2025年上海市金山區中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的。選擇正確的選項并填涂在答題紙的相應位置上.】1．（4分）下列函數中，一定是二次函數的是（）A．y=34x+mB．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常數） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x22．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB=35 B．cosB=35 C．3．（4分）在平面直角坐標系xOy中，對于拋物線y＝﹣（x﹣20）2+25，下列敘述正確的是（）A．拋物線有最低點，最低點的坐標是（20，25） B．拋物線有最高點，最高點的坐標是（﹣20，25） C．拋物線有最高點，最高點的坐標是（20，25） D．拋物線有最低點，最低點的坐標是（﹣20，25）4．（4分）下列說法中，正確的是（）A．兩個等腰三角形一定相似 B．兩個直角三角形一定相似 C．含45°角的兩個等腰三角形一定相似 D．含105°角的兩個等腰三角形一定相似5．（4分）在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點．下列結論中．錯誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．S△ADEC．DE=12BC D．6．（4分）已知二次函數y＝f（x）的圖象是開口向上的拋物線，拋物線的對稱軸在y軸右側．當拋物線與x軸兩交點的距離為9時，若f（﹣5）、f（﹣1）、f（4）、f（7）這四個函數值中有且只有一個值不大于0，那么在這四個函數值中，值不大于0是（）A．f（﹣5） B．f（﹣1） C．f（4） D．f（7）二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知a、b是不等于0的實數，7a＝5b，那么a+bb=8．（4分）已知f（x）＝4x2﹣1，那么f(2)=9．（4分）將二次函數y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式為．10．（4分）第七屆中國國際進口博覽會（同稱“進博會”）于2024年11月5日至10日在國家會展中心（上海）隆重舉辦．以“新時代、共享未來”為主題，是世界上首個以進口為主題的國家級博覽會．小海在地圖上（如圖）測量他家與國家會展中心（上海）的距離為2.6厘米．那么請幫小海計算出他家與國家會展中心（上海）的實際距離為千米．11．（4分）在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，添加一個條件使△ADE∽△ACB（頂點A、D、E分別與頂點A、C、B對應）．這個條件可以是．（寫出一種情況即可）12．（4分）（洞孔成像）如圖，AB∥A′B′，物像A′B′所在正方體的面與平面A′B′AB垂直，根據圖中尺寸，已知物像A′B′的長為4，那么物AB長為．13．（4分）已知兩個相似三角形的一組對應邊長分別是5厘米和2厘米，如果這組對應邊上的高的長度相差2.4厘米，那么這兩條高的長度和為厘米．14．（4分）在△ABC中，如果AB＝AC，這個三角形的重心為點G，設GB→=a→，GA→=b15．（4分）如圖，一座大樓前的殘疾人通道是斜坡，用AB表示，沿著通道走3.2米可進入樓廳，樓廳比樓外的地面高0.4米，那么殘疾人通道的坡度為．（結果保留根號的形式）16．（4分）某校初三數學活動小組在利用尺規把線段AB分割成兩條線段．（1）過點B作BC⊥AB，使BC=1（2）聯結AC，在線段CA上被取CD＝CB．（3）在線段AB上截取AE＝AD．那么AEBE=17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝13，點E在邊DC上，將矩形ABCD沿AE翻折，點D恰好落在邊BC上的點F處，那么EC的長為．18．（4分）在平面直角坐標系xOy中，將拋物線l1：y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，且a≠0），以原點為中心，旋轉180°得拋物線l2，則稱l2是l1的“中心對稱拋物線”．已知拋物線y1＝x2﹣3x﹣4，將拋物線y1向左平移n個單位長度，與x軸的交點從左到右依次為A、B．將拋物線y1的“中心對稱拋物線”y2向右也平移n個單位長度，與x軸的交點從左到右依次為C、D．當線段BC是線段AB、BD的比例中項時，n的值為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：sin60°tan60°20．（10分）在平面直角坐標系xOy中．已知：拋物線y＝ax2+bx經過點A（﹣4，3）和B（2，1）．（1）求拋物線的表達式；（2）若點C（6，m）在拋物線y＝ax2+bx上，求∠ACO的正弦值．21．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對角線AC，BD相交于點O，點E在邊AD上，且∠AEO＝∠AOE．（1）求AE的長；（2）求tan∠AEO的值．22．（10分）如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形紙片，∠A＝∠D＝90°且△ABC與△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）．是否存在經過銳角頂點的一條直線，能把△ABC或△DEF分割成兩個三角形，使分割得的兩個三角形中有一個三角形（記這個三角形的面積為S）與沒有分割的三角形相似．如果存在：（1）請寫出你的分割方案（只要寫出一個方案即可），并證明方案的正確性；（2）按照你寫出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代數式表示）．23．（12分）已知：如圖，點E是平行四邊形ABCD的對角線BD上的一點，射線AE與DC交于點F，與BC的延長線交于點H．（1）求證：AE2＝EF?EH；（2）聯結DH，若DH＝AB，AD2＝AE?AH，求證：四邊形ABCD是菱形．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0），f（x）的圖象與x軸的兩個交點分別為點P、點Q（其中點P在點Q左側）．（1）若將f（x）的圖象向上平移2個單位，得到的新拋物線g（x）經過點（1，﹣3），求新拋物線g（x）的表達式；（2）若f（x）的圖象在直線x＝1的右側呈上升趨勢，求b的取值范圍；（3）在（1）中所求的g（x）的圖象與y軸的交點記為點B，與x軸的正半軸交點記為點A，點M在g（x）的圖象上．當直線MQ與直線PB垂直，且QP=35QA25．（14分）已知三角形ADE的頂點E在三角形ABC的內部，點D、點E在直線AC同側．（1）如圖1，聯結BD、BE、CE，若△ABC和△ADE是等邊三角形時，點C、點E、點D三點共線．CE：DE＝1：2，求S△ADE：S△ABC的比值；（2）如圖2，聯結BD、BE、CE，∠BAC＝∠DAE＝n°（0＜n＜90），若AB＝AC，AD＝AE，求∠BEC﹣∠DBE的值（用含n的代數式表示）；（3）在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC，點E在高BH上，點D在HB的延長線上，聯結AE并延長交邊BC于點F，聯結DF，DA，若∠DAE＝∠ABH，△ABD與△BDF相似時，求EH的長．

一．選擇題（共6小題）題號123456答案CACDBD一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的。選擇正確的選項并填涂在答題紙的相應位置上.】1．【答案】C【解答】解：A、y=34x+m2（其中B、y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常數），當a≠0時是二次函數，故B不符合題意；C、y＝（2x﹣1）x＝2x2﹣x，是二次函數，故C符合題意；D、y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，是一次函數，故D不符合題意；故選：C．2．【答案】A【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC=5sinB=ACAB=cosB=BCAB=cotB=BCAC=tanB=ACBC=故選：A．3．【答案】C【解答】解：拋物線y＝﹣（x﹣20）2+25，開口向下，有最高點，最高點坐標（20，25），只有選項C符合條件．故選：C．4．【答案】D【解答】解：A、兩個等腰三角形不一定相似，故選項A不符合題意；B、兩個直角三角形不一定相似，故選項B不符合題意；C、含45°角的兩個等腰三角形不一定相似，故選項C不符合題意；D、含105°角的兩個等腰三角形一定相似，故選項D符合題意；故選：D．5．【答案】B【解答】解：如圖，∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12BC，DE∥BC，△ADE∽△ABC，故A、C、∵AD＝BD，∴ADAB∴S△ADE∴S△ADE=14S△ABC，故故選：B．6．【答案】D【解答】解：∵拋物線的開口向上，對稱軸在y軸右側，且拋物線與x軸兩交點的距離為9，∴在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，拋物線與x軸兩交點到對稱軸的距離為4.5，若f（﹣5）≤0，則f（﹣1）＜0，不符合題意，故f（﹣5）＞0；若f（﹣1）≤0，則拋物線與x軸的一個交點范圍為﹣4.5＜x≤﹣1，∴拋物線與x軸的另一個交點范圍為4.5＜x≤8，∴f（4）＜0，不符合題意，故f（﹣1）＞0；當f（4）≤0時，拋物線與x軸的一個交點范圍為﹣1＜x≤4，∴拋物線與x軸的另一個交點范圍為8＜x≤13，∴f（7）＜0，不符合題意，故f（4）＞0；故只能是f（7）≤0，故選：D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．【答案】127【解答】解：∵7a＝5b，∴ab∴a+bb故答案為：1278．【答案】7．【解答】解：f（2）＝4×（2）2﹣1＝8﹣1＝7．故答案為：7．9．【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，故答案為：y＝（x﹣2）2﹣1．10．【答案】52．【解答】解：設小海家與國家會展中心（上海）的實際距離為x千米，∴2.6：x＝1：20，∴x＝52，答：小海家與國家會展中心（上海）的實際距離為52千米．故答案為：52．11．【答案】∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）．【解答】解：添加∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案為：∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）．12．【答案】12．【解答】解：過點O作OC⊥AB于點C，延長CO交A′B′于點C′，如圖，依題意得：OC＝15，OC′＝5，∵AB∥A′B′，OC⊥AB，∴OC⊥A′B′，∵AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴A′B′AB=OC′解得：AB＝12，故答案為：12．13．【答案】5.6．【解答】解：設較短高為x厘米，則較長的高為（x+2.4）厘米，根據題意得：x：（x+2.4）＝2：5，解得：x＝1.6，所以x+2.4＝4厘米，所以兩條高的長度的和為1.6+4＝5.6（厘米），故答案為：5.6．14．【答案】?b→?【解答】解：延長AG交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴BD＝CD，DG=12∴GD→∴BD→∴BD→∴BC→=2BD→故答案為：?b→?15．【答案】1：37．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3.2米，BC＝0.4米，由勾股定理得：AC=A則殘疾人通道的坡度為：0.4：675=故答案為：1：37．16．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1+5【解答】解：（1）如圖所示；點C即為所求；（2）如圖所示，點D即為所求；（3）如圖所示，點E即為所求．∵BC＝CD=12AB，AC∴AD＝AE＝AC﹣CD=52AB?∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣（52AB?12AB）∴AEBE故答案為：1+517．【答案】125【解答】解：∵△AFE是△ADE沿AE翻折得到的，∴△AFE≌△ADE，∴AD＝AF，DE＝FE，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝13，在Rt△ABF中，BF=A∴FC＝BC﹣BF＝13﹣12＝1，設DE＝x，則EC＝5﹣x，EF＝x，在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即x2＝（5﹣x）2+12，解得：x=13∴DE=135，EC故答案為：12518．【答案】21±55【解答】解：當y1＝0時，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴拋物線y1＝x2﹣3x﹣4與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（4，0），∵拋物線y1＝x2﹣3x﹣4向左平移n個單位長度，與x軸的交點從左到右依次為A、B，∴A（﹣1﹣n，0），B（4﹣n，0），∵y1＝x2﹣3x﹣4＝（x?32）2∴拋物線y1的頂點坐標為（32，?點（32，?254）關于原點的對稱點為（?∴物線y1的“中心對稱拋物線”y2的解析式為y2＝﹣（x+32）2當y2＝0時，﹣（x+32）2解得x1＝1，x2＝﹣4，∴拋物線y2與x軸的交點坐標為（﹣4，0），（1，0），∵拋物線y2向右平移n個單位長度，與x軸的交點從左到右依次為C、D，∴C（﹣4+n，0），D（1+n，0），∴AB＝4﹣n+1+n＝5，BC＝4﹣n+4﹣n＝|8﹣2n|，BD＝4﹣n﹣1﹣n＝|3﹣2n|，∵線段BC是線段AB、BD的比例中項，∴BC2＝AB?BD，∴（8﹣2n）2＝5|3﹣2n|，解得：n=21±5故答案為：n=三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．【答案】3?42【解答】解：原式=323?（=12?=3?420．【答案】（1）y=524x2+（2）55【解答】解：（1）把A（﹣4，3）、B（2，1）分別代入y＝ax2+bx得16a?4b=34a+2b=1解得a=5∴拋物線解析式為y=524x2+（2）把C（6，m）代入y=524x2+112x得m∴C（6，8），∵A（﹣4，3），∴OA=42+3∵AC=(6+4)2∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC為直角三角形，∠AOC＝90°，∴sin∠ACO=OA即∠ACO的正弦值為5521．【答案】（1）AE=5（2）5+【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AO=12∵AB＝2，BC＝4，∴AC=AB2∴AO=5∵AE＝AO，∴AE=5（2）過O作OH⊥AD于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴AH＝DH=12AD∴EH＝AE﹣AH=5∵OH=O∴tan∠AEO=OH22．【答案】（1）詳見解析；（2）bm【解答】解：存在，分割方案：（答案不唯一），如圖：過點E的直線交邊DF于點G，使得∠DEG＝∠B，證明：∠A＝∠D＝90°AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n，∴tanB=ba，tanC=ab，tan∠DEF∵n＞b＞a＞m，∴nm即tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF，∴∠E＞∠B＞∠C＞∠F，∵∠A＝∠D＝90°，∠DEG＝∠B，∴△ABC∽△DEG；（2）∵△ABC∽△DEG，∴ABDE∵AB＝a，AC＝b，DE＝m，∴DG=bm∴S=123．【答案】（1）證明見解答；（2）證明見解答．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，CB∥AD，∵AB∥FD，∴△ABE∽△FDE，∴AEEF∵HB∥AD，∴△HBE∽△ADE，∴BEDE∴AEEF∴AE2＝EF?EH．（2）聯結BD，∵AD2＝AE?AH，∴ADAH∵∠EAD＝∠DAH，∴△EAD∽△DAH，∴∠ADE＝∠AHD，∵∠ADE＝∠HBD，∴∠AHD＝∠HBD，∵∠HDE＝∠BDH，∴△HDE∽△BDH，∴∠AEB＝∠HED＝∠BHD，∵DH＝AB＝CD，∴∠BHD＝∠DCH＝∠ABH，∴∠AEB＝∠ABH，∵∠EAB＝∠BAH，∴△AEB∽△ABH，∴ABAH∴AB2＝AE?AH，∴AB2＝AD2，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．24．【答案】（1）拋物線g（x）的表達式為g（x）=x（2）﹣3≤b＜0．（3）點M的坐標為（?13，?5【解答】解：（1）由題知，g（x）＝x2+（b+1）x+b+2（b＜0），又過點（1，﹣3），∴﹣3＝1+b+1+b+2，b=?7故拋物線g（x）的表達式為g（x）=x（2）拋物線f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0）的對稱軸為直線x=?b+1當x＞?b+12時，y隨x的增大而增大，又f（x）的圖象在直線∴?b+12≤（3）由（1）得g（x）=x2?52x?則B（0，?32），而f（x）＝x2+（b+1）x+b＝（x+b）（x+1）（b＜0），故P（﹣1，0），Q（﹣b，0），則QP＝﹣b+1，QA=，且QP=3即﹣b+1＝3，解得b=?12∴Q（12當直線MQ與直線PB垂直時，垂足為H，交y軸于點G，如圖1所示，∵∠GHB＝∠GO