第19頁（共19頁）2024-2025學年下學期初中數學人教新版九年級同步經典題精練之解直角三角形及其應用一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?濟南期末）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，那么sinA的值為（）A．32 B．34 C．35 2．（2024秋?東莞市期末）如圖，△ABC的三個頂點都在邊長為1的方格紙的格點上，則cosA的值是（）A．2 B．0.5 C．33 D．3．（2024秋?西山區校級期末）如圖，云南省博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．2sinα米 D．24．（2024秋?靖江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=35，AB＝10，則A．3 B．4 C．6 D．85．（2024秋?泉港區期末）如圖，點A，B，C都是正方形網格的格點，則∠BAC的正弦值為（）A．2 B．12 C．55 D二．填空題（共5小題）6．（2024秋?崇川區期末）一段攔水壩橫斷面如圖所示，斜面坡度i＝1：3是指坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC的比，若BC＝3m，則坡面AB的長度為m．7．（2024秋?長春校級期末）如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：3，壩高BC為3m，則AB的長度為m．8．（2024秋?泉港區期末）如圖，某座建筑物的橫截面，其高BC為3m，斜坡AB的坡度為1：3，則AB的長度為9．（2024秋?靖江市期末）某同學沿著坡度為1：2.4的山坡向上走了26m，那么他的高度上升了m．10．（2024秋?梁溪區期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中．點A，B，C，D都在這些小正方形的格點上，AB、CD相交于點E，則∠AEC的正切值為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?金東區期末）某班的同學想測量教學樓AB的高度，如圖，點A、B、C、D在同一平面內，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為8米，它的坡度i=1：3（坡度＝垂直高度h：水平寬度l），在離C點30米的D處，測得教學樓頂端A（1）求點C到AB的水平距離．（2）教學樓AB的高度約為多少米．（結果精確到0.1米）（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7312．（2024秋?靖江市期末）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點C在點A的正東方向，AC＝400m，點E在點A的正北方向，點B，D在點C的正北方向，BD＝200m．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．求步道AE的長．（精確到1m，參考數據：313．（2024秋?泉港區期末）小明利用“無人機”測量涂嶺鎮下爐村的下爐石佛（泉港打卡景點：玉笏朝天）的高度．無人機的探測器顯示，觀測“玉笏朝天”最高點A的仰角是30°，觀測“玉笏朝天”底部B的俯角為60°．若AB與水平面垂直，無人機的觀測點P與AB的水平距離PE為523米．請求出“玉笏朝天”的高度14．（2025?崇明區一模）九年級數學活動小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面AB的中點C處豎直上升20米到達D處，測得實驗樓頂部E的俯角為55°，綜合樓頂部F的俯角為37°，已知實驗樓BE高度為8米，且圖中點A、B、C、D、E、F在同一平面內，求綜合樓AF的高度．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精確到0.1米．）15．（2024秋?萊蕪區期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝10，求AB的長（結果保留根號）

2024-2025學年下學期初中數學人教新版九年級同步經典題精練之解直角三角形及其應用參考答案與試題解析題號12345答案CDAC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?濟南期末）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，那么sinA的值為（）A．32 B．34 C．35 【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】C【分析】利用網格構造直角三角形，根據格點線段的長度求出斜邊的長，再根據三角函數的意義求出答案．【解答】解：如圖，設小正方形邊長為1，AE⊥CE，∴AE＝4，CE＝3，∵△ACE是直角三角形，∴AC2＝AE2+CE2，∴AC=∴sinA=故選：C．【點評】本題考查了直角三角形的邊角關系，勾股定理，利用網格構造直角三角形是解題的關鍵．2．（2024秋?東莞市期末）如圖，△ABC的三個頂點都在邊長為1的方格紙的格點上，則cosA的值是（）A．2 B．0.5 C．33 D．【考點】解直角三角形；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】先在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，然后利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：如圖：在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，∴AC=CD2∴cosA=AD故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．3．（2024秋?西山區校級期末）如圖，云南省博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．2sinα米 D．2【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】A【分析】直接根據sinα=【解答】解：AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，∴在Rt△ABC中，sinα=∴BC＝12sinα（米）．故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角形函數的定義是解答本題的關鍵．4．（2024秋?靖江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=35，AB＝10，則A．3 B．4 C．6 D．8【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】直接利用銳角三角函數關系得出AC的長，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：由題可知：AC＝AB?cosA＝6，則BC=A故選：D．【點評】此題主要考查了銳角三角函數關系，正確得出AC的長是解題關鍵．5．（2024秋?泉港區期末）如圖，點A，B，C都是正方形網格的格點，則∠BAC的正弦值為（）A．2 B．12 C．55 D【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】C【分析】連接BC，利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：連接BC，由題意得：BC2＝12+22＝5，AB2＝42+22＝20，AC2＝32+42＝25，∴BC2+AB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC=5，AC=25∴sin∠BAC=BC故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?崇川區期末）一段攔水壩橫斷面如圖所示，斜面坡度i＝1：3是指坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC的比，若BC＝3m，則坡面AB的長度為310m．【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識．【答案】310．【分析】根據坡度的概念求出AC，根據勾股定理計算即可．【解答】解：∵坡AB的斜坡坡度i＝1：3，∴BCAC=1解得AC＝9，由勾股定理得，AB=AC2故答案為：310．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的概念，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．7．（2024秋?長春校級期末）如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：3，壩高BC為3m，則AB的長度為6m．【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】6．【分析】根據坡度的概念求出AC，再根據勾股定理求出AB．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比為1：3，∴BC：AC＝1：3，∵BC＝3m，∴AC＝33m，由勾股定理得：AB=BC2+gu答案為：6．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．8．（2024秋?泉港區期末）如圖，某座建筑物的橫截面，其高BC為3m，斜坡AB的坡度為1：3，則AB的長度為6m【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】6m．【分析】根據坡度與坡角的關系求出∠A，再根據含30°角的直角三角形的性質解答即可．【解答】解：∵斜坡AB的坡度為1：3，∴tanA=1∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2×＝6（m），故答案為：6m．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記坡度i與坡角α之間的關系為i＝tanα是解題的關鍵．9．（2024秋?靖江市期末）某同學沿著坡度為1：2.4的山坡向上走了26m，那么他的高度上升了10m．【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識．【答案】10．【分析】設高度上升了h米，則水平前進了2.4h米，然后根據勾股定理解答即可．【解答】解：設高度上升了h米，則水平前進了2.4h米，由勾股定理得h2+(2.4解得h＝10（負值舍去）．故答案為：10．【點評】本題主要考查了坡度比與勾股定理的應用，根據坡度比和勾股定理列出關于h的方程成為解答本題的關鍵．10．（2024秋?梁溪區期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中．點A，B，C，D都在這些小正方形的格點上，AB、CD相交于點E，則∠AEC的正切值為53【考點】解直角三角形．【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力．【答案】53【分析】連接CH，依題意得∠HCA＝∠HAC＝45°，AH＝CE=2，AC∥BD，AB=42，由此得△ACE和△BDE相似，則AEBE=23，進而得AE=825，則HE=【解答】解：連接CH，如圖所示：根據正方形網格的特點得：∠HCA＝∠HAC＝45°，AH＝CE=2，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，AB=4∴△ACE∽△BDE，△AHC是等腰直角三角形，∴AEBE∴設AE＝2a，BE＝3a，∴AE+BE＝5a=42∴a=4∴AE＝2a=8∴HE＝AE﹣AH=8在Rt△CHE中，tan∠AEC=CH故答案為：53【點評】此題主要考查了解直角三角形，熟練掌握正方形網格的特點，銳角三角形函數的定義是解決問題的關鍵，根據正方形網格的特點構造直角三角形和相似三角形的是解決問題的難點．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?金東區期末）某班的同學想測量教學樓AB的高度，如圖，點A、B、C、D在同一平面內，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為8米，它的坡度i=1：3（坡度＝垂直高度h：水平寬度l），在離C點30米的D處，測得教學樓頂端A（1）求點C到AB的水平距離．（2）教學樓AB的高度約為多少米．（結果精確到0.1米）（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）點C到AB的水平距離為43米；（2）教學樓AB的高度約為23.7米．【分析】（1）延長AB交DC于點E，根據題意可得：AE⊥DE，再根據已知易得：在Rt△BCE中，tan∠BCE=33，從而可得∠BCE＝30°，然后利用含（2）根據已知易得：DE＝（30+43）米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數的定義求出AE的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：（1）延長AB交DC于點E，由題意得：AE⊥DE，∵BC的坡度i=1∴BECE在Rt△BCE中，tan∠BCE=BE∴∠BCE＝30°，∵BC＝8米，∴BE=12BC＝4（米），CE=3BE＝∴點C到AB的水平距離為43米；（2）∵CD＝30米，CE＝43米，∴DE＝CD+CE＝（30+43）米，在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，∴AE＝DE?tan37°≈（30+43）×0.75＝（22.5+33）米，∴AB＝AE﹣BE＝22.5+33-4＝18.5+33≈∴教學樓AB的高度約為23.7米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．12．（2024秋?靖江市期末）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點C在點A的正東方向，AC＝400m，點E在點A的正北方向，點B，D在點C的正北方向，BD＝200m．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．求步道AE的長．（精確到1m，參考數據：3【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】步道AE的長約為492m．【分析】過E作EH⊥CD于H，根據矩形的性質得到EH＝AC＝400m，CH＝AE，根據等腰直角三角形的性質得到DH＝EH＝400m，根據直角三角形的性質即可得到結論．【解答】解：過E作EH⊥CD于H，則四邊形ACHE是矩形，∴EH＝AC＝400m，CH＝AE，∵∠D＝45°，∠EHD＝90°，∴DH＝EH＝400m，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴BC=3AC=400∴AE＝CH＝4003-（400﹣200）≈492（m答：步道AE的長約為492m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵．13．（2024秋?泉港區期末）小明利用“無人機”測量涂嶺鎮下爐村的下爐石佛（泉港打卡景點：玉笏朝天）的高度．無人機的探測器顯示，觀測“玉笏朝天”最高點A的仰角是30°，觀測“玉笏朝天”底部B的俯角為60°．若AB與水平面垂直，無人機的觀測點P與AB的水平距離PE為523米．請求出“玉笏朝天”的高度【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】玉笏朝天”的高度AB為10米．【分析】根據題意可得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，PE=523米，∠AEP＝∠BEP＝90°，然后分別在Rt△APE和Rt△BPE中，利用銳角三角函數的定義求出AE和BE【解答】解：由題意得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，PE=523米，∠AEP＝∠在Rt△APE中，∠APE＝30°，PE=∴AE=在Rt△BPE中，∠BPE＝60°，PE=∴BE=∴AB=答：玉笏朝天”的高度AB為10米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．14．（2025?崇明區一模）九年級數學活動小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面AB的中點C處豎直上升20米到達D處，測得實驗樓頂部E的俯角為55°，綜合樓頂部F的俯角為37°，已知實驗樓BE高度為8米，且圖中點A、B、C、D、E、F在同一平面內，求綜合樓AF的高度．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精確到0.1米．）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】綜合樓AF的高度約為13.7米．【分析】延長BE交DG于點N，延長AF交DG于點M，根據題意可得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，從而可得EN＝12米，然后在Rt△DEN中，利用銳角三角函數的定義求出DN的長，再根據線段中點的定義可得AC＝BC，從而可得DM＝DN＝8.4米，最后在Rt△DFM中，利用銳角三角函數的定義求出FM的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：延長BE交DG于點N，延長AF交DG于點M，由題意得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，∵BE＝8米，∴EN＝BN﹣BE＝20﹣8＝12（米），在Rt△DEN中，∠EDN＝55°，∴DN＝EN?cot55°≈12×0.7＝8.4（米），∵點C是AB的中點，∴AC＝BC，∴DM＝DN＝8.4米，在Rt△DFM中，∠MDF＝37°，∴MF＝DM?tan37°≈8.4×0.75＝6.3（米），∴AF＝AM﹣FM＝20﹣6.3＝13.7（米），∴綜合樓AF的高度約為13.7米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．15．（2024秋?萊蕪區期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝10，求AB的長（結果保留根號）【考點】解直角三角形；勾股定理．【專題】三角形．【答案】見試題解答內容【分析】作CD⊥AB于D，根據直角三角形的性質得出CD=12AC＝5，AD＝cos30°?AC=32×10＝53．BD＝CD【解答】解：作CD⊥AB于D，∵∠A＝30°，∴CD=12AC＝5cm，AD＝cos30°?AC=32×∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5，∴AB＝AD+BD＝（53+5【點評】本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握特殊直角三角形的性質，學會作出輔助線構建直角三角形解決問題；

考點卡片1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關系①銳角、直角之間的關系：∠A