答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁重慶市萬州二中教育集團2024-2025學年九年級下學期第一次定時作業數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列各數中，無理數是（

）A． B． C．3.14 D．2．萬州二中初2025屆將贏得中考最終勝利，下面“萬二中贏”的首字母圖標中不是軸對稱圖形的是（

）A．W B．E C．Z D．Y3．若反比例函數的圖象經過點，則a的值為（

）A． B． C．2 D．34．如圖，與位似，位似中心為點O，若，則與的周長比為（

）

A． B． C． D．5．估計的值應在（

）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間6．下列說法正確的是（

）A．對頂角相等B．三個角分別相等的兩個三角形是全等三角形C．對角線相等的四邊形是矩形D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等7．在中國西部的某光伏基地，工作人員按照某一點將光伏板一層一層的布置成圓形．若把光伏板看成一個點，如圖，第①層布置了3個光伏板，第②層布置了6個光伏板，第③層布置了9個光伏板，第④層布置了12個光伏板，．．．，按此規律排列下去，布置到第⑦層時，一共布置的光伏板個數是（

）A．63 B．84 C．94 D．1088．如圖，以點O為圓心的扇形中，，，再以點A為圓心，為半徑作弧，交弧于點C，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．9．如圖，正方形中，點E在上，，連接，以為邊作正方形，連接，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知整式（均為整數，），且．下列說法：①若，則的值可能為30；②存在，，，，均為非零的整式的平方；③若（）均為正整數，則最大值為768．其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題11．．12．3月8日女神節那天，小鑫和小華為各自的母親買一束鮮花，現有四種鮮花可供選擇：牡丹花、康乃馨、郁金香和向日葵，兩人恰好選擇到同種鮮花的概率為．13．如圖，矩形中，點在上，連接，延長到點F，使得，連接交于點，若，且，則的長為．14．已知關于y的分式方程有整數解，且關于x的一元一次不等式組有解且最多有3個整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和為．15．如圖，點是外一點，分別切于點，連接，過點作交的延長線于點，交于點，連接，過點作于點，交于點H，點為上一點，連接．已知，，若，則；．16．若一個四位自然數M的千位數字與個位數字之和恰好是百位數字與十位數字之和的2倍，則稱這個四位數M為“二中數”．設“二中數”，記，.若是15的整數倍，且是4的整數倍，則；所有滿足條件的M的最大值和最小值的差為．三、解答題17．（1）化簡：

（2）先化簡，再求值：，其中a為整數且，請選擇合適的a代入求值．18．如圖，在中，，AD平分．小明在剛學完“三角形全等的判定”這節課后，想利用所學知識，推導出和面積的比值與AB，AC兩邊比值的關系．他的思路是：過點D作AC的垂線，垂足為點H，再根據三角形全等來證明和的高相等，進一步得到和的面積之比等于的兩鄰邊邊長之比．請根據小明的思路完成以下作圖與填空：(1)用直尺和圓規，過點D作AC的垂線，垂足為點H（只保留作圖痕跡）．(2)證明：∵，∴．∵AD平分，∴①．在和中，∴≌．∴③．∵，，∴．小明再進一步研究發現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論．請你依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么④．19．2025年是中國時代元年，技術已滲透至社會各領域，重塑職業結構、生活方式與個人發展路徑．綜合實踐小組開展了對代表性的兩種AI軟件“”、“”進行使用滿意度調查，并從中各隨機抽取20份，對數據進行整理、描述和分析（分數用x表示，單位：分，滿分100分，分為四個等級：A：，B：，C：，D：），下面給出了部分信息：抽取的對“”的評分數據中B等級的數據：89，89，88，87，86，86，84；抽取的對“”的評分數據：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68．抽取的對“Deepseek”、“Mauns”的評分統計表

品牌平均數中位數眾數A等級所占百分比88b988887.5c抽取的對“”評分的扇形統計圖根據以上信息，解答下列問題：(1)上述圖表中_______，_______，______；(2)根據以上數據，你認為哪個軟件更受用戶的喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）；(3)此次測驗中，有300人對“”進行評分，260人對“”進行評分，估計此次測驗中對“”，“”兩種軟件評分為A等級的共有多少人？20．重慶三峽移民紀念館是為紀念三峽工程百萬大移民而修建的專題性紀念館，是國家一級博物館、全國愛國主義教育示范基地，也是三峽庫區重要的紅色文化和移民文化保護、研究、展示中心．萬州二中初2025屆研學小組計劃到三峽移民紀念館參觀學習．(1)為達到更佳的參觀學習效果，他們原計劃花260元租講解員講解移民工程和移民精神，后又臨時增加2名同學，實際的講解費雖然增加了10元，但實際的人均費用只為原來的人均費用的，求該學習小組實際參觀博物館的同學人數；(2)三峽移民紀念館的參觀路線全長4.8千米，分為“經典講解”和“特色數字化體驗”兩個部分，他們參觀“經典講解”部分的平均速度是1米/秒，是參觀“特色數字化體驗”部分的平均速度的4倍，加上在“特色數字化體驗”部分排隊的30分鐘，整個參觀學習過程共2.5小時，求“經典講解”部分參觀路線的長度為多少千米？21．如圖1，平行四邊形中，，，連接，，動點P以每秒1個單位的速度從點C出發沿折線運動，設點P運動時間為x秒，的面積為，(1)請直接寫出關于x的函數表達式，并注明自變量x的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數圖象，并寫出該函數的一條性質；(3)的函數圖象如圖2所示，當時請直接寫出x的取值范圍．（結果保留一位小數，誤差小于0.2）22．煙花三月，是油菜花盛開的季節，漫山遍野、滿河道的油菜花，形成了一幅壯觀的自然畫卷．周末，小鐘一家去某油菜花基地游玩，他們從基地大門A處去景點C．小鐘的父母沿A→B→C路線步行到景點C，途中在B點停留4分鐘照相；小鐘則先步行到達正東方向D處，再慢跑去景點C處和父母匯合．父母提前出發2分鐘后，小鐘才出發．已知B在A北偏東方向上且米，C在B北偏東方向上，且在D的西北方向300米處．(1)求基地大門A處與D處的距離（結果保留根號）；(2)父母的平均速度為30米/分，小鐘的步行速度為50米/分，慢跑速度為100米/分，請用計算說明小鐘的父母和小鐘誰先到達景點C？（結果精確到0.1，參考數據：，，）23．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點且交x軸于點，點B，交y軸于點C，頂點為D，連接，．

(1)求拋物線的表達式．(2)點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作交x軸于點M，軸交于點H，求的最大值，以及此時點P的坐標．(3)連接，把原拋物線沿射線方向平移個單位長度后交x軸于，兩點（在右側），直線l為新拋物線的對稱軸且交x軸于點F．若點G為x軸下方新拋物線上一動點，連接，且直線，分別交直線l于點T，R，連接，，記，的面積分別為，．試探究：在點G運動的過程中，是否為定值？若是，請求出該定值并說明理由；若不是，請說明理由．24．在中，，，，點為線段上一點，連接．(1)如圖1，若為的中點，連接，，求的長；(2)如圖2，將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，，為上一點，連接，滿足，取，中點分別為，，連接，求證：；(3)如圖3，若，將線段繞著點逆時針旋轉得，連接，為上一點，且，連接、，將沿直線翻折至所在平面內得到，當最小時，直接寫出的面積．《重慶市萬州二中教育集團2024-2025學年九年級下學期第一次定時作業數學試卷》參考答案題號12345678910答案BCABDABDAC1．B【分析】本題考查無理數，算術平方根，立方根，無限不循環小數叫做無理數，據此進行判斷即可．熟練掌握其定義是解題的關鍵．【詳解】解：A、是整數，不是無理數，故不符合題意；B、是無限不循環小數，是無理數，符合題意；C、3.14是小數，不是無理數，故不符合題意；D、是整數，不是無理數，故不符合題意；故選：B．2．C【分析】本題考查軸對稱圖形的識別，如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，根據定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．W是軸對稱圖形，不合題意；B．E是軸對稱圖形，不合題意；C．Z不是軸對稱圖形，符合題意；D．Y是軸對稱圖形，不合題意；故選C．3．A【分析】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征．將點代入反比例函數解析式，然后解關于的方程即可．反比例函數圖象上的點都滿足該函數的解析式．【詳解】解：反比例函數的圖象經過點，點滿足反比例函數，，解得：；故選：A．4．B【分析】本題考查了位似變換，利用位似的性質得到，然后根據相似三角形的性質求解．如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．位似圖形必須是相似形；對應點的連線都經過同一點；對應邊平行或共線．【詳解】解：與位似，位似中心為點，，的周長與周長之比．即與的周長比為，故選：B．5．D【分析】本題考查二次根式的混合運算，無理數的估算．先利用二次根式的運算法則將原式變形為，再利用放縮法估算的范圍，即可求解．【詳解】解：，，，，，故選D．6．A【分析】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定、平行線的性質以及對頂角等知識，根據相關性質逐一判斷即可，熟練掌握矩形的判定和全等三角形的判定是解題的關鍵．【詳解】解：A、對頂角相等，故選項A符合題意；B、三個角分別相等的兩個三角形不一定是全等三角形，故選項B不符合題意；C、對角線相等的四邊形不一定是矩形，故選項C不符合題意；D、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故選項D不符合題意；故選：A．7．B【分析】本題主要考查圖形類規律，解題的關鍵是通過觀察圖形得出規律．根據已知圖形找到規律：第n個層光伏板的個數為個，再計算綜合即可．熟練求出第n個層光伏板的個數為個是解題的關鍵．【詳解】解：第①層布置了3個光伏板，為個，第②層布置了6個光伏板，為個，第③層布置了9個光伏板，為個，第④層布置了12個光伏板，為個，則第n個層光伏板的個數為個，布置到第⑦層時，第⑦層光伏板的個數為個，一共布置的光伏板個數是個，故選：B．8．D【分析】本題考查計算不規則圖形的面積，等邊三角形的判定和性質．掌握扇形面積公式是解題的關鍵．連接，，先證是等邊三角形，根據陰影部分的面積求解．【詳解】解：如圖，連接，，作于點H，由作圖知，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，陰影部分的面積，故選D．9．A【分析】過點作，垂足分別為，過點G作，交延長線于點，證明，可得，設，，再進一步可得，，從而可得答案．【詳解】解：過點作，垂足分別為，過點G作，交延長線于點，∴，∵四邊形，是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴設，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理的應用，全等三角形判定與性質，平行線分線段成比例定理，正確構造全等三角形是解題的關鍵．10．C【分析】本題考查了整式加減的應用．由題意得，，據此逐項判斷即可求解，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：①，，又，，，為整數，、、、、的值可以為、、0、1、16，，的值可能為30，故①正確；②根據，，，當中有一個為時，有一個式子必須是，這與均為整數不符合，則得組合必須是，當前四個式子為時，此時最后一個式子為負數，不符合題意，當前四個式子為時，此時最后一個式子為2，不是整式的平方，不符合題意，當前四個式子為時，此時最后一個式子為6，不是整式的平方，不符合題意，當前四個式子為時，此時最后一個式子為8，不是整式的平方，不符合題意，當前四個式子為時，此時最后一個式子為10，不是整式的平方，不符合題意，當前四個式子為時，此時最后一個式子為12，不是整式的平方，不符合題意，不存在、、、、均為非零的整式的平方，故②錯誤；③，（）均為正整數，若要最大，應該盡可能都相等，則當，時，取最大值，最大值為，故③正確；綜上，正確的個數是2，故選：C．11．/【分析】本題考查實數的混合運算，先計算特殊角三角函數值，負整數次冪，零次冪，再進行加減運算即可得出答案．【詳解】解：，故答案為：．12．/0.25【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩人恰好選擇到同種鮮花的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：標記牡丹花、康乃馨、郁金香和向日葵為A，B，C，D．畫樹狀圖得：共有16種等可能的結果，其中兩人恰好選擇到同種類型鮮花的有4種結果，因此兩人恰好選擇到同種鮮花的概率為，故答案為：．13．3【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，由余角的性質可得，根據相似三角形的性質可求，由等腰三角形的性質和平行線的性質可證，由勾股定理可求解，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．【詳解】解：四邊形為矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：3．14．【分析】此題考查了分式方程整數解和不等式組的整數解問題，熟練掌握分式方程和不等式組的解法，根據關于y的分式方程有整數解得到或或，根據有解且最多有3個整數解得到a的整數解為，即可得到答案．【詳解】∵解分式方程，解得：，∵y的分式方程有整數解，∴，解得或或或∵，∴，∴或或，∵的解集為，∵有解且最多有3個整數解，，∴，解得，故，故滿足條件的整數a的值之和為故答案為：．15．4【分析】連接，連接交于點，連接，證明是等腰直角三角形，在中，，在中，，求得，，進而求出所求線段的長度．【詳解】解：連接，連接交于點，連接，∵分別是的切線，∴，，又∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，，，，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴在中，，∴，，∴在中，，∴，，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，，，又∵是等腰直角三角形，∴．故答案是：4，．【點睛】本題主要考查了圓的切線性質、垂徑定理、三角函數、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等，熟悉各種性質與定理是解題的關鍵．16．58082【分析】本題考查了整式的運算、分式的運算等知識，根據定義得到，進一步得到；，，是4的整數倍，則，3，5，7或9，進一步計算即可．讀懂題意求出，是解題的關鍵．【詳解】解：，，為正整數，∵，，∴，只能等于，則，，∵，∴可取0到5的數，∴只能取5，3，1，這六個數，∵，且為4的倍數，∴只能取1，這兩個數，是4的整數倍，，3，5，7或9；由于M的最大值可以千位為9，最小值千位最小可以為1，當時，取到最小值，，，，為正整數，且小于10，或2，當，時，取到最小值，，，的最小值為1239，當，時，取到最小值，，，的最大值為9321，．故答案為：5，8082．17．（1）；（3），當時，原式；當時，原式【分析】本題主要考查整式的四則運算和分式的化簡求值，熟練掌握乘法公式和運算法則是解答本題的關鍵．（1）利用完全平方公式，平方差公式進行計算即可；（2）原式先計算括號內的，再把除法轉換為乘法，分子與分母分解因式后約分，得最簡結果后，再選擇一個適當a的值代入進行計算即可．【詳解】解：（1），，，；（2），，，，，根據分式有意義的條件，a為整數且，可取或1，當時，原式；當時，原式．18．(1)見解析；(2)，，，這兩個三角形的面積之比，等于這個角的兩條鄰邊邊長之比．【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的作圖、三角形全等的判定和性質；（1）分別以、點為圓心，長為半徑在線段兩側畫弧，各有兩個交點，連接這兩個交點交邊與，則直線即為的垂線；（2）根據AAS，再找一條公共邊，證明≌，得到，進而將面積之比轉化長相應邊的比．【詳解】（1）解：如圖，直線為所作垂段；（2）解：證明：∵，∴．∵AD平分，∴．在和中，∴≌(AAS)．∴．∵，，∴．所以：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形的面積之比，等于這個內角的兩條鄰邊邊長之比．19．(1)15，89，97(2)“”軟件更受用戶的喜愛，理由見解析(3)239人【分析】本題考查調查與統計，利用樣本估計總體，掌握中位數、眾數的定義是解題的關鍵．（1）用1減去A，B，D所占百分數，即可得到；根據中位數定義可求b；根據眾數的定義可求c；（2）比較A等級所占百分比或中位數即可；（3）用總人數乘以A等級所占百分比，然后相加即可．【詳解】（1）解：“”的評分數據中B等級數據有7份，占：，；“”的評分數據中A等級數據份數為：，B等級數據按從大到小順序排列為：89，89，88，87，86，86，84，可知“”的評分數據中從大到小排序，第10，11位數據均為89，；“”的評分數據中97出現了3次，出現的次數最多，；故答案為：15，89，97；（2）解：“”軟件更受用戶的喜愛，理由：“”評分數據中A等級所占百分比比“”高；（答案不唯一）（3）解：（人）答：估計此次測驗中對“”，“”兩種軟件評分為A等級的共有239人．20．(1)學習小組實際參觀博物館的同學人數為15人(2)“經典講解”部分參觀路線的長度為4千米【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是找到題目中的等量關系．（1）設該學習小組實際參觀博物館的同學人數為x人，則原計劃參觀人數為人，根據“實際的人均費用只為原來的人均費用的”列方程求解即可；（2）設“經典講解”部分參觀路線的長度為y千米，則“特色數字化體驗”分參觀路線的長度為千米，根據參觀“經典講解”、在“特色數字化體驗”部分排隊的時間、參觀“特色數字化體驗”的時間共2.5小時，即可列方程求解．【詳解】（1）解：設該學習小組實際參觀博物館的同學人數為x人，則原計劃參觀人數為人，根據題意，得，解得，經檢驗是原方程的解，答：學習小組實際參觀博物館的同學人數為15人；（2）解：1米/秒米/時，設“經典講解”部分參觀路線的長度為y千米，則“特色數字化體驗”分參觀路線的長度為千米，根據題意，得，解得，答：“經典講解”部分參觀路線的長度為4千米．21．(1)(2)圖見解析，當時，隨x增大而減小，當時，隨x增大而增大．(3)或【分析】（1）分兩種情況：當點P由運動時，即；當點P由運動時，即；利用三角形面積公式求出函數解析式即可；（2）用描點法作出函數的圖象即可；（3）利用圖象法求解即可．【詳解】（1）解：由勾股定理，得，∵平行四邊形，∴，當點P由運動時，即，，即；當點P由運動時，即，過點A作于E，過點B作交延長線于F，如圖，∵，∴，∴，∵平行四邊形，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，即；綜上，關于x的函數表達式為．（2）解：如圖所示：由圖可得：當時，隨x增大而減小，當時，隨x增大而增大．（3）解：由圖象可得：當時，或．【點睛】本題考查動點函數圖象，求動點函數解析式，利用圖象法求不等式解集，一次函數與反比例函數交點問題，矩形的判定與性質，平行四邊形的性質，三角形的面積．22．(1)米(2)小鐘先到達景點C，理由見解析【分析】此題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．（1）過點作于點，過點作于點，作于點，證明四邊形是矩形，則，，求出，，得到則可求米，得到米，即根據即可求出答案；（2）分別計算各自到達的時間，比較后即可得到答案．【詳解】（1）解：過點作于點，過點作于點，作于點，則，四邊形是矩形，，，由題意可得，在中，米，米，米，由題意可得，在中，米，，米，在中，，米，米，米，即游船起點處與處的距離為米；（2）解：父母走過的路程為米，則父母到達景點C的時間為分，小鐘步行的時間為分小鐘跑步的時間為分，則小鐘到達景點C的時間為分，則小鐘先到達景點C．23．(1)(2)(3)是定值，為【分析】（1）運用待定系數法求出函數解析式；（2）求出直線的解析式，設，則得到H的坐標，表示出證明，得到一個關于m的二次函數表達式，利用二次函數的性質求出最值和此時P點坐標即可；；（3）過G點作x軸的垂線，構造相