專題08正態分布（2個知識點2個拓展1個突破3種題型1個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.正態曲線與正態分布知識點2.正態曲線的性質拓展1.正態分布概率的求法拓展2.正態分布在實際生活中的應用突破：正態分布的綜合應用【方法二】實例探索法題型1.正態曲線題型2.利用正態曲線的對稱性求概率題型3.正態分布的應用【方法三】差異對比法易錯點：錯用正態曲線的對稱性【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.正態曲線與正態分布正態曲線與正態分布1．我們稱f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，為正態密度函數，稱其圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．2．若隨機變量X的概率密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積．例1.單選題（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯考期末）某班有45名學生，最近一次的市聯考數學成績服從正態分布，若的學生人為18，則（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35知識點2.正態曲線的性質正態曲線的特點1．對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線與x軸之間的面積為1.3．曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．4．曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．6．當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ較小時曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.知識點三正態總體在三個特殊區間內取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區間[μ－3σ，μ＋3σ]內，而在此區間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生．在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則．例2．多選題（2024上·遼寧·高二校聯考期末）隨機變量，且，隨機變量，若，則（

）A． B．C． D．拓展1.正態分布概率的求法1．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量服從正態分布，且，則．拓展2.正態分布在實際生活中的應用2．（2023·全國·模擬預測）某市有20000名學生參加了一項知識競賽活動（知識競賽分為初賽和復賽），并隨機抽取了100名學生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值和分位數．(2)若所有學生的初賽成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，，初賽成績不低于89分的學生才能參加復賽，試估計能參加復賽的人數．(3)復賽設置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯得0分．已知某學生已通過初賽，他在復賽中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復賽成績為，求的分布列及數學期望．附：若隨機變量服從正態分布，則，，．【方法二】實例探索法題型1.正態曲線1．單選題（2021·高二單元測試）設X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，這兩個正態曲線如圖所示，下列說法正確的是（）A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)C．若t<0，則P(X≤t)≤P(Y≤t)D．若t<0，則P(X≥t)≤P(Y≥t)題型2.利用正態曲線的對稱性求概率2．多選題（2021·高二課時練習）醫用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內、中、外三層.內層為親膚材質（普通衛生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據國家質量監督檢驗標準，醫用口罩的過濾率是重要的指標，根據長期生產經驗，某企業在生產線狀態正常情況下生產的醫用口罩的過濾率，則下列說法正確的是（）（附：若，則，，）A．B．C．D．假設生產狀態正常，記Y表示一天內抽取的50只醫用口罩中過濾率大于的數量，則題型3.正態分布的應用3．（2021·高二課時練習）若某種零件的尺寸（單位：）服從正態分布，其正態密度函數在上單調遞增，在上單調遞減，且.試估計尺寸在72~88的零件占總數的百分之幾.【方法三】差異對比法易錯點：錯用正態曲線的對稱性1．某中學高考數學成績近似地服從正態分布，求此校數學成績在120分以上的考生占總人數的百分比．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2022·高二課時練習）某班有60名學生，一次考試后數學成績，若，則估計該班學生數學成績在120分以上的人數為A．9 B．8 C．7 D．62．（2021上·吉林長春·高三長春外國語學校?？计谥校┮阎恼龖B分布的隨機變量在區間，和內取值的概率分別為68.3%，95.4%和99.7%.某校為高一年級1000名新生每人定制一套校服，經統計，學生的身高（單位：cm）服從正態分布，則適合身高在155~175cm范圍內的校服大約要定制（

）A．683套 B．954套 C．972套 D．997套3．已知隨機變量，且，則A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.74．（2021下·江蘇連云港·高二?？计谥校┮阎龖B密度曲線的函數關系式是f（x），設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數的圖象，且，則這個正態總體的平均數與方差分別是（

）A．10與4 B．10與2 C．10與8 D．2與105．（2022·高二課時練習）已知隨機變量，且，，則為（

）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.27186．某班有60名學生，一次考試的成績服從正態分布，若，估計該班數學成績在100分以上的人數為（

）A．12 B．20 C．30 D．407．（2021下·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習）設隨機變量，若，則（

）A． B． C． D．8．隨機變量，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·河北石家莊·高二校考階段練習）下列說法中正確的是（

）A．某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績（單位：環）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數據的中位數為6B．若隨機變量，且，則C．若隨機變量，且，則D．對一組樣本數據進行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個數據點在回歸直線上10．（2021上·福建福州·高三?？奸_學考試）已知某批零件的長度誤差服從正態分布，其密度函數的曲線如圖所示，則下列結論正確的是（

）.（附：若隨機變量服從正態分布，則，，．從中隨機取一件，．A．B．C．長度誤差落在內的概率為0.1359D．長度誤差落在內的概率為0.159911．（2023上·山東濰坊·高三統考期末）關于下列命題中，說法正確的是（

）A．已知，若，，則B．數據，，，，，，，，，的分位數為C．已知，若，則D．某校三個年級，高一有人，高二有人.現用分層抽樣的方法從全校抽取人，已知從高一抽取了人，則應從高三抽取人.12．（2022下·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？计谥校┫铝姓f法正確的有（

）A．若隨機變量，，則B．若隨機變量，則方差C．從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為D．已如隨機變量的分布列為，則三、填空題13．（2023·全國·模擬預測）研究人員在調查某園區內種植的某種植物的株高時，發現株高（單位：）服從正態分布，若，則在該園區內隨機抽取一株這種植物，株高超過的概率約為．14．（2022·高二單元測試）上次月考剛好有900名學生參加考試，學生的數學成績，且，則上次月考中數學成績在115分以上的人數大約為．15．（2023·上海普陀·上海市宜川中學校考模擬預測）某校高中三年級600名學生參加了區模擬統一考試，已知數學考試成績X服從正態分布（試卷滿分為150分）.統計結果顯示，數學考試成績在80分到120分之間的人數約為總人數的，則此次統考中成績不低于120分的學生人數約為.16．（2021上·山東·高三山東省實驗中學?？茧A段練習）某校一次高三年級數學檢測，經抽樣分析，成績近似服從正態分布，且，若該校1800學生參加此次檢測，估計該校此次檢測成績不低于99分的學生人數為.四、解答題17．設X～N(10,1)，若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．18．（2022·高二課時練習）某工廠為檢驗車間一生產線工作是否正常，現從生產線中隨機抽取一批零件樣本，測量它們的尺寸（單位：mm）并繪成頻率分布直方圖，如圖所示．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件尺寸服從正態分布，其中近似為零件樣本平均數，近似為零件樣本方差．(1)求這批零件樣本的和的值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；(2)假設生產狀態正常，求；(3)若從生產線中任取一零件，測量其尺寸為30mm，根據原則判斷該生產線工作是否正常．附：；若，則，，．19．（2023·全國·模擬預測）某公司為了解市場對其開發的新產品的需求情況，共調查了250名顧客，采取100分制對產品功能滿意程度、產品外觀滿意程度分別進行評分，其中對產品功能滿意程度的評分服從正態分布，對產品外觀滿意程度評分的頻率分布直方圖如圖所示，規定評分90分以上（不含90分）視為非常滿意.(1)本次調查對產品功能非常滿意和對產品外觀非常滿意的各有多少人？（結果四舍五入取整數）(2)若這250人中對兩項都非常滿意的有2人，現從對產品功能非常滿意和對產品外觀非常滿意的人中隨機抽取3人，設3人中兩項都非常滿意的有X人，求X的分布列和數學期望.（附：若，則，）20．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實驗中學?？计谥校┤娼ㄔO社會主義現代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強．某市為了解當地農村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入x（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數（同一組的數據用該組區間中點值代表）．(2)由直方圖可認為農戶家庭年收入近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，其中.①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數？（結果保留整數）②如果用該地區農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數為，求．（結果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．21．（2023下·河北唐山·高二開灤第一中學?？计谀吨袊圃?025》是經國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印發的部署全面推進實施制造強國的戰略文件，是中國實施制造強國戰略第一個十年的行動綱領．制造業是國民經濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基.發展制造業的基本方針為質量為先，堅持把質量作為建設制造強國的生命線.某制造企業根據長期檢測結果，發現生產的產品質量與生產標準的質量差都服從正態分布，并把質量差在內的產品為優等品，質量差在內的產品為一等品，其余范圍內的產品作為廢品處理，優等品與一等品統稱為正品．現分別從該企業生產的正品中隨機抽取1000件，測得產品質量差的樣本數據統計如下：

(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數；(2)根據大量的產品檢測數據，檢查樣本數據的方差的近似值為100，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，求該廠生產的產品為正品的概率.（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）[參考數據：若隨機變量服從正態分布，則：，，.(3)假如企業包裝時要求把3件優等品和4件一等品裝在同一個箱子中，質檢員每次從箱子中摸出三件產品進行檢驗，記摸出三件產品中優等品的件數為X，求X的分布列以及期望值.22．（2023下·山東菏澤·高二統考期末）貴州榕江（三寶侗寨）和美鄉村足球超級聯賽，簡稱“村超”，該活動在榕