數(shù)列第六章

第2講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課標(biāo)要求考情概覽1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來(lái)看，本講一直是高考的熱點(diǎn).預(yù)測(cè)本年度高考將會(huì)以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為考查重點(diǎn)，也可能將等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度一般不大，屬中檔題型.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏02重難突破

能力提升03配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11.等差數(shù)列的概念(1)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于

，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的

.公差通常用字母d表示.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*d為常數(shù)).(2)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)，且A＝

.

2同一個(gè)常數(shù)

公差

a1＋(n－1)d

(n－m)dak＋al＝am＋anmd【特別提醒】用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，要注意定義中的三個(gè)關(guān)鍵詞：“從第2項(xiàng)起”“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”“同一個(gè)常數(shù)”.

1.(2023年華僑聯(lián)考)Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，S9＝81，a2＝3，則a10＝(

)A.2 B.11

C.15

D.192.(2023年甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝(

)A.25 B.22

C.20

D.15DC3.(2023年大連二模)(多選)北京天壇圓丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為a1，a2，a3，…，a9，設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，則(

)A.a1＝6 B.{an}的公差為9C.a6＝3a3

D.S9＝405BD4.(2022年乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝

.

5.(2023年陜西模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a6＝6＋a7，則S9的值是

.

2541.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝dn＋(a1－d)，當(dāng)d≠0時(shí)，它是關(guān)于n的一次函數(shù)，它的圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的均勻分布的一系列孤立的點(diǎn).注：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.

重難突破能力提升2等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

BD

BB

等差數(shù)列的判定與證明

【解題技巧】等差數(shù)列的判定與證明方法：

方法解讀適合題型定義法對(duì)于數(shù)列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列

等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

示通法利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，需仔細(xì)觀察代數(shù)式中各項(xiàng)間的聯(lián)系，尤其在一些有關(guān)的結(jié)論上要熟記熟用.

D

考向3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例3-3(2022年重慶模擬)(多選)設(shè)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，公差d＞0，若S9＝S20，則下列結(jié)論中正確的有(

)A.a15＝0 B.當(dāng)n＝15時(shí)，Sn取得最小值C.a10＋a22＞0 D.當(dāng)Sn＞0時(shí)，n的最小值為29【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且S9＝S20，所以a10＋a20＝2a15＝0，故A正確；因?yàn)閐＞0，所以n≤14時(shí)，an＜0，n≥16時(shí)，an＞0，故當(dāng)n＝15時(shí)，Sn取得最小值，故B正確；a10＋a22＝2a16＞0，故C正確；因?yàn)镾29＝29a15＝0，故D錯(cuò)誤.故選ABC.ABC

【變式精練】3.(1)(2023年湖北聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則數(shù)列{an}的公差是(

)A.1 B.2

C.3 D.4(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(

)A.3 B.4 C.5 D.6(3)(2023年