2025屆甘孜市重點中學聯盟“測試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為等差數列的前項和，若，則A． B．C． D．2．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：，，，，則按照以上規律，若具有“穿墻術”，則（）A．48 B．63 C．99 D．1203．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．4．已知集合，，，則()A． B． C． D．5．若復數滿足（為虛數單位），則其共軛復數的虛部為（）A． B． C． D．6．設函數的定義域為，命題：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，7．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a9．在等差數列中，若為前項和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．18010．中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為()A．3 B．3.4 C．3.8 D．411．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．12．的展開式中的系數是-10，則實數()A．2 B．1 C．-1 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上到其焦點的距離為的點的個數為________．14．已知復數，且滿足（其中為虛數單位），則____.15．在邊長為2的正三角形中，，則的取值范圍為______.16．在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．18．（12分）在中，角所對的邊分別為，若，，，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.19．（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；（2）當為中點時，求二面角的余弦值.20．（12分）2019年入冬時節，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強身體素質，積極開展冰上體育鍛煉.現從速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業的評估機構對他們的鍛煉成果進行評估打分（滿分為100分）并且認為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統計，請將下列列聯表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系？擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）21．（12分）如圖，己知圓和雙曲線，記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.（1）若，且恰為的左焦點，求的兩條漸近線的方程；（2）若，且，求實數的值；（3）若恰為的左焦點，求證：在軸上不存在這樣的點，使得.22．（10分）已知函數，(其中，).（1）求函數的最小值.（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據等差數列的性質可得，即，所以，故選C．2．C【解析】

觀察規律得根號內分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發現規律，根號內分母為分子的平方減1所以故選：C.本題考查了歸納推理，發現總結各式規律是關鍵，屬于基礎題.3．C【解析】

根據橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎題.4．A【解析】

求得集合中函數的值域，由此求得，進而求得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A本小題主要考查函數值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎題.5．D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復數的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復數=-1+，虛部為1故選D．本題考查復數代數形式的乘除運算和共軛復數的基本概念，屬于基礎題．6．D【解析】

根據命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為：，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.7．B【解析】

根據約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經過點時，取得最小值－5；經過點時，取得最大值5，故.故選：B本題考查根據線性規劃求范圍，屬于基礎題.8．C【解析】

兩復數相等，實部與虛部對應相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．本題考查復數的概念，屬于基礎題.9．A【解析】

因為，可得，根據等差數列前項和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.本題主要考查了求等差數列前項和，解題關鍵是掌握等差中項定義和等差數列前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.10．D【解析】

根據三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數.【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎題.11．A【解析】

化簡集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選:A.本題考查集合間的運算，屬于基礎題.12．C【解析】

利用通項公式找到的系數，令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為，令，得，則，所以，解得.故選：C本題考查求二項展開式中特定項的系數，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設拋物線上任意一點的坐標為，根據拋物線的定義求得，并求出對應的，即可得出結果.【詳解】設拋物線上任意一點的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時.因此，拋物線上到其焦點的距離為的點的個數為.故答案為：.本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎題.14．【解析】

計算出，兩個復數相等，實部與實部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8此題考查復數的基本運算和概念辨析，需要熟練掌握復數的運算法則.15．【解析】

建立直角坐標系，依題意可求得，而，，，故可得，且，由此構造函數，，利用二次函數的性質即可求得取值范圍．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，設，，，，根據，即，，，則，，即，，，則，，所以，，，，，，且，故，設，，易知二次函數的對稱軸為，故函數在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為．故答案為：．本題考查平面向量數量積的坐標運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意通過設元、消元，將問題轉化為元二次函數的值域問題．16．C【解析】

根據確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計算得到答案.【詳解】由題意可得.因為，所以是異面直線與所成的角，記為，故.故選：.本題考查了異面直線夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）．（2）．【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數據，求出最高氣溫位于區間[20，25）和最高氣溫低于20的天數，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500，求出Y＝900元；當溫度在[20，25）℃時，需求量為300，求出Y＝300元；當溫度低于20℃時，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當溫度大于等于20時，Y＞0，由此能估計估計Y大于零的概率．【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數據，得到最高氣溫位于區間[20，25）和最高氣溫低于20的天數為2+16+36＝54，根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區間[20，25），需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p．（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500，Y＝450×2＝900元，當溫度在[20，25）℃時，需求量為300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，當溫度低于20℃時，需求量為200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，當溫度大于等于20時，Y＞0，由前三年六月份各天的最高氣溫數據，得當溫度大于等于20℃的天數有：90﹣（2+16）＝72，∴估計Y大于零的概率P．本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數、古典概型等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．18．（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；（2），再利用求正弦型函數值域的方法即可得到答案.【詳解】（1）因為，所以.在中，由正弦定理得，所以，即.在中，由余弦定理得，又因為，所以.（2）由（1）得，在中，，所以.因為，所以，所以當，即時，有最大值1，所以的最大值為.本題考查正余弦定理解三角形，涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數量積的坐標運算，是一道容易題.19．（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿足即可，從而得到點E為中點;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數量積，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【詳解】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點E為PC中點.法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D－XYZ，由題意知PD＝CD＝1，，設，，，由，得，即存在點E為PC中點.（2）由（1）知，，，，，，設面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值為.本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．20．（1）（2）填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系【解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據表格數據填寫列聯表，計算出的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系.【詳解】（1）由題意，解得.（2）由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運動的人數為.完善列聯表如下：擅長不擅長合計男性203050女性104050合計3070100，對照表格可知，，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系.本小題主要考查根據頻率分布直方圖計算小長方形的高，考查列聯表獨立性檢驗，屬于基礎題.21．（1）；（2）；（2）見解析．【解析】

（1）由圓的方程求出點坐標，得雙曲線的，再計算出后可得漸近線方程；（2）設，由圓方程與雙曲線方程聯立，消去后整理，可得，，由先求出，回代后求得坐標，計算；（3）由已知得，設，由圓方程與雙曲線方程聯立，消去后整理，可解得，，求出，從而可得，由，可知滿足要求的點不存在．【詳解】（1）由題意圓方程為，令得，∴，即，∴，，∴漸近線方程為．（2）由（1）圓方程為，，設，由得，(*)，，，，所以，即，解得，方程(*)為，即，，代入雙曲線方程得，∵在第一、四象限，∴，，∴．（3）由題意，，，，，設由得：，，由得，解得，，，所以，，，當且僅當三點共線時，