立體幾何與空間向量第七章

第3講直線、平面平行的判定與性質課標要求考情概覽1.從定義和基本事實和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理.2.能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形中平行關系的簡單命題考向預測：從近三年高考情況來看，本講是高考的重點考查內容.預測本年度將會以以下兩種方式進行考查：①以幾何體為載體，考查線面平行的判定；②利用直線與平面平行去證明一些空間圖形的平行關系的簡單命題.試題常以解答題的第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.學科素養：主要考查邏輯推理、直觀想象的素養欄目導航01基礎整合

自測糾偏02重難突破

能力提升03配套訓練基礎整合自測糾偏11.直線與平面平行的判定定理和性質定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與

的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)

因為___________________，所以l∥α

性質定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面

，那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)

因為_____________________，所以l∥b

l∥α，l?β，α∩β＝b此平面內

l?α，a?α，l∥a相交

2.平面與平面平行的判定定理和性質定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條_____

與另一個平面平行，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)

因為____________________________________，所以α∥β

性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面

，那么兩條

平行

因為________________________，所以a∥b

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

相交直線

a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β相交

交線

【特別提醒】1.在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則會出現錯誤.2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”.3.解題中注意符號語言的規范應用.【常用結論】平行關系中的三個重要結論：(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(2)平行于同一平面的兩個平面平行.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行.1.(教材習題改編)如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(

)A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數條直線不相交D.任意一條直線都不相交D2.(2023年眉山模擬)α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“α∥β”是“m∥β”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A3.(2022年梅州期中)(多選)如圖，在四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則(

)A.MN∥PD B.MN∥平面PABC.MN∥AD D.MN∥PABD

l?α5.(易錯題)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為

.

平行四邊形

三種平行關系的轉化：線線

平行線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化是解決與平行有關的證明題的指導思想，解題中既要注意一般的轉化規律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉化方向.重難突破能力提升2直線與平面平行的判定與性質

例1(2023年北京月考)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝EF，M為棱CF上一點，平面AEM與棱BC交于點N.求證：(1)AE∥平面BFC；(2)AE∥MN.證明：(1)由題意，AB∥CD，CD∥EF，AB＝EF，則四邊形ABFE為平行四邊形，則AE∥BF.又因為AE?平面BFC，BF?平面BFC，所以AE∥平面BFC.(2)由(1)得AE∥平面BFC，又因為平面AEM∩平面BFC＝MN，所以AE∥MN.【解題技巧】判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的定義(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).【變式精練】1.(2023年北京月考)如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M為PC的中點，在DM上任取一點G，過點G和AP作平面PAHG交平面DMB于GH，求證：(1)BC∥平面PAD；(2)AP∥平面BDM；(3)AP∥GH.證明：(1)因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC∥AD.因為BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.(2)如圖，連接AC交BD于點N，連接MN.因為四邊形ABCD為平行四邊形，AC∩BD＝N，所以N為AC的中點.又因為M為PC的中點，所以PA∥MN.因為AP?平面BDM，MN?平面BDM，所以AP∥平面BDM.(3)因為AP∥平面BDM，AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH.平面與平面平行的判定與性質

例2

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面.(2)因為E，F分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因為G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1

AB，所以A1GEB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.【解題技巧】證明面面平行的常用方法：(1)利用面面平行的定義.(2)利用面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”.(4)利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”.(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化.［提醒］利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內的兩條直線是相交直線.

(1)證明：如圖所示，連接HD，A1B.因為D為BC1的中點，H為A1C1的中點，所以HD∥A1B.又因為HD?平面A1B1BA.A1B?平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.

平行關系的綜合應用

例3如圖，平面α∥平面β，點A∈α，點C∈α，點B∈β，點D∈β，點E，F分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求證：EF∥平面β；(2)若E，F分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長.(1)證明：①當AB，CD在同一平面內時，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.因為AE∶EB＝CF∶FD，所以EF∥BD.又因為EF?β，BD?β，所以EF∥平面β.②當AB與CD異面時，如圖所示，設平面ACD∩平面β＝HD，且HD＝AC，因為平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，所以AC∥HD，所以四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點G，使AG∶GH＝CF∶FD，連接EG，FG，BH.因為AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，所以GF