第頁2025年高考數學總復習《運用數形結合的思想方法解題》專項測試卷及答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________01研究函數的零點、方程的根、圖象的交點1．（2024·云南·高三校聯考階段練習）關于函數，則下列說法正確的是（

）A．函數在上單調遞減B．當時，函數在上恒成立C．當或時，函數有2個零點D．當時，函數有3個零點，記為，則2．（2024·四川南充·統考一模）已知函數（）有兩個不同的零點，（），下列關于，的說法正確的有（

）個①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）若過點可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校校聯考期末）已知函數關于的方程有且僅有4個不同的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．02解不等式、求參數范圍、最值問題5．（2024·四川內江·統考三模）若關于x的不等式有且只有一個整數解，則正實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2024·陜西漢中·高二統考期末）若函數（m為實數）有極大值，則的范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·山西臨汾·高三統考階段練習）已知三次函數的導函數為，若方程有四個實數根，則實數a的范圍為（

）A． B．C． D．03解決以幾何圖形為背景的代數問題8．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）已知曲線C：．①曲線C的圖像一定經過第三象限；②若為曲線C上一點，則；③存在，與曲線C有四個交點；④直線與曲線C無公共點當且僅當．其中所有正確結論的序號是．9．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江第一中學校考階段練習）過雙曲線的右支上一點，分別向⊙和⊙作切線，切點分別為，則的最小值為.

10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在圓內接四邊形中，，，．若為的中點，則的值為．11．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）已知平面向量滿足：，，，設向量（為實數），則的取值范圍為．04解決數學文化、情境問題12．（2024·福建漳州·統考模擬預測）公元年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的“開立圓術”.祖暅在求球的體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被稱為“祖暅原理”.打印技術發展至今，已經能夠滿足少量個性化的打印需求，現在用打印技術打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為的水平截面的面積可以近似用函數，擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（

）A． B． C． D．13．（2024·北京順義·高三統考期末）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現有一“陽馬”，平面，，為底面及其內部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．14．（2024·山東濟寧·高三統考期末）九連環是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串按一定移動圓環的次數決定解開圓環的個數．在某種玩法中，用表示解下個圓環所需要少移動的次數，數列滿足且則解下5個環所需要最少移動的次數為（

）A．7 B．10 C．16 D．3115．（2024·全國·高三專題練習）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，…設第層有個球，從上往下層球的總數為，則下列結論錯誤的是（

）A． B．，C． D．16．（2024·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？计谀┪覀儗⒎亩椃植嫉碾S機變量稱為二項隨機變量，服從正態分布的隨機變量稱為正態隨機變量.概率論中有一個重要的結論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態隨機變量來近似地替代，且正態隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數學家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時這個結論是成立的，法國數學家?物理學家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個結論對任意的實數都成立，因此人們把這個結論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次，利用正態分布估算硬幣正面向上次數不少于1200次的概率為（

）（附：若，則，A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865參考答案01研究函數的零點、方程的根、圖象的交點1．（2024·云南·高三校聯考階段練習）關于函數，則下列說法正確的是（

）A．函數在上單調遞減B．當時，函數在上恒成立C．當或時，函數有2個零點D．當時，函數有3個零點，記為，則【答案】D【解析】對于A，因為函數，令，則；當或時，，此時函數單調遞增，當時，；此時函數單調遞減，作出函數的大致圖象如圖，故A錯；對于B，由A選項可知，易知，又易知時，函數單調遞減，時，函數單調遞增；當時，若，不一定成立，例如當時，，所以當，不一定成立，故B錯；對于C，方程的根即為與函數的交點橫坐標，由A可知，函數在時取得極大值1，在時取得極小值；作出函數的圖象如圖，當或時，函數有1個零點，故C錯；對于D，函數有3個零點，則可得，且；記，令，則，所以，于是，故選：D．2．（2024·四川南充·統考一模）已知函數（）有兩個不同的零點，（），下列關于，的說法正確的有（

）個①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由函數有兩個不同零點，轉化為有兩個交點，構造函數，，則，故，所以在單調遞增，而，可得圖象如圖所示故在單調遞減，在單調遞增，所以，對于①，，所以，所以，故①正確；對于②，由①可知，故，因此，故②正確；對于③，因為，所以，故，所以，則，構造函數，則，而，所以，所以，因為，所以，令，構造，顯然單調遞增，且，所以所以，故③正確；對于④，由①可知，，所以，令，，顯然單調遞增，且，所以，故④正確.故選：D3．（2024·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）若過點可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，設切點為,，過切點的切線方程為，代入點坐標化簡為，即這個方程有三個不等式實根，令，求導得到，由，得，由，得，或，故函數上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故得,結合，，當時，，時，，得，故選：D．4．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校校聯考期末）已知函數關于的方程有且僅有4個不同的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，當時，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.當時，，當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，.畫出函數的圖象，如下圖所示，可得函數最小值為有四個不同的實數根，數形結合可知的取值范圍是，故選：A.02解不等式、求參數范圍、最值問題5．（2024·四川內江·統考三模）若關于x的不等式有且只有一個整數解，則正實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可化簡為，設，，由得，，令可得，時，，時，，易知函數在單調遞減，在單調遞增，且，作出的圖象如下圖所示，而函數恒過點，要使關于的不等式有且只有一個整數解，則函數的圖象應介于直線與直線之間（可以為直線），又，，∴，，∴，∴．故選：A．6．（2024·陜西漢中·高二統考期末）若函數（m為實數）有極大值，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，當時，函數在區間上單調遞減，無極值點；當時，根據與的圖象，設兩個函數在第一象限的交點的橫坐標為，當時，，，函數在區間上單調遞增，當時，，，函數在區間上單調遞減，故當時，函數有一個極大值點.故選：D7．（2024·山西臨汾·高三統考階段練習）已知三次函數的導函數為，若方程有四個實數根，則實數a的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令得或，可得在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增，算出的極值，又方程有四個實數根可轉化為方程，或方程共有四個實數根，結合函數圖象列出滿足的條件即可.，由得或，又，所以在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增，的極大值為，的極小值為；又有四個實數根，故方程，或方程共有四個實數根，或或，解得：.故選：A03解決以幾何圖形為背景的代數問題8．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）已知曲線C：．①曲線C的圖像一定經過第三象限；②若為曲線C上一點，則；③存在，與曲線C有四個交點；④直線與曲線C無公共點當且僅當．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②【解析】當時，曲線的方程為，即，曲線是雙曲線的一部分；當時，曲線的方程為，即，曲線是橢圓的一部分；當時，曲線的方程為，曲線不存在；當時，曲線的方程為，即，曲線是雙曲線的一部分，其中雙曲線和有一條共同的漸近線，綜上可得，畫出曲線的圖象，如圖所示，由圖象可知，曲線的圖象經過第三象限，所以①正確；由圖象知，曲線的圖象上的點都在直線的下方，所以當在曲線上時，有，所以②正確；直線時表示與平行或重合的直線，由曲線的圖象知，直線與曲線不可能有四個交點，所以③錯誤；設直線與橢圓相切，聯立方程組整理得，由，解得，結合曲線的圖象，取，即與曲線相切，所以直線與曲線無公共點，結合曲線的圖象，可知或，所以④不正確.故答案為：①②.9．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江第一中學?？茧A段練習）過雙曲線的右支上一點，分別向⊙和⊙作切線，切點分別為，則的最小值為.

【答案】17【解析】由，得，所以雙曲線的焦點坐標為，由圓的方程知：圓圓心的坐標為，半徑，圓圓心的坐標為，半徑，分別為兩圓切線，，，為雙曲線右支上的點，且雙曲線焦點為，又（當為雙曲線右頂點時取等號），，即的最小值為.故答案為：17.10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在圓內接四邊形中，，，．若為的中點，則的值為．【答案】【解析】由余弦定理知，所以，由正弦定理得，所以為圓的直徑，所以，所以，從而，又，所以為等邊三角形；以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系：則，，，，，故．故答案為：．11．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）已知平面向量滿足：，，，設向量（為實數），則的取值范圍為．【答案】【解析】如圖所示，以為坐標原點，邊長為2的正方形的，所在直線為軸和軸，建立坐標系，設，，為線段上一點，則，因為，所以以為圓心，為半徑畫圓，點為圓上一點，設，，，所以，所以，，所以，所以，可得直線表示斜率為，縱截距為的直線，當圓心為點時，與相切且點在軸的下方時，可得圓的方程為，可得切線坐標為，此時，取得最小值；當圓心為點時，經過圓心時，圓的方程為，當點時，此時，取得最大值，所以的取值范圍為．故答案為：．04解決數學文化、情境問題12．（2024·福建漳州·統考模擬預測）公元年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的“開立圓術”.祖暅在求球的體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被稱為“祖暅原理”.打印技術發展至今，已經能夠滿足少量個性化的打印需求，現在用打印技術打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為的水平截面的面積可以近似用函數，擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：圓錐的高和底面半徑為，平行于圓錐底面的截面角圓錐的母線于點，設截面圓圓心為點，且，則，易知，則，即，可得，所以，截面圓圓的半徑為，圓的面積為，又因為，根據祖暅原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為，高為的圓錐的體積近似相等，所以該“睡美人城堡”的體積約為，故選：D.13．（2024·北京順義·高三統考期末）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現有一“陽馬”，平面，，為底面及其內部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】平面，，連接，由，可得，四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標系，則，設，，則，所以因為，則，則，所以.故選：D14．（2024·山東濟寧·高三統考期末）九連環是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串按一定移動圓環的次數決定解開圓環的個數．在某種玩法中，用表示解下個圓環所需要少移動的次數，數列滿足且則解下5個環所需要最少移動的次數為（

）A．7 B．10 C．16 D．31【答案】C【解析】，故選：C.15．（2024·全國·高三專題練習）如圖的形狀出現在南宋數學家