調遞減，則，不符合題意.若，則在上恒成立，則在上單調遞增，即，符合題意.9．ACD【試題解析】設甲、乙、丙三個社團分別需抽取人，則，所以，，，所以從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為人、人、人，A正確；隨機變量的取值有，，，，，，所以隨機變量的分布列為：所以B錯誤；由期望公式可得隨機變量的數(shù)學期望，C正確；因為，所以D正確.10．ABD【試題解析】由題，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為，將其逆時針旋轉后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據(jù)A項分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設直線與第一象限花瓣分別交于點,由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經過點時取最大值4，經過點時取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當時，取得最大值為，即C錯誤；對于D，根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點，使過點的切線與直線平行，由可得切點坐標為,因,則點到直線的距離為，于是,由圖知，半個花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.11．ABD【試題解析】對于A，過作的垂線，分別交于點，則，設，則在中，，因為，所以在中，，所以，所以，因為，所以當且僅當時，取到最大值，所以面積的最小值為，所以A正確，對于B，如圖，以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，所以，，所以，所以，所以，所以點到直線的距離為，是定值，所以B正確，對于C，因為，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，，所以，所以，，因為，所以，所以由正弦定理得，所以，即的外接圓半徑為，所以C錯誤，對于D，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為，所以D正確，12．【試題解析】從含有個以字母“”開頭的個不同的單詞選擇個單詞，其中至少包含兩個“”開頭的選法可分為類，第一類：所選個單詞中，有且只有兩個“”開頭的單詞，符合要求選法有；第二類：所選個單詞中，有且只有三個“”開頭的單詞，符合要求選法有；第三類：所選個單詞中，有且只有四個“”開頭的單詞，符合要求選法有；由分類加法計數(shù)原理可得，符合要求的子集共有個.13．【試題解析】由二項式的展開式的通項公式可得第，令，可得的系數(shù)為，所以，則，則.14．【試題解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，令，即，由圖可知，或，則或，當，函數(shù)無解；當或，函數(shù)只有一個解；當或，函數(shù)有兩個解；當，函數(shù)有三個解；當恰有3個零點時，或或或或或或或或或，解得.15．（1）（6分）如圖：因為繞旋轉一周形成的幾何體為以為底面圓半徑的圓錐，由，，所以，所以，所以，又因為，點是的中點，所以，且，所以，所以，且，所以平面，所以繞旋轉一周形成的幾何體為以為底面圓半徑，以為高的圓錐，所以.（2）（7分）如圖：可知：平面，又，，所以，所以，為等腰直角三角形，又由點是的中點，所以，以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，，，，，所以，又有，設平面的一個法向量為，則即令，則，所以，設直線與平面所成角為，所以，所以.16．（1）（6分）因為，所以由正弦定理得，化簡可得，由余弦定理得，因為為三角形內角，，所以.（2）（9分）因為的外接圓面積為，故其外接圓半徑為，因為，所以由正弦定理可得故，所以，因為為銳角三角形，則，，即的周長的取值范圍為.17．（1）（2分）該同學第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率為；（2）（5分）設表示第1天選擇綠豆湯，表示第2天選擇綠豆湯，則表示第1天選擇銀耳羹，根據(jù)題意得，，所以．（3）（8分）設表示第天選擇綠豆湯，則，根據(jù)題意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，所以..18．（1）（5分）當時，，當時，，所以，顯然符合上式，所以，由題意，所以.（2）①（6分）易知，即數(shù)列的前2024項中有項分別為，其余項均為1，故數(shù)列的前2024項和；②（6分）由（1）知，而，所以，易知，，所以19．（1）（3分）依題意設雙曲線方程為，則漸近線方程為，則，解得，所以的方程為；（2）①（7分）當中有一條的斜率為，另一條直線的斜率不存在時，直線與軸重合，不符題意；所以直線的斜率均存在且不為，設的方程為，，，，，由，得，則，所以，，所以，則，所以，同理可得，因為、、三點共線，所以，又，所以，因為，所以；②（7分），故，設，則，所以，所以，所以，所以.重慶市2024-2025學年高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（二）注意事項：1.答題前，考生務必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A.B.C.D.2.若，則（）A.B.C.D.3.2024年1月至5月重慶市八大類商品和服務價格增長速度依次為，，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A.B.C.D.4.甲同學每次投籃命中的概率為，在投籃6次的實驗中，命中次數(shù)的均值為2.4，則的方差為（）A.1.44B.1.24C.1.2D.0.965.已知函數(shù)，且的圖象不經過第一象限，則函數(shù)的圖象不經過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上，為的中點，且，則的離心率為（）A.B.C.D.7.已知正四面體的高等于球的直徑，則正四面體的體積與球的體積之比為（）A.B.C.D.8.在中，，且邊上的高為，則（）A.的面積有最大值，且最大值為B.的面積有最大值，且最大值為C.的面積有最小值，且最小值為D.的面積有最小值，且最小值為二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點到拋物線準線的距離為4，則的值可能為（）A.8B.C.24D.10.將函數(shù)圖象所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A.為偶函數(shù)B.的最小正周期為C.與在上均單調遞減D.函數(shù)在上有5個零點11.若函數(shù)，則（）A.可能只有1個極值點B.當有極值點時，C.存在，使得點為曲線的對稱中心D.當不等式的解集為時，的極小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，且，則__________.13.已知是等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和為__________.14.甲?乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標號為的6個大小質地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，在正方體中，點分別在上，且.（1）若，證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.16.（15分）為了研究學生的性別和是否喜歡跳繩的關聯(lián)性，隨機調查了某中學的100名學生，整理得到如下列聯(lián)表：男學生女學生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為學生的性別和是否喜歡運動有關聯(lián)？（2）已知該校學生每分鐘的跳繩個數(shù)，該校學生經過訓練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘的跳繩個數(shù)都增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內的人數(shù)（結果精確到整數(shù)）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.17（15分）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線斜率為.（1）比較和的大小；（2）討論的單調性；（3）若有最小值，且最小值為，求的最大值.18.（17分）已知平面內一動點到點的距離與點到定直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程.（2）在直線上有一點，過點的直線與曲線相交于兩點.設，證明：只與有關.19.（17分）若數(shù)列滿足，且，則稱數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”，求的取值范圍；（2）若數(shù)列的前項和，判斷數(shù)列是否為“穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由；（3）若無窮數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”，且的前項和為，證明：當時，.高三數(shù)學入學考試答案1.C由題意得，所以.2.B由題意得，則.3.C因為，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為.4.A由題意得，則，所以.5.D當時，的圖象經過第一?三?四象限，不經過第二象限，當時，的圖象經過第二?三?四象限，不經過第一象限，則，得，所以的圖象經過第一?二?三象限，不經過第四象限.6.D由題意得，則.在中，由，得，則，得，解得，所以的離心率為.7.C設正四面體的邊長為，球的半徑為，易得正四面體的高，則.正四面體的體積，球的體積，所以.8.D設的內角的對邊分別為.由題意得C），得，得.因為，所以，即.由得，則，得（當且僅當時，等號成立），所以，則有最小值，且最小值為.9.AD由題意得的準線方程為，則，解得或.10ACD為偶函數(shù)，A正確.由題意得的最小正周期，B錯誤.由，得，所以與在上均單調遞減，C正確.當時，函數(shù)和的圖象如圖所示，函數(shù)和的圖象有5個交點，所以函數(shù)在上有5個零點，D正確.11.BCD由題意得.當，即時，，在上單調遞增，無極值點.當，即時，設是方程的兩個解，則在上單調遞增，在上單調遞減，有2個極值點.綜上，不可能只有1個極值點，當有極值點時，，A錯誤，B正確.當時，，則點為曲線的對稱中心，C正確.當不等式的解集為時，易得的零點為1和2，且1為0的二重根，則，則.易知在，上單調遞增，在上單調遞減，所以的極小值為，D正確.12.由題意得，解得.13.設等比數(shù)列的公比為，則，得，則，所以的前項和為14.若甲獲得3分，則甲必取中6號球，乙必取中1號球.當甲小球上的數(shù)字為時，甲獲得3分的概率為；當甲小球上的數(shù)字為時，甲獲得3分的概率為；當甲小球上的數(shù)字為時，甲獲得3分的概率為；當