遼寧省大連市高中數學第二章圓錐曲線與方程2.1.1橢圓及其標準方程（2）教學實錄新人教B版選修2-1授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間課程基本信息1.課程名稱：遼寧省大連市高中數學

2.教學年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時間：2023年10月25日上午第三節課

4.教學時數：1課時核心素養目標分析本節課旨在培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等核心素養。通過橢圓及其標準方程的學習，學生能夠理解數學與實際問題的聯系，提升運用數學語言描述現實世界的能力；同時，通過探索和解決問題，培養學生邏輯推理和數學建模的能力，提高空間想象和幾何直觀水平。教學難點與重點1.教學重點：

-理解橢圓的定義和幾何性質，包括橢圓的兩個焦點、長軸和短軸的關系。

-掌握橢圓的標準方程及其系數的含義，能夠根據橢圓的幾何特征寫出其方程。

-能夠根據橢圓的標準方程解出橢圓的幾何參數，如焦距、長軸長度等。

2.教學難點：

-理解橢圓的定義和幾何性質與方程之間的關系，學生可能難以直觀地理解焦點、半長軸和半短軸如何影響方程的形式。

-在將橢圓的幾何特征轉化為方程的過程中，學生可能難以正確確定方程中的系數，例如在確定長軸和短軸方向時。

-解析方程求解橢圓上的點時，學生可能對如何處理方程中的根號表達式感到困惑，尤其是在涉及到方程的解的個數和性質時。

-對于一些特殊情況，如橢圓退化成線段或一個點時，學生可能難以判斷和區分這些情況，并寫出相應的方程。教學資源-軟件資源：幾何畫板、數學軟件（如MATLAB、Mathematica）

-課程平臺：學校內部教學平臺、網絡教學平臺

-信息化資源：橢圓幾何性質的相關視頻、橢圓方程的動畫演示

-教學手段：實物模型（如橢圓球體）、多媒體投影儀、黑板或白板教學流程1.導入新課（用時5分鐘）

-結合實際生活情境，提出問題：“如何用數學方法描述地球的形狀？”

-展示地球與橢圓的形狀對比圖，引導學生思考橢圓的特點和性質。

-提出本節課的學習目標：“掌握橢圓的定義、標準方程及其幾何性質?！?/p>

2.新課講授（用時15分鐘）

-闡述橢圓的定義：通過展示橢圓的圖形，講解橢圓的焦點、長軸和短軸等幾何要素。

-講解橢圓的標準方程：展示標準方程的形式，解釋系數a和b的意義，以及如何根據橢圓的幾何特征確定系數。

-舉例說明如何求解橢圓上的點：通過具體實例，引導學生掌握如何根據橢圓方程求解特定點。

3.實踐活動（用時15分鐘）

-學生獨立完成練習題：提供若干橢圓方程，要求學生判斷其表示的橢圓是實軸長還是虛軸長，并說明理由。

-分組討論：學生以小組為單位，討論如何根據橢圓的幾何參數畫出橢圓，并標注焦點和長軸。

-課堂展示：各小組選取代表，展示本組討論的成果，并進行講解。

4.學生小組討論（用時10分鐘）

-學生討論內容舉例：

-如何確定橢圓的標準方程中的系數a和b？

-橢圓的焦點距離中心點的距離如何計算？

-橢圓上的點到兩焦點的距離之和是否恒定？

5.總結回顧（用時5分鐘）

-回顧本節課學習內容：橢圓的定義、標準方程及其幾何性質。

-強調重點內容：橢圓的焦點、長軸、短軸與方程系數的關系，以及如何根據方程求解橢圓上的點。

-解答學生在實踐活動中的疑問，并對課堂展示的內容進行點評。教學資源拓展1.拓展資源：

-橢圓的幾何應用：介紹橢圓在實際生活中的應用，如建筑設計中的橢圓窗、天文學中的行星軌道等。

-橢圓與雙曲線、拋物線的比較：對比橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質和方程，幫助學生理解不同圓錐曲線的特點。

-橢圓的參數方程：講解橢圓的參數方程及其在計算機圖形學中的應用。

-橢圓的極坐標方程：介紹橢圓的極坐標方程，并探討其在極坐標系下的幾何意義。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍：《圓錐曲線及其應用》等書籍，深入了解圓錐曲線的理論和應用。

-觀看教育視頻：通過在線教育平臺觀看關于橢圓及其應用的科普視頻，如“數學之美”系列中的相關內容。

-實踐操作：利用幾何畫板等軟件，繪制不同參數的橢圓，觀察其幾何性質的變化。

-參與數學競賽：鼓勵學生參加數學競賽，如數學建模競賽，通過解決實際問題加深對橢圓及其方程的理解。

-小組研究：組織學生進行小組研究，探討橢圓在特定領域的應用，如建筑設計、天體物理學等。

-制作教學課件：學生可以嘗試制作關于橢圓及其方程的教學課件，通過制作過程加深對知識的理解和記憶。

-開展課外閱讀：推薦學生閱讀《數學史上的橢圓》等書籍，了解橢圓在數學發展史上的地位和作用。

-探索橢圓的特殊情況：引導學生研究當橢圓退化成線段或一個點時，其方程和幾何性質的變化。課后作業1.作業題目：已知橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，求橢圓的焦點坐標。

答案：橢圓的焦點坐標為\((\pm\sqrt{4-3},0)=(\pm1,0)\)。

2.作業題目：若橢圓的半長軸為5，半短軸為3，求橢圓的標準方程。

答案：橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)。

3.作業題目：已知橢圓的焦點坐標為\((\pm2,0)\)，長軸長度為8，求橢圓的標準方程。

答案：橢圓的半長軸為4，因此橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。由焦點距離公式\(c^2=a^2-b^2\)，得\(b^2=a^2-c^2=16-4=12\)。所以橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)。

4.作業題目：設橢圓的一個焦點為F，橢圓上的點P到兩焦點的距離之和為10，求橢圓的標準方程。

答案：橢圓的長軸長度為10，因此半長軸\(a=5\)。設另一個焦點為F'，由于橢圓的對稱性，點P到F和F'的距離相等，設為d。則有\(2a=2d=10\)，即\(d=5\)。由焦點距離公式\(c^2=a^2-b^2\)，得\(b^2=a^2-c^2=25-4=21\)。所以橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1\)。

5.作業題目：已知橢圓的一個頂點為原點，焦點在x軸上，且一個焦點到頂點的距離為6，橢圓的長軸長度為10，求橢圓的標準方程。

答案：橢圓的半長軸\(a=5\)，半焦距\(c=6\)。由焦點距離公式\(c^2=a^2-b^2\)，得\(b^2=a^2-c^2=25-36=-11\)。由于\(b^2\)不能為負數，說明此題有誤，應為橢圓的半焦距\(c=3\)。因此，橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)。板書設計①橢圓的定義

-橢圓：平面內到兩個定點（焦點）的距離之和為常數的點的軌跡。

-焦點：橢圓上的兩個定點，記為F1和F2。

-長軸：通過焦點且垂直于焦點的線段。

-短軸：通過橢圓中心且垂直于長軸的線段。

②橢圓的標準方程

-形式：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a是半長軸，b是半短軸。

-系數關系：\(a^2=b^2+c^2\)，其中c是焦距，即焦點到中心的距離。

③橢圓的幾何性質

-焦距：\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)

-長軸長度：\(2a\)

-短軸長度：\(2b\)

-焦點到中心的距離：\(c\)

-焦點到橢圓上任一點的距離之和為常數，等于長軸的長度。

④橢圓的參數方程

-形式：\(x=a\cos\theta\),\(y=b\sin\theta\)，其中\(\theta\)是參數。

⑤橢圓的極坐標方程

-形式：\(\rho=\frac{2a}{1+e\cos\theta}\)，其中\(e\)是橢圓的離心率，\(\rho\)是極徑，\(\theta\)是極角。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.多媒體輔助教學：在講解橢圓的幾何性質時，運用多媒體展示橢圓的動態變化，幫助學生直觀理解橢圓的形狀和特征。

2.實物演示教學：準備實物模型，如橢圓球體，讓學生通過觀察和操作，加深對橢圓幾何性質的理解。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對橢圓幾何性質的理解不夠深入：在教學過程中，發現部分學生對橢圓的焦點、長軸、短軸等概念理解不夠透徹，需要進一步強化基礎知識。

2.學生計算能力有待提高：在求解橢圓方程的過程中，部分學生計算錯誤較多，說明在數學運算方面還有待加強。

3.教學方法單一：傳統的講授法雖然能讓學生掌握基本知識，但缺乏互動性和趣味性，可能導致學生的學習興趣不高。

反思改進措施（三）

1.加強基礎知識教學：針對學生對橢圓幾何性質理解不夠深入的問題，可以增加課堂講解的深度和廣度，通過實例分析和問題引導，幫助學生建立完整的知識體系。

2.注重數學運算訓練：針對學生計算能力不足的問題，可以在課后布置一些計算題，讓學生通過練習提高計算速度和準確性。同時，在課堂上適時進行計算技巧的講解和示范。

3.豐富教學方法：為了提高學生的學習興趣，可以嘗試以下教學方法：

-案例分析法：通過