三角函數的誘導公式教案?一、教學目標1.知識與技能目標理解三角函數誘導公式的推導過程，能夠準確記憶誘導公式。熟練運用誘導公式進行三角函數的化簡、求值和證明。2.過程與方法目標通過觀察、分析、歸納等方法，培養學生的邏輯推理能力和自主探究能力。體會從特殊到一般的數學思想方法，提高學生的數學思維品質。3.情感態度與價值觀目標讓學生感受數學的嚴謹性，培養學生的數學興趣和探索精神。通過小組合作學習，培養學生的團隊協作意識和交流能力。

二、教學重難點1.教學重點誘導公式的推導及應用。2.教學難點誘導公式的推導思路以及符號的確定。

三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合

四、教學過程

（一）導入新課（5分鐘）1.復習回顧引導學生回顧三角函數的定義，在單位圓中，設角\(\alpha\)終邊上一點\(P(x,y)\)，則\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，其中\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。2.情境引入提出問題：在日常生活中，我們常常會遇到一些與三角函數有關的問題，比如，已知一個角的三角函數值，如何求與其終邊具有某種特殊關系的角的三角函數值呢？例如，已知\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，那么\(\sin150^{\circ}\)的值是多少呢？通過這樣的問題，引發學生的思考，從而導入新課。

（二）探究新知（25分鐘）1.探究誘導公式一讓學生觀察\(30^{\circ}\)與\(390^{\circ}\)、\(330^{\circ}\)角的終邊位置關系。利用三角函數的定義，分別計算\(\sin30^{\circ}\)、\(\sin390^{\circ}\)、\(\sin(330^{\circ})\)的值。引導學生發現：\(\sin390^{\circ}=\sin(360^{\circ}+30^{\circ})=\sin30^{\circ}\)，\(\sin(330^{\circ})=\sin(360^{\circ}+30^{\circ})=\sin30^{\circ}\)。同理，對于任意角\(\alpha\)，有\(\sin(\alpha+360^{\circ}k)=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha+360^{\circ}k)=\cos\alpha\)，\(\tan(\alpha+360^{\circ}k)=\tan\alpha\)（\(k\inZ\)）。總結誘導公式一：終邊相同的角的同一三角函數值相等。2.探究誘導公式二在平面直角坐標系中，作出角\(\alpha\)與\(\pi+\alpha\)的終邊。設角\(\alpha\)終邊上一點\(P(x,y)\)，則\(\pi+\alpha\)終邊上一點\(P'(x,y)\)。根據三角函數定義計算\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin(\pi+\alpha)\)、\(\cos(\pi+\alpha)\)的值。可得：\(\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)。總結誘導公式二：\(\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)。3.探究誘導公式三作出角\(\alpha\)與\(\alpha\)的終邊。設角\(\alpha\)終邊上一點\(P(x,y)\)，則\(\alpha\)終邊上一點\(P'(x,y)\)。計算\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin(\alpha)\)、\(\cos(\alpha)\)的值。得出：\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\alpha)=\tan\alpha\)。總結誘導公式三：\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\alpha)=\tan\alpha\)。4.探究誘導公式四由誘導公式二\(\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha\)，可得\(\sin(\pi\alpha)=\sin[\pi+(\alpha)]=\sin(\alpha)\)。再根據誘導公式三\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，則\(\sin(\pi\alpha)=\sin\alpha\)。同理，\(\cos(\pi\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi\alpha)=\tan\alpha\)。總結誘導公式四：\(\sin(\pi\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi\alpha)=\tan\alpha\)。5.探究誘導公式五作出角\(\alpha\)與\(\frac{\pi}{2}\alpha\)的終邊。設角\(\alpha\)終邊上一點\(P(x,y)\)，則\(\frac{\pi}{2}\alpha\)終邊上一點\(P'(y,x)\)。計算\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)\)、\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)\)的值。得到：\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\sin\alpha\)。總結誘導公式五：\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\sin\alpha\)。6.探究誘導公式六由誘導公式五\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)=\cos\alpha\)，可得\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}(\alpha)]=\cos(\alpha)\)。根據誘導公式三\(\cos(\alpha)=\cos\alpha\)，則\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)。同理，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\)。總結誘導公式六：\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\)。

（三）公式總結（5分鐘）1.引導學生一起回顧誘導公式一至六的內容，強調公式的特點和記憶方法。2.總結記憶口訣："奇變偶不變，符號看象限"。"奇變偶不變"：對于\(k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\inZ)\)，當\(k\)為奇數時，函數名改變（正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切）；當\(k\)為偶數時，函數名不變。"符號看象限"：把\(\alpha\)看成銳角，看\(k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\inZ)\)所在象限，根據原函數在該象限的符號確定誘導公式的符號。

（四）例題講解（15分鐘）1.例1化簡\(\sin(1200^{\circ})\)分析：先利用誘導公式一將\(1200^{\circ}\)轉化為\(0^{\circ}\)到\(360^{\circ}\)之間的角，再利用其他誘導公式進行化簡。解：\(\sin(1200^{\circ})=\sin(1200^{\circ}+3\times360^{\circ})=\sin(120^{\circ})\)根據誘導公式三\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，可得\(\sin(120^{\circ})=\sin120^{\circ}\)再根據誘導公式四\(\sin(180^{\circ}\alpha)=\sin\alpha\)，則\(\sin120^{\circ}=\sin(180^{\circ}60^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)2.例2已知\(\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，求\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})\)的值。分析：利用誘導公式將\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\)轉化為與\(\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)\)有關的形式，再利用三角函數的平方關系求解。解：\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)=\cos[\pi(\frac{\pi}{6}\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)\(\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})=1\cos^{2}(\frac{\pi}{6}\alpha)=1(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}=1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)所以\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{2}{3}=\frac{2+\sqrt{3}}{3}\)3.例3證明\(\frac{\sin(\alpha\pi)\cos(2\pi\alpha)\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})}{\cos(\pi\alpha)\sin(\pi\alpha)}=1\)分析：利用誘導公式對等式左邊進行化簡，然后與右邊進行比較。證明：左邊\(=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot(\cos\alpha)}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}=\cos\alpha=1\)=右邊所以原等式成立。

（五）課堂練習（10分鐘）1.化簡\(\cos(2040^{\circ})\)2.已知\(\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)=\frac{1}{3}\)，求\(\sin(\frac{2\pi}{3}\alpha)\)的值。3.證明\(\frac{\tan(\pi+\alpha)\cos(\alpha)\cos(\pi\alpha)}{\cot(\pi\alpha)\sin(3\pi+\alpha)}=\cos^{2}\alpha\)

學生完成練習后，教師進行巡視指導，及時糾正學生的錯誤，并對練習情況進行點評。

（六）課堂小結（5分鐘）1.引導學生回顧本節課所學內容，包括誘導公式的推導過程、公式的內容及記憶方法。2.強調誘導公式在三角函數化簡、求值和證明中的應用，以及"奇變偶不變，符號看象限"這一記憶口訣的重要性。3.讓學生分享本節課的學習收獲和體會，培養學生的總結歸納能力和語言表達能力。

（七）布置作業（5分鐘）1.書面作業：教材課后習題中相