2024-2025學年山東省日照市五蓮縣高二上學期10月月考數學檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數，則（

）A． B． C． D．2．為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量（與不重合，），下列說法：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．現有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內壁爬行，一只從點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達點，另一只從沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達點，則此時線段長（單位：厘米）為（

）A． B． C．6 D．124．若，則（

）A． B． C． D．5．正方體中，點M是上靠近點的三等分點，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．在棱長為a的正方體中，M，N分別是，的中點，則與面MBD的距離是（

）．A． B． C． D．7．如圖所示，正方體的棱長為1，點分別為的中點，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為8．如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結論正確的是（

）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.A．①② B．①③ C．②③ D．③④二、多選題（本大題共3小題）9．關于復數，下列說法正確的是（

）A．B．若，則的最小值為C．D．若是關于的方程：的根，則10．如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點，則（

）A．平面B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面與平面的夾角的正切值為11．在邊長為1的正方體中，分別為棱的中點，為正方形的中心，動點平面，則（

）A．正方體被平面截得的截面面積為B．若，則點的軌跡長度為C．若，則的最小值為D．將正方體的上底面繞點旋轉，對應連接上、下底面各頂點，得到一個側面均為三角形的十面體，則該十面體的體積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知i為虛數單位，是實系數一元二次方程的一個虛根，則.13．已知向量，若與的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍是．14．已知梯形如圖1所示，其中，A為線段的中點，四邊形為正方形，現沿AB進行折疊，使得平面⊥平面，得到如圖2所示的幾何體．已知當點F滿足時，平面平面，則λ的值為．

圖1

圖2四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間中三點，設(1)已知，求的值；(2)若，且，求的坐標.16．在空間直角坐標系中，已知向量，點.若直線以為方向向量且經過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程表示為.(1)已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，點到平面的距離；17．如圖，在三棱柱中，底面，，，，，點，分別為與的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的正切值.18．如圖，PC是圓臺的一條母線，是圓的內接三角形，AB為圓的直徑，．

(1)證明：；(2)若圓臺的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．19．如圖①所示，矩形中，，，點M是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐，N為中點，

(1)若平面平面，求直線與平面所成角的大小；(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.

參考答案1．【答案】D【詳解】復數，則，所以.故選：D2．【答案】C【分析】利用空間向量法分別判斷即可得到答案.【詳解】因為不重合，，對①，平面平行等價于平面的法向量平行，故①正確；對②，平面的法向量垂直等價于平面垂直，故②正確；對③，若，故③錯誤；對④，，故④正確.故選C.3．【答案】A【詳解】應用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，過向圓作垂線垂足為，，設圓半徑為，所以，所以圓弧的長度為：，，則，同理，過向圓O作垂線垂足為，則，所以.故選：A.4．【答案】B【詳解】因為，則，所以．故選B．5．【答案】D【詳解】因為是正方體，所以平面平面,平面平面,平面平面,所以,是靠近的三等分點，所以,平面平面即是,如圖建立空間直角坐標系,設正方體邊長為3，則設直線l與所成角為.故選：D.6．【答案】A【詳解】如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則所以設平面的法向量，則即

設，則所以

則點到平面的距離為.故選:A7．【答案】B【分析】對于A，根據正方體的性質判斷；對于BD，利用空間向量判斷；對于C，利用體積公式求解即可.【詳解】對于A：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；如圖建立空間直角坐標系，則，對于B：，設平面的法向量為，則，令，則，則，因為，所以，所以，因為在平面外，所以直線與平面平行，故B正確；對于C：，所以三棱錐的體積為，故C錯誤；對于D：，直線BC與平面所成的角為，，故D錯誤.故選B.8．【答案】C【分析】根據正方體棱長可知其外接球半徑為,其表面積為，可判斷①錯誤；建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的余弦值可求得②正確，求出平面的法向量為，可知，即③正確，易知點到平面的距離是定值，利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即④錯誤.【詳解】對于①，根據題意，設棱長為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時外接球的表面積為，可知①錯誤；對于②，以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，所以，設，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對于③，由②可知，，則；設平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對于④，根據正方體性質平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會隨點的運動而變化，即④錯誤；綜上所述，正確的結論為②③.故選：C【點睛】方法點睛：求解異面直線所成角的方法：（1）平移法：將兩異面直線通過平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；（2）向量法：建立空間直角坐標系利用空間向量所成的角與異面直線所成的角的關系，求得兩向量夾角的余弦值.9．【答案】BD【詳解】A選項：由虛數單位的定義，，則，A選項錯誤；設，B選項：由，則，且，則，，又，所以當時取最小值為，B選項正確；C選項：，，，所以，C選項錯誤；D選項：由已知復數范圍內二次方程的兩根滿足，且與互為共軛復數，由可知，則，即，D選項正確；故選：BD.10．【答案】ABD【分析】選項A由線面平行的判定定理可證；選項B由線面垂直可證線線垂直；選項CD可由空間向量法可得.【詳解】選項A：如圖連接交于，連接，由題意可知為的中點，又為的中點，故，又平面，平面，故平面，故A正確；選項B：由題意為等邊三角形，為的中點，故,又棱柱為直三棱柱，故，又，平面，平面，故平面，又平面，故，故B正確；選項C：如圖建立空間直角坐標系，則，，，因，故A3,0,0所以，，設異面直線與所成角為，則故C錯誤；選項D：由題意平面的一個法向量為，，，，設平面的法向量為，則，即，設，則，，故，設平面與平面的夾角為，則，故，故，故D正確，故選ABD.11．【答案】ACD【詳解】對于A，連接并延長，與所在直線交于點，連接，交于點，交直線于點，連接，交于點，連接，如圖所示，則正方體被平面截得的截面為六邊形，連接，則，因為為正方體，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又分別為棱的中點，所以，所以，則點為中點，，同理可得，，所以六邊形為正六邊形，則，故A正確；對于B，由A可知，平面即為平面，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，連接，取中點，連接，如圖所示，則，，所以，，設平面的一個法向量為，因為，所以，令，則，因為，所以，所以平面，又平面，所以，因為，，所以，所以點的軌跡為以為圓心半徑為的圓，點的軌跡長度為，故B錯誤；對于C，因為，所以為靠近的三等分點，則，連接，由，，得，所以，所以關于平面的對稱點為點，所以，故C正確；對于D，如圖所示，即為側面均為三角形的十面體，在平面，以為對角線作正方形，連接，則是上底和下底都是正方形的四棱臺，底面邊長為和1，高為1，所以，因為，所以，故D正確；故選：ACD．12．【答案】4【詳解】是實系數一元二次方程的根，也是實系數一元二次方程的根，，，解得，，故.故答案為：413．【答案】【詳解】由，得，解得，又，得，解得，所以與夾角為鈍角，實數的取值范圍為且.故答案為：.14．【答案】/【詳解】如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，∴則，若是平面的一個法向量，則可得，若是平面的一個法向量，則可得由平面平面，得，即，解得．故答案為：.15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為，，所以，，又，所以，得到.（2）因為，又，所以，解得或，所以的坐標為或.16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，直線的一個方向向量坐標為，平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，，所以直線與平面所成角的余弦值為.（2）依題意，平面的法向量為，且平面過點，由，得，所以點到平面的距離為.17．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）連結，因為點是的中點，則，則點是的中點，且是的中點，所以，且平面，平面，所以平面；（2）如圖，建立空間直角坐標系，，，，，，設平面的法向量，，令，則，，則平面的法向量，平面的法向量為，設二面角的平面角為，則，所以.

二面角的平面角的正切值為18．【答案】(1)證明見詳解；(2).【詳解】（1）由題知，因為為圓的直徑，所以，又，所以，因為為的中點，所以，由圓臺性質可知，平面，且四點共面，因為平面，所以，因為是平面內的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以.（2）圓臺的體積，其中，解得或(舍去).由（1）知兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖，則，所以.設平面的一個法向量為，則解得于是可取.設直線與平面的夾角為，則，故所求正弦值為.19．【答案】(1)；(2).【分析】（1）借助面面垂直的性質，以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求出大小.（2）連接DG，過點D作平面ABCD，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，以及法向量，列出方程，即可得到結果.【詳解】（1）取中點，連接，由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，過作，則平面，又平面，于是，在矩形中，，，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線BC與平面所成的角為，則，所以直線BC與平面所成角的大小為.（2）連接，由，得，而，則為的平面角，即，過點作平面，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，，顯然平面，平面，則平面平面，在平面內過作于點，則平面，設，而，則，，，即，，所以，于是，，設平面PAM的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，因為，，則，令，得，設平面和平面為，則令，，則，即，則當時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．【方法總結】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結合圖形得到二面角的大小；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個半平面內找到與交線垂直且以垂足為起點的直線的方向向量，則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角．2024-2025學年山東省日照市五蓮縣高二上學期10月月考數學檢測試題（二）注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊、必修第二冊、選擇性必修第一冊第一章至第二章2.4.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，.若，則（）A.4 B. C.8 D.2，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則（）A. B. C. D.3，若直線：與直線：垂直，且直線：與直線：垂直，則（）A.1 B. C.2 D.4.若點在圓：的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5.在山西的某個旅游景點內有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統小吃.某游客從中隨機選擇3種品嘗，則該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的概率為（）A. B. C. D.6.我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，，，分別是所在棱的中點，則下列3個直觀圖中滿足的有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個7.在四面體中，為的外心，底面，，，，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知，直線：，過點作的垂線，垂足為，則點到軸的距離的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得0分.9.已知集合，，，則（）A. B. C. D.10.已知一組數據為1，，，3，4，，1，1，3，2，其中，則（）A.這組數據的中位數不可能為3B.當這組數據的眾數為1時，C.當時，這組數據的方差為1.25D.當這組數據的平均數為2.2時，的最小值為11.已知四棱柱的底面是邊長為6的菱形，平面，，，點滿足，其中，則（）A.當為底面的中心時，B.當時，長度的最小值為C.當時，長度的最大值為6D.當時，為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.若復數滿足，則的虛部為______，______.13.已知在正四棱臺中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為______.14.已知函數.若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）若，求；（2）若，，求的面積.16.（15分）如圖，在正六棱柱中，為的中點.設，，.（1）用，，表示向量，；（2）若，求的值.17.（15分）已知圓經過點，，.（1）求圓的標準方程；（2）若一條光線從點射向直線，經該直線反射后經過圓上的點，求該光線從點到點的路線長的最小值.18.（17分）如圖，已知，，，四點均在直徑為6的球的球面上，，，，，，直線與平面所成的角為，點在線段上運動.（1）證明：平面.（2）設平面與平面的夾角為，求的最大值.19.（17分）過點作斜率分別為，的直線，，若（），則稱直線，是定積直線或定積直線.（1）已知直線：（），直線：，試問是否存在點，使得直線，是定積直線？請說明理由.（2）在中，為坐標原點，點與點均在第一象限，且點在二次函數的圖象上.若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點的坐標.（3）已知直線與是定積直線，設點到直線，的距離分別為，，求的取值范圍.

高二數學參考答案1.D根據題意可得，解得.2.A易得.3.B由得.4.D根據題意可得解得或.5.B將刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統小吃分別設為，，，，，根據題意可得該游客從中隨機選擇3種品嘗的所有情況有，，，，，，，，，，共10種，其中該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的情況有3種，故所求概率為.6.C設，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（圖略），則.在圖①中，，，，則，，所以，滿足；在圖②中，，，，則，，所以，滿足；在圖③中，，，，則，，所以，不滿足.7.C設四面體的外接球為球，其半徑為，外接圓的半徑為.由正弦定理得，則.由，，得，解得，所以球的表面積為.8.B由，得.令解得即過定點，所以點在以為直徑的圓上，其中圓心，半徑為.因為圓心到軸的距離為4，所以點到軸的距離的最小值為.9.AC由題意得，，所以，A，C正確，B，D錯誤.10.BCD當時，這組數據的中位數為3，A錯誤.當這組數據的眾數為1時，若，則這組數據的眾數為3，這與這組數據的眾數為1矛盾，所以，B正確.當時，，，，，C正確.當這組數據的平均數為2.2時，，則，當且僅當，即時，等號成立，D正確.11.BCD連接，.