【贏在中考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學模擬卷（南京專用）黃金卷03（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：（本大題共6題，每題2分，共12分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）1．的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的絕對值，相反數(shù)的定義等知識點，熟練掌握絕對值的意義和相反數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)絕對值的意義和相反數(shù)的定義進行解答即可．【詳解】解：，的相反數(shù)是，的相反數(shù)是，故選：．2．紅外線是太陽光線中眾多不可見光線中的一種，且應用廣泛，某紅外線遙控器發(fā)出的紅外線波長約為，用科學記數(shù)法表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，理解科學記數(shù)法的定義是解題的關鍵．根據(jù)用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定，即可得到答案．【詳解】解：故選：B．3．如圖，在中，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)和定理是解題的關鍵．根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)即可．【詳解】解：，，平分，故選：B．4．估計的值應在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】D【分析】本題考查無理數(shù)的估算，二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)，利用二次根式乘法法則得到，再利用二次根式的性質(zhì)可得到，然后估算出的值即可，正確估算出的值是解題的關鍵．【詳解】解：由，∵，∴，∴，故選：．5．經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑（樹主干的直徑）越大，樹就越高．通過測量某種樹，得到如表：胸徑樹高已知樹高是其胸徑的一次函數(shù)．如表幾對數(shù)值中不能滿足與的函數(shù)關系式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查一次函數(shù)的實際運用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)性質(zhì)，是解決問題的關鍵．設，將，代入解方程組，得到，把代入，得．【詳解】解：設，將，代入，得，解得，∴；當時，．當時，．當時，．∴不能滿足y與x的函數(shù)關系式的是．故選：C6．圖1是搗谷物的“碓”，圖2是其示意圖，O為轉(zhuǎn)動支點，于點B，與水平線夾角，，，．當點C繞點O旋轉(zhuǎn)下落到上時，點A上升（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將和繞點O旋轉(zhuǎn)到和，使點C的對應點為落在上，設上升的高度為h，過點B作于點F，過作于點E，于點G，則，，得，求出，證明，得，得，得，根據(jù)，即得．【詳解】解：將和繞點O旋轉(zhuǎn)到和，使點C的對應點為落在上，設上升的高度為h，過點B作于點F，過作于點E，于點G，則四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵于點B，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，矩形判定和性質(zhì)，含30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)，位似三角形性質(zhì)等知識，正確作出輔助線，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．二、填空題：（本大題共10題，每題2分，共20分.）7．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)的混合運算、零次冪、負整數(shù)次冪等知識點，掌握零次冪、負整數(shù)次冪成為解題的關鍵．先用實數(shù)的混合運算、零次冪、負整數(shù)次冪化簡，然后再計算即可．【詳解】解：．故答案為：．8．若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍為．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，故答案為：．9．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了分式加減運算，根據(jù)同分母分式加減運算法則進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：．10．分解因式：．【答案】【分析】本題考查了因式分解；首先提取公因式，再用“”進行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．11．若，則．【答案】【分析】本題考查了多項式乘多項式，解答本題的關鍵是掌握多項式乘多項式的法則．根據(jù)多項式乘多項式的法則計算，再根據(jù)多項式相等的條件即可求出、的值，從而得到的值．【詳解】解：，，，，，，故答案為：．12．若一組數(shù)據(jù)2，3，，5，6，7的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．【答案】5.5【分析】本題考查利用眾數(shù)求未知量，求中位數(shù)，根據(jù)眾數(shù)為7，得到，將數(shù)據(jù)排序后，中間2位的平均數(shù)即為所求．【詳解】解：∵一組數(shù)據(jù)2，3，，5，6，7的眾數(shù)為7，∴，∴這組數(shù)據(jù)為：2，3，5，6，7，7；∴中位數(shù)為：；故答案為：5.513．已知關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根的平方和等于44，則m的值是【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若，為方程的兩個根，則，與系數(shù)的關系式：，．先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根據(jù)根的判別式判斷即可．【詳解】解：設方程的兩個實數(shù)根為，，則，∴，令，即，解得：，∵方程有實數(shù)根，∴，即：，綜上所述：．故答案為：1．14．如圖，反比例函數(shù)（）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點A，在軸上，若，坐標分別為，，則實數(shù)的值為．【答案】6【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和坐標與圖形性質(zhì)求得點A坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求解k值即可．【詳解】解：延長交y軸于D，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴，，，∴，∴，∵點A在反比例函數(shù)（）在第一象限內(nèi)的圖象上，∴，故答案為：6．15．某大門是軸對稱圖形，由矩形與哥特式尖拱組成（如圖1），圖2是其設計圖，尖拱部分是兩條等弧，圓心均落在直線上，圓弧的半徑為米，米．過拱尖P作分別交于點M，N．若，則高等于米．【答案】8【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，矩形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握，是解題的關鍵．設的圓心為O，連接，則，由軸對稱得，，得，由勾股定理求出,得，即得．【詳解】設的圓心為O，連接，則，∵四邊形是矩形，∴，由軸對稱知，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴．16．如圖，在中，，現(xiàn)操作如下：將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)為，將邊繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)為，過點C作于H，延長至E使，延長與交于F．若，，則的面積是．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度較大，正確構(gòu)造全等三角形是解決問題的關鍵．過點作交延長線于點M，過點作于點N，則可證明，，，那么，則，在中，，求得，而均為等腰直角三角形，則，故，則，繼而，則的面積即可求解．【詳解】解：過點作交延長線于點M，過點作于點N，則由旋轉(zhuǎn)得：，∵，∴，∴，∴，∴，同理可證明：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，，∴均為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題：（本大題共11題，第17-18每題7分，第19-25每題8分，第26-27題9分，共88分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17．解方程：．【答案】【分析】本題考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解題的關鍵，最后要記得檢驗．先去分母化成一元一次方程再解整式方程最后再檢驗即可．【詳解】解：，去分母得，，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數(shù)化成1得，．檢驗，時，．∴是原方式方程的解．18．解不等式組：并把不等式組解集表示在數(shù)軸上．【答案】，在數(shù)軸上表示解析【分析】本題考查了解不等式組，熟練掌握不等式的求解方法是解題的關鍵，在數(shù)軸上表示時注意大于向右畫，小于向左畫，有等實心點，無等空心圓．分別解兩個不等式，再取公共解集，在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：解不等式①：移項、合并同類項得：解不等式②：去分母得：，移項、合并同類項得：系數(shù)化為1得：．所以原不等式組的解集是．把解集在數(shù)軸上表示為：19．如圖，在中，對角線，相交于點O，經(jīng)過點O的直線分別交和于點E，F(xiàn)，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題關鍵．由平行四邊形可知，，進而證明，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴∴．20．下圖是年我國（國內(nèi)生產(chǎn)總值）增長率的折線統(tǒng)計圖．閱讀統(tǒng)計圖并回答以下問題．(1)下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．①年我國增長率逐年降低，但始終不低于；②2020年我國比2019年低；③年我國增長率的方差比年的方差小．(2)結(jié)合圖中提供的數(shù)據(jù)，請用自己的語言概括這12年我國的相關情況．【答案】(1)③(2)答案不唯一，見解析【分析】本題考查折線統(tǒng)計圖，統(tǒng)計量的意義，理解題意，能夠從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)據(jù)是解題的關鍵（1）根據(jù)統(tǒng)計圖信息逐個判斷即可；（2）可從相關統(tǒng)計量的意義方面概括情況．【詳解】（1）解：①年我國增長率，2017年略有增長，故①不正確；2020年我國仍有的增長，故②不正確；由折線統(tǒng)計圖可以看出：年我國增長率的波動比年的波動小，故③正確．故答案為：③；（2）答案不唯一．比如：，∴這12年我國的平均增長率約為；∵這組數(shù)據(jù)由小到大排列為：，∴這12年我國的平均增長率的中位數(shù)為：，∴這12年我國的平均增長率有一半年份超過．21．小明為幫助自己記憶古詩，將5句重點古詩分別制成表面看上去無差別的卡片，并分別放入甲、乙兩個口袋中（如圖）．甲口袋中裝有，，三張卡片，乙口袋中裝有，兩張卡片．(1)若從乙口袋中隨機抽取1張卡片，抽到思鄉(xiāng)的古詩的概率是__________．(2)從兩個口袋中分別隨機抽取1張卡片，求抽取的兩張卡片至少有一張是勵志古詩的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖法表示所有等可能結(jié)果的方法，概率的計算方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)概率公式計算即可；（2）運用列表法或畫樹狀圖法把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率公式的計算即可求解．【詳解】（1）解：乙口袋中裝有，兩張卡片，其中思鄉(xiāng)的古詩為，∴抽到思鄉(xiāng)的古詩的概率是，故答案為：；（2）解：列表或畫樹狀圖把所有等可能結(jié)果表示如下，共有6種等可能結(jié)果，其中至少有一張是勵志古詩的是，共4種，∴至少有一張是勵志古詩的概率為．22．《九章算術》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系，其“勾股”中記載了一個數(shù)學問題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高，廣各幾何？”譯文為：“已知有一扇矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長為1丈（1丈尺），那么門的高和寬各是多少？”（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】門的高和寬各是尺和尺【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，勾股定理，設門的寬為尺，則門的高為尺，由題意和勾股定理列出方程即可，明確題意，準確得到數(shù)量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設門的寬為尺，則門的高為尺，由題意得：，解得：，（舍去），∴門的高為（尺），答：門的高和寬各是尺和尺．23．為弘揚革命傳統(tǒng)精神，某校組織學生前往渡江戰(zhàn)役紀念館緬懷革命先烈．初到紀念館，數(shù)學興趣小組的同學們就發(fā)現(xiàn)廣場上有一座雄偉壯觀的勝利塔（如圖1），想知道勝利塔的高度（塔頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是他們進行了測量．如圖2，他們在地面上的點A處用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫椋邳c處測得塔頂?shù)难鼋菫椋阎瑴y角儀的高度是（點在同一條直線上）．根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求勝利塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應用用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)題意可得，先利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后再加上即可解答．【詳解】解：由題意得：，∵是的外角，，，∴，在中，(m)，．答：勝利塔的高約為．24．通常，路燈、臺燈、手電筒……發(fā)出的光可以看成是從一個點發(fā)出的，在點光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影．(1)如圖1，夜晚，小明從點A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點B，他的影長y隨他與點A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關系的圖像大致為_________；A．B．

C．D．(2)如圖2，小明為測河對岸的路燈桿的高度，在路燈A的燈光下，小明在點D處測得自己的影長，沿方向前進到達點F處測得自己的影長．已知小明的身高為，求路燈桿的高度．【答案】(1)D(2)【分析】本題主要考查中心投影，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）等高的物體垂直地面時，在燈光下離點光源越近的物體，它的影子越短，離點光源越遠的物體，它的影子越長，即可得到答案；（2）根據(jù)題意可得出，得到，，進而得到，即可求出的長，即可求出的長．【詳解】（1）解：等高的物體垂直地面時，在燈光下離點光源越近的物體，它的影子越短，離點光源越遠的物體，它的影子越長，D符合題意，故答案為：D；（2）解：，，，，，又，，，，，，，，，，解得：；燈桿的高度為．25．已知拋物線經(jīng)過點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式（用含的式子表示）；(2)若，且該拋物線與直線沒有公共點，求的取值范圍；(3)若，點在該拋物線上，且當時，都有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式即可求得答案；（2）把代入，整理得：，根據(jù)拋物線與直線沒有公共點，利用一元二次方程根的判別式列不等式求解即可求得答案；（3）根據(jù)題意得：，從而得到，由于當時，都有，可得，當時，，從而，解不等式組即可得到答案．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：把代入，得，整理得：，∵拋物線與直線沒有公共點，關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，∴，即，∵，，即，∴，綜上所述，的取值范圍為；（3）解：∵點在此拋物線上，∴，∴，∵，∴，即，則，∴，∵，∴，當時，都有，∴，由①得；由②得，則不等式組的解集為，綜上所述，．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與直線的交點、一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、解不等式（組）等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握不等式（組）的解法是解題的關鍵．26．已知的半徑為4，弦，中，．在平面上，先將和按圖1位置擺放（點與點重合，點在上，點在內(nèi)），隨后移動，使點在弦上移動，點始終在上隨之移動．(1)如圖1，當點與點重合時，求陰影部分的面積；(2)如圖2，當時，求點到的距離；(3)如圖3，設點到的距離為．當點在劣弧上，且過點的切線與垂直時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)點到的距離為3(3)【分析】（1）如圖，連接，，先證明為等邊三角形，求出等邊三角形的面積結(jié)合扇形面積公式可得答案；（2）過作于，過作于，連接，證明四邊形是矩形，可得，，再結(jié)合勾股定理可得答案；（3）①如圖，由過點A的切線與垂直，可得過圓心，過作于，過作于，而，可得四邊形為矩形，可得，再進一步利用勾股定理與銳角三角函數(shù)可得答案．【詳解】（1）解：如圖1，連接，，∵的半徑為4，，∴，∴為等邊三角形，∴，過點作于點，則，∴在中，由勾股定理得，∴，∵∴；（2）解：過作于，過作于，連接，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴點B到的距離為3；（3）解：如圖3，∵過點A的切線與垂直，∴過圓心，過作于，過作于，而，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【點睛】本題屬于圓的綜合題，難度較大大，考查了勾股定理的應用，扇形面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，切線的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．27．【問題背景】為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉庫的門動換氣窗采用了以下設計：如圖1，窗子的形狀是一個五邊形，它可看作是由一個矩形和一個組成，該窗子關閉時可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動打開窗子上的通風口換氣．通風口為（陰影部分均不通風），點F為的中點，是可以沿窗戶邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿．設窗子的邊框、分別為am，bm，窗子的高度（窗子的最高點到邊框的距離）為cm．【初步探究】（1）若（即點E到的距離為4）．①與之間的距離為1m，求此時的面積；②與之間的距離為xm，試將通風口的面積表示成關于x的函數(shù)；③伸縮桿移動到什么位置時，通風口面積最大，最大面積是多少？【拓展提升】（2）若金屬桿移動到高于所在位置的某一處時通風口面積達到最大值．①c需要滿足的條件是，通風口的最大面積是（用含a、b、c的代數(shù)式表示）②用直尺和圓規(guī)在圖3中作出通風口面積最大金屬桿所在的位置，（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）①；②；③金屬桿移動到所在的位置時，通風口面積最大，最大面積是；（2）①，；②見解析【分析】（1）①直接利用面積公式進行計算即可；②過E作，垂足為F，分別與、相交于點G、H，當時