一元函數的導數及其應用第三章第1課時利用導數研究函數的單調性(本講對應系統復習P72)課標要求考情概覽1.了解函數的單調性和導數的關系.2.能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不會超過三次)考向預測：從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內容.預測本年度會考查函數的單調性與導數的關系，題型有兩種：一是利用導數確定函數的單調性；二是已知單調性，利用導數求參數的取值范圍.常以解答題形式出現，屬中檔題.學科素養：主要考查直觀想象、邏輯推理、數學運算的能力欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏1函數的單調性與導數函數f(x)在某個區間(a，b)內的單調性與f'(x)的關系：(1)如果

，那么函數y＝f(x)在區間上單調遞增.

(2)如果

，那么函數y＝f(x)在區間上單調遞減.

(3)如果

，那么函數y＝f(x)在區間內是常數.

f'(x)＞0f'(x)＜0f'(x)＝0【特別提醒】討論函數的單調性或求函數的單調區間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優先”原則.【常用結論】1.在某區間內f'(x)＞0(f'(x)＜0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件.2.可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零.1.(2023年寧德模擬)若函數y＝ekx(k∈R)在R上單調遞增，則實數k的取值范圍為(

)A.(0，＋∞) B.［0，＋∞)C.(1，＋∞) D.［1，＋∞)2.(2023年商丘月考)函數f(x)＝x－2ln(2x)的單調遞減區間為(

)A.(－∞，1) B.(0，1)C.(0，2) D.(2，＋∞)AC3.(多選)如圖所示是函數y＝f(x)的導函數y＝f'(x)的圖象，則下列判斷正確的有(

)A.在區間(－2，1)上f(x)單調遞增B.在區間(2，3)上f(x)單調遞減C.在區間(4，5)上f(x)單調遞增D.在區間(3，5)上f(x)單調遞減BC

－4已知函數單調性求參數的值或參數的范圍：(1)函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞增，可轉化為f'(x)≥0在(a，b)上恒成立，且f'(x)在(a，b)的任意子區間上不恒為0，也可轉化為(a，b)?增區間；函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞減，可轉化為f'(x)≤0在(a，b)上恒成立，且f'(x)在(a，b)的任意子區間上不恒為0，也可轉化為(a，b)?減區間.(2)函數y＝f(x)的增區間是(a，b)，可轉化為(a，b)＝增區間，也可轉化為f'(x)＞0的解集是(a，b)；函數y＝f(x)的減區間是(a，b)，可轉化為(a，b)＝減區間，也可轉化為f'(x)＜0的解集是(a，b).重難突破能力提升2不含參數的函數的單調性

A

【解題技巧】利用導數求函數單調區間的3種方法：(1)當導函數不等式可解時，解不等式f'(x)＞0或f'(x)＜0，求出單調區間；(2)當方程f'(x)＝0可解時，解出方程的實根，按實根把函數的定義域劃分成若干個區間，確定各區間f'(x)的符號，從而確定單調區間；(3)若導函數的方程、不等式都不可解，根據f'(x)的結構特征，利用其圖象與性質確定f'(x)的符號，從而確定單調區間.

ABD

含參數的函數的單調性(2021年甲卷)設函數f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0.(1)討論f(x)的單調性；(2)若y＝f(x)的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.

【解題技巧】含參數的函數單調性的求法：此類問題中，導數的解析式通過化簡變形后，通常可以轉化為一個二次函數的含參問題.對于二次三項式含參問題，有如下處理思路：(1)首先考慮二次三項式是否存在零點，這里涉及對判別式Δ≤0和Δ＞0分類討論，即“有無實根判別定，兩種情形需知曉”.(2)如果二次三項式能因式分解，這表明存在零點，邏輯分類有兩種情況，需要考慮首項系數是否含有參數.如果首項系數有參數，就按首項系數為零、為正、為負進行討論；如果首項系數無參數，只需討論兩個根x1，x2的大小，即“首項系數含參數，先論系數零正負；首項系數無參數，根的大小定勝負”.(3)注意：討論兩個根x1，x2的大小時，一定要結合函數定義域進行討論，考慮兩根是否在定義域中，即“定義域，緊跟蹤，兩根是否在其中”.

函數單調性的應用

考向1比較大小

A

考向2解不等式

B

考向3根據函數單調性求參數

(2023年乙卷)設a∈(0，1)，若函數f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是

.

【解題技巧】根據函數單調性求參數的一般思路：(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區間(a，b)是相應單調區間的子集.(2)已知函數的單調性，求參數的取值范圍，應用條件f'(x)≥0(f'(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出參數的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應注意參數的取值是f'(x)不恒等于0的參數的范圍.(3)函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題.【變式精練】3.(1)(2023年南平期末)已知函數f(x)，g(x)在R上的導函數存在，且f'(x)＜g'(x)，記a＝log52，b＝log83，則(

)A.f(a)＞g(a)B.f(a)＜g(a)C.f(a)＋g(b)＞g(a)＋f(b)D.f(a)＋g(b)＜g(a)＋f(b)C

A［5，＋∞)

素養微專直擊高考3思想方法——分類討論思想研究函數的單調性典例精析已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函數g(x)的圖象在點(1，g(1))處的切線平行于x軸.(1)確定a與b的關系；(2)若a≥0，試討論函數g(x)的單調性.【考查角度】導函數的幾何性質、導函數的應用.【核心素養】邏輯推理、數學運算.【思路導引】依據g(x)的切線條件可得g'(1)＝0，得a，b關系，在g(x)中利用a，b的關系消去b，對a進行分類討論確定g'(x)的符號.

③若a－1＞1，即a＞2時，當x∈(1，a－1)時，f'(x)＜0，當x∈(0，1)，x∈(a－1，＋∞)時，f'(x)＞0，所以f(x)在(1，a－1)上單調遞減，在(0，1)，(a－1，＋∞)上單調遞增.綜上所述，當1＜a＜2時，