湖南省2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在日常生活中，若收入300元記作元，則支出180元應(yīng)記作（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【解析】【解答】解：若收入為“”，則支出為“”，所以支出180元記作元．故答案為：C.【分析】由正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，根據(jù)題意，正數(shù)表示收入，那么負(fù)數(shù)表示支出，即可作答.2．據(jù)《光明日?qǐng)?bào)》2024年3月14日?qǐng)?bào)道：截至2023年末，我國(guó)境內(nèi)有效發(fā)明專利量達(dá)到401.5萬(wàn)件，高價(jià)值發(fā)明專利占比超過(guò)四成，成為世界上首個(gè)境內(nèi)有效發(fā)明專利數(shù)量突破400萬(wàn)件的國(guó)家．將4015000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為．故答案為：B.

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來(lái)確定．3．如圖，該紙杯的主視圖是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：該紙杯的主視圖是選項(xiàng)A，故答案為：A.【分析】主視圖是從幾何體的正面觀察，即可得出答案．4．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵，∴該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵，∴該選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；C、∵，∴該選項(xiàng)計(jì)算不正確，不符合題意；D、∵，∴該選項(xiàng)計(jì)算不正確，不符合題意；故答案為：B.

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)計(jì)算驗(yàn)證，即可解答.5．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C．14 D．【答案】D【解析】【解答】解：，故答案為：D.

【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案即可．6．下列命題中，正確的是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．菱形的對(duì)角線相等C．正五邊形的外角和為 D．直角三角形是軸對(duì)稱圖形【答案】A【解析】【解答】解：A、兩點(diǎn)之間，線段最短，該選項(xiàng)是真命題，符合題意；B、菱形的對(duì)角線互相垂直，但不一定相等，該選項(xiàng)是假命題，不符合題意；C、正五邊形的外角和為，該選項(xiàng)是假命題，不符合題意；D、直角三角形不一定是軸對(duì)稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)是假命題，不符合題意；故答案為：A.

【分析】根據(jù)多邊形外角和，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)及兩點(diǎn)之間線段最短，逐一判斷即可作答.7．如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：．故答案為：C.

【分析】根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．8．某班的5名同學(xué)1分鐘跳繩的成績(jī)（單位：次）分別為：179，130，192，158，141．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．130 B．158 C．160 D．192【答案】B【解析】【解答】解：從小到大排序?yàn)?30，141，158，179，192，最中間的數(shù)是158，∴中位數(shù)是158，故答案為：B.

【分析】先把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即可解答.9．如圖，在中，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：∵點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，∴，，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴，∴，故錯(cuò)誤；故答案為：D.

【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可判斷正確，相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，即可得出結(jié)果.10．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若，均為整數(shù)，則稱點(diǎn)為“整點(diǎn)”，特別地，當(dāng)（其中的值為整數(shù)時(shí)，稱“整點(diǎn)”為“超整點(diǎn)”．已知點(diǎn)在第二象限，下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若點(diǎn)為“整點(diǎn)”，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)C．若點(diǎn)為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)D．若點(diǎn)為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10【答案】C【解析】【解答】解：∵點(diǎn)在第二象限，∴，∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵點(diǎn)為“整點(diǎn)”，，∴整數(shù)a為，，0，1，∴“整點(diǎn)”點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∴“整點(diǎn)”P(pán)為，，，，∵，，，∴“超整點(diǎn)”P(pán)為，故選項(xiàng)C正確；∵點(diǎn)為“超整點(diǎn)”，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故答案為：C.

【分析】根據(jù)象限點(diǎn)的特征，先判斷出a的取值范圍，再根據(jù)題中新定義，找到符合條件的“整點(diǎn)”“超整點(diǎn)”，再由點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離即可對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷.二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11．計(jì)算：．【答案】2024【解析】【解答】解：故答案為：2024.

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，化簡(jiǎn)多重符號(hào)即可.12．有四枚材質(zhì)、大小、背面圖案完全相同的中國(guó)象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機(jī)翻開(kāi)一枚，恰好翻到棋子“”的概率是．【答案】【解析】【解答】解：∵共有4枚棋子“”“”“”“”，∴從中隨機(jī)翻開(kāi)一張，恰好翻到棋子“”的概率是．故答案為：.【分析】根據(jù)概率公式“概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比”，即可作答．13．分式方程的解為．【答案】【解析】【解答】解：最簡(jiǎn)公分母為：x+1

方程的兩邊同乘（x+1），得2=x+1，解得x=1．檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x+1=2≠0．所以原方程的解為x=1．故答案為：x=1．【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟，先找到分式方程的最簡(jiǎn)公分母，再去分母將分式方程化為整式方程求解，注意解后必須要檢驗(yàn).14．若等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為，則它的頂角的度數(shù)為．【答案】100【解析】【解答】解：等腰三角形兩個(gè)底角相等，都為40°所以其頂角.

故答案為：100.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（等邊對(duì)等角）及三角形內(nèi)角和定理即可解答.15．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】2【解析】【解答】解：∵

∴，解得：故答案為：2.

【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則判別式，列出關(guān)于

k的方程，即可解答.16．在一定條件下，樂(lè)器中弦振動(dòng)的頻率與弦長(zhǎng)成反比例關(guān)系，即為常數(shù)，．若某樂(lè)器的弦長(zhǎng)為0.9米，振動(dòng)頻率為200赫茲，則的值為．【答案】180【解析】【解答】解：將，代入，得，解得，故答案為：180．

【分析】利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，即可求解.17．如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．若，，則，【答案】6【解析】【解答】解：由題意，是的平分線

∵是邊上的高，，

∴，

∴

∴，故答案為：6．【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟，判斷出BP是的平分線，再由角平分線的性質(zhì)及題中線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可計(jì)算出AM的長(zhǎng).18．如圖，圖1為《天工開(kāi)物》記載的用于舂chōng搗谷物的工具——“碓duì”的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖2為其平面示意圖．已知于點(diǎn)，與水平線相交于點(diǎn)，．若分米，分米，，則點(diǎn)到水平線的距離為分米（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）．【答案】【解析】【解答】解：∵，

∴

如圖，延長(zhǎng)交l于點(diǎn)H，連接

在中，，，∴

在中．故答案為：．

【分析】根據(jù)已知條件，延長(zhǎng)交l于點(diǎn)H，連接，構(gòu)造出和，再利用特殊角三角函數(shù)值和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解即可.三、解答題：本題共8小題，共66分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。19．計(jì)算：．【答案】解：原式．【解析】【分析】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)、零次冪的運(yùn)算等，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值、零次冪及特殊角的三角函數(shù)、算術(shù)平方根，然后計(jì)算加減法即可，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【解析】【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則，將原式先化簡(jiǎn)再代入求值即可.21．某校為了解學(xué)生五月份參與家務(wù)勞動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．家務(wù)勞動(dòng)的項(xiàng)目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡(jiǎn)單維修等．學(xué)校德育處根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次被抽取的學(xué)生人數(shù)為人：（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“4項(xiàng)及以上”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是；（4）若該校有學(xué)生1200人，請(qǐng)估計(jì)該校五月份參與家務(wù)勞動(dòng)的項(xiàng)目數(shù)量達(dá)到3項(xiàng)及以上的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）100（2）“3項(xiàng)”的人數(shù)為：（人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）36（4）（人，答：估計(jì)該校五月份參與家務(wù)勞動(dòng)的項(xiàng)目數(shù)量達(dá)到3項(xiàng)及以上的學(xué)生人數(shù)大約為300人．【解析】【解答】（1）解：根據(jù)題意得：人，故答案為：100；（3），故答案為：36；

【分析】（1）用參與1項(xiàng)家務(wù)勞動(dòng)的人數(shù)除以其所占的比例即可得出結(jié)果；（2）先根據(jù)（1）求出的總?cè)藬?shù)即可算出3項(xiàng)家務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生人數(shù)，然后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）用360度乘以4項(xiàng)及以上所占的比例即可；（4）總?cè)藬?shù)1200乘以參與家務(wù)勞動(dòng)的項(xiàng)目數(shù)量達(dá)到3項(xiàng)及以上的比例，用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體．22．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，▲．請(qǐng)從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再解決下列問(wèn)題：（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）選擇①或②，證明如下：選擇①，，，，四邊形為平行四邊形；選擇②，，，，，四邊形為平行四邊形；故答案為：①或②；（2）由（1）可知，四邊形為平行四邊形，，，，，即線段的長(zhǎng)為6．【解析】【分析】（1）若選擇①，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；若選擇②，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由勾股定理即可求解．23．某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富．已知購(gòu)買1棵臍橙樹(shù)苗和2棵黃金貢柚樹(shù)苗共需110元；購(gòu)買2棵臍橙樹(shù)苗和3棵黃金貢柚樹(shù)苗共需190元．（1）求臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)；（2）該村計(jì)劃購(gòu)買臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗共1000棵，總費(fèi)用不超過(guò)38000元，問(wèn)最多可以購(gòu)買臍橙樹(shù)苗多少棵？【答案】（1）解：設(shè)臍橙樹(shù)苗的單價(jià)為元，黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)為元，由題意得：，解得：，答：臍橙樹(shù)苗的單價(jià)為50元，黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)為30元；（2）解：設(shè)可以購(gòu)買臍橙樹(shù)苗棵，則購(gòu)買黃金貢柚樹(shù)苗棵，由題意得：，解得：，答：最多可以購(gòu)買臍橙樹(shù)苗400棵．【解析】【分析】（1）設(shè)臍橙樹(shù)苗的單價(jià)為元，黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)為元，根據(jù)“購(gòu)買1棵臍橙樹(shù)苗和2棵黃金貢柚樹(shù)苗共需110元；購(gòu)買2棵臍橙樹(shù)苗和3棵黃金貢柚樹(shù)苗共需190元”列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)可以購(gòu)買臍橙樹(shù)苗棵，則購(gòu)買黃金貢柚樹(shù)苗棵，根據(jù)“總費(fèi)用不超過(guò)38000元”列一元一次不等式求解即可．24．某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時(shí)間進(jìn)行測(cè)量活動(dòng)．活動(dòng)主題測(cè)算某水池中雕塑底座的底面積測(cè)量工具皮尺、測(cè)角儀、計(jì)算器等活動(dòng)過(guò)程模型抽象某休閑廣場(chǎng)的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測(cè)繪過(guò)程與數(shù)據(jù)信息①在水池外取一點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在同一條直線上；②過(guò)點(diǎn)作，并沿方向前進(jìn)到點(diǎn)，用皮尺測(cè)得的長(zhǎng)為4米；③在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得，，；④用計(jì)算器計(jì)算得：，，，，，．請(qǐng)根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問(wèn)題（結(jié)果保留整數(shù)）（1）求線段和的長(zhǎng)度；（2）求底座的底面的面積．【答案】（1），的長(zhǎng)為4米，，，（米；，米，（米；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，米，米，米，底座的底面的面積為：（平方米）．【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，，即可解出CE的長(zhǎng)度，再由判斷出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的長(zhǎng).

（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，先得出四邊形AMEB是矩形，由性質(zhì)得，然后在Rt△AMF中，，即可解出MF的長(zhǎng)，從而得到AB，再根據(jù)矩形的面積即可解答.25．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，，是此二次函數(shù)的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，此二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線的上方，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，．若，求證：的值為定值；（3）如圖2，點(diǎn)在第二象限，，若點(diǎn)在直線上，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1）解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，則，即拋物線的表達(dá)式為：；（2）證明：為定值，理由：令，則，則點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)、、的表達(dá)式分別為：，、，、，，則，同理可得：，則為定值；（3）解：點(diǎn)、的表達(dá)式分別為：，、，，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，則，故的最大值為：．【解析】【分析】（1）將A點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求解即可；（2）先根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的解析式，表示出，，，由，：，分別表示出的面積，代入即可解答；（3）根據(jù)題意，若，則，根據(jù)P、Q坐標(biāo)，求出直線的解析式，把代入直線解析式后，利用配方法即可求出線段長(zhǎng)度的最大值．26．【問(wèn)題背景】已知點(diǎn)是半徑為的上的定點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)作的切線，在直線上取點(diǎn)，使得為銳角．（1）【初步感知】如圖1，當(dāng)時(shí)，▲；（2）【問(wèn)題探究】以線段為對(duì)角線作矩形，使得邊過(guò)點(diǎn)，連接，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：無(wú)論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立：②如圖3，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求及的值．【答案】（1）30（2）①證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，在和中，，，，，．即無(wú)論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立．②解：是切線，，，．設(shè)，則，，，，，，即點(diǎn)