6.1《平面向量的概念》導學案一、學習目標理解向量的實際背景，掌握向量的相關概念。能正確區分向量與數量，理解向量的幾何表示。體會向量在實際生活與數學中的應用，感受數學與傳統文化、現代科技的緊密聯系。二、學習重難點重點向量的概念、向量的幾何表示。相等向量與共線向量的概念。難點對向量概念的理解，區分向量與數量。理解共線向量與平行向量的關系。三、知識引入生活實例：想象你在大海里駕駛一艘帆船，帆船不僅要有速度，比如每小時15海里，還要有確定的航行方向，像東北方向。只有速度沒有方向，帆船可能在原地打轉；只有方向沒有速度，帆船也無法前行。速度的大小和方向共同決定了帆船的航行狀態，這就是我們要研究的向量的雛形。就如同放風箏，風箏線的長度決定了風箏飛出去多遠（大小），而你拉著風箏線的方向決定了風箏往哪兒飛，風箏線所體現的這種既有長度又有方向的特性，就類似向量。傳統文化：古代行軍打仗時，軍隊的行進就像向量一樣。比如岳飛率領岳家軍北伐，軍隊每天朝著北方前進30里。這里“北方”這個方向就像帆船的航行方向，“30里”就如同帆船的速度大小。軍隊朝著特定方向前進特定距離，這與向量既有大小又有方向的特點不謀而合。好比古代驛站傳遞信件，信差要沿著特定路線（方向），走過一定路程（大小）才能把信件送到目的地，這個送信過程就蘊含向量概念。現代科技：衛星導航系統里，要精準定位一個目標的位置和移動情況，也離不開向量。以無人機執行任務為例，無人機需要按照設定好的方向，比如向東偏北30度，并且以一定速度，如每秒10米飛行，才能準確抵達指定地點。方向和速度組成的這個量，就是向量在現代科技中的體現。類似的，火箭發射時，要朝著既定軌道方向（方向），以特定的推進速度（大小）飛行，火箭飛行的這個狀態也可以用向量來描述。思考：像這樣既有大小又有方向的量，在數學中我們如何定義和表示呢？四、知識探究（一）向量的定義定義：既有大小又有方向的量叫做向量。就好像拔河比賽中，兩隊施加的力，不僅有力量大小之分，還有用力方向的區別，這個力就是向量。而像你書包里書的本數，只有數量多少，不存在方向，這就是數量。想象你在推購物車，你用多大的勁兒（大小），朝哪個方向推（方向），這個推力就是向量；但購物車里物品的重量，只有數值大小，沒有方向，它就是數量。數量：只有大小沒有方向的量稱為數量，如長度、質量、面積、體積等。比如你房間的面積是20平方米，這里的20平方米只有大小，沒有方向。就像你測量自己的身高，得到的數值只表示高矮程度（大小），沒有指向某個方向，身高就是數量。練習1：下列量中，哪些是向量，哪些是數量？（1）體重80千克；（2）飛機向南飛行；（3）地球的引力；（4）物體的溫度。答案：（1）數量；（2）向量；（3）向量；（4）數量。練習2：判斷以下量屬于向量還是數量：臺風中心以每小時20千米的速度向西移動。答案：向量。因為既提到了速度大小（每小時20千米），又有方向（向西）。（二）向量的表示幾何表示：用有向線段表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。可以把有向線段想象成射箭時的箭，箭桿長度好比向量大小，箭頭指向就是向量方向。有向線段的三要素：起點、方向、長度。比如在地圖上，從北京到上海的向量，用一條從北京指向上海的有向線段表示，線段長度根據地圖比例尺能換算成實際距離，方向就是從北京指向上海。這就如同你在地圖上規劃從家到學校的路線，用帶箭頭的線段表示，線段長度代表路程遠近（大小），箭頭指向就是你行走的方向。字母表示：可以用小寫字母，，，…表示向量，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如。就像給班級同學起名字一樣，用不同符號來代表不同向量。比如班級里每個同學都有自己的名字，向量也可以用不同的字母組合來區分，方便我們在數學運算和描述中使用。練習3：在如圖所示的有向線段中，若以A為起點，B為終點，用兩種方法表示這個向量。答案；設此向量為（小寫字母表示可自行設定）。練習4：已知有向線段，若起點為C，終點為D，用小寫字母表示這個向量（自行設定小寫字母）。答案：設該向量為。（三）向量的模向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作||。向量的模就像你跑步時跑過的路程，只關注跑了多遠，不關心朝哪個方向跑。比如你繞著操場跑圈，不管你是順時針還是逆時針跑，記錄你跑的總距離就是向量模的概念。向量的模也記作||。向量的模是一個數量，且||。比如前面帆船速度向量，它的模就是15海里/小時。就像汽車的速度表顯示的速度數值，就是汽車速度向量的模，速度不能是負數，所以向量的模也總是大于等于0。練習5：已知A點坐標為（1,0），B點坐標為（4,4），請向量的模長是________。答案：5（四）特殊向量零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。可以把零向量想象成一個點，它沒有移動距離，也就沒有特定方向。在物理學中，當物體處于靜止狀態時，它的位移向量就是零向量。就好比你站在原地一動不動，你的位置沒有發生變化，此時你的位移就是零向量，它可以看作朝任何方向都沒動。單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量。對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作=。比如在操場上，以1米為單位長度，朝著正東方向走1米，這個位移就是一個單位向量。在平面直角坐標系中，向量=(1,0)和=(0,1)就是兩個單位向量。想象你用尺子畫線段，規定1厘米為單位長度，畫一條1厘米長的線段，從起點指向終點，這就類似單位向量。如果把向量比作一群不同身高的人，單位向量就像是身高都為1（單位長度）的特殊人群。練習6：判斷下列說法是否正確：（1）零向量沒有方向；（2）單位向量都相等；（3）若||=||，則=。答案：（1）錯誤，零向量方向任意；（2）錯誤，單位向量方向不一定相同，所以不一定相等；（3）錯誤，||=||只能說明模相等，方向不一定相同。練習7：下列關于零向量和單位向量的說法，正確的是（）A.零向量的模為0，沒有方向B.單位向量都相等C.零向量與任意向量平行D.單位向量的模不一定為1答案：C（五）相等向量與共線向量相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量與相等，記作=。就像兩個同學從同一地點出發，朝著相同方向走了相同距離，他們的位移向量就是相等向量。在平行四邊形ABCD中，。想象有兩根一模一樣的吸管，擺放方向也完全相同，從吸管一端指向另一端所形成的向量就是相等向量。平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量與平行，記作//。規定：零向量與任意向量平行。想象兩條平行的鐵軌，行駛在上面的列車，不同時刻的位移向量方向相同或相反，它們就是平行向量。好比兩條平行的傳送帶，上面物體移動的方向要么相同要么相反，這些物體移動所產生的向量就是平行向量。共線向量：由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量。這就好比把不同位置但平行的筷子平移后能放在同一條直線上。就像你在紙上畫兩條平行的線段，通過平移可以讓它們在同一條直線上，這兩條線段所代表的向量就是共線向量。練習8：已知與是兩個非零向量，且||=||，則下列說法正確的是（）A.=B.//C.與的方向相同D.與的模相等答案：D練習9：若、、為非零向量，且//，//，則//的關系是（）A.一定平行B.一定不平行C.不一定平行D.以上都不對答案：A，平行向量具有傳遞性。練習10：在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD一定是（）A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.正方形答案：B練習11：已知向量與共線，且||=2||，則下列說法正確的是（）A.=2B.=-2C.=2或=-2D.無