熱點(diǎn)題型·新情境問(wèn)題攻略熱點(diǎn)題型·新情境問(wèn)題攻略專(zhuān)題20帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題破譯目錄01.題型綜述 錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。02.解題攻略 錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。03.高考練場(chǎng) 33帶電粒子在立體空間中的組合場(chǎng)、疊加場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)受力分析、運(yùn)動(dòng)分析，轉(zhuǎn)換視圖角度，充分利用分解的思想，分解為直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，再利用每種運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的規(guī)律進(jìn)行求解。粒子在立體空間常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)及解題策略運(yùn)動(dòng)類(lèi)型解題策略在三維坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)，每個(gè)軸方向都是常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)模型將粒子的運(yùn)動(dòng)分解為三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)一維加一面，如旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)將粒子的運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)沿軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直該軸的所在面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)所在平面切換，粒子進(jìn)入下一區(qū)域偏轉(zhuǎn)后曲線不在原來(lái)的平面內(nèi)把粒子運(yùn)動(dòng)所在的面隔離出來(lái)，轉(zhuǎn)換視圖角度，把立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖，分析粒子在每個(gè)面的運(yùn)動(dòng)【典例剖析】例1（2025·八省聯(lián)考云南）某小組基于“試探電荷”的思想，設(shè)計(jì)了一個(gè)探測(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度的裝置，其模型如圖所示．該裝置由粒子加速器、選擇開(kāi)關(guān)和場(chǎng)測(cè)量模塊（圖中長(zhǎng)方體區(qū)域）組成。為場(chǎng)測(cè)量模塊的中截面。以中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，在平面上建立平面直角坐標(biāo)系。帶電粒子經(jīng)粒子加速器加速后可從O點(diǎn)沿y軸正方向射入。選擇開(kāi)關(guān)撥到擋可在模塊內(nèi)開(kāi)啟垂直于平面的待測(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，長(zhǎng)為的區(qū)間標(biāo)有刻度線用于表征磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；撥到擋可在模塊內(nèi)開(kāi)啟平行于x軸的待測(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，長(zhǎng)為l的和區(qū)間標(biāo)有刻度線用于表征電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。帶電粒子以速度v入射，其質(zhì)量為m、電荷量為，帶電粒子對(duì)待測(cè)場(chǎng)的影響和所受重力忽略不計(jì)。(1)開(kāi)關(guān)撥到擋時(shí)，在區(qū)間處探測(cè)到帶電粒子，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小；(2)開(kāi)關(guān)撥到擋時(shí)，在處探測(cè)到帶電粒子，求電場(chǎng)強(qiáng)度的方向和大小；(3)求該裝置區(qū)間和區(qū)間的探測(cè)量程。若粒子加速器的電壓為U，要進(jìn)一步擴(kuò)大量程，U應(yīng)增大還是減小？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明。【答案】(1)，垂直紙面向外(2)，水平向右(3)；，說(shuō)明見(jiàn)詳解解析【詳解】（1）帶正電的粒子向右偏轉(zhuǎn)，受洛倫茲力方向向右，由左手定則可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直紙面向外。由幾何關(guān)系，可知粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R與的關(guān)系為2R=根據(jù)牛頓第二定律，得解得（2）由帶正電粒子向右偏轉(zhuǎn)，故電場(chǎng)力水平向右，可判斷電場(chǎng)方向水平向右。帶正電的粒子射入電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)。由水平方向、豎直方向位移公式，牛頓第二定律可得聯(lián)立解得（3）①若測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向：設(shè)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由牛頓第二定律動(dòng)能定理由幾何關(guān)系得聯(lián)立解得由磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式可知，r越大B越小，根據(jù)左右對(duì)稱性關(guān)系，所以量程為。若粒子加速器的電壓為U，則磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式為可知U應(yīng)減小，B最小值越小，從而進(jìn)一步擴(kuò)大量程。②若表征電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，水平位移最大時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度最小。由水平方向、豎直方向位移公式，牛頓第二定律可得聯(lián)立解得由根據(jù)左右對(duì)稱性關(guān)系，所以量程為當(dāng)電壓為U時(shí)，由動(dòng)能定理整理得可知U應(yīng)減小，E最小值越小，從而進(jìn)一步擴(kuò)大量程。例2．如圖所示，坐標(biāo)系內(nèi)有一邊長(zhǎng)為的立方體空間，立方體空間內(nèi)及邊界附近存在沿軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），、、和分別是、、和的中點(diǎn)。當(dāng)從點(diǎn)向點(diǎn)射出速率為、質(zhì)量為、電荷量為的帶電微粒恰能通過(guò)點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，已知重力加速度為。(1)該區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度(2)若該微粒在點(diǎn)沿方向以速度射入?yún)^(qū)域，求微粒離開(kāi)立方體空間時(shí)的位置坐標(biāo)；(3)僅將電場(chǎng)反向，大小不變。若該微粒從點(diǎn)沿方向以速度射入?yún)^(qū)域，求微粒離開(kāi)立方體空間時(shí)的位置坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)(3)【詳解】（1）因微粒做圓周運(yùn)動(dòng)，必有所以根據(jù)所以（2）將速度分解為沿方向和方向，均為；水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑仍為，運(yùn)動(dòng)周期，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為方向做勻速運(yùn)動(dòng)因此微粒射出坐標(biāo)為（3）將電場(chǎng)反向，方向解得根據(jù)可得圓周運(yùn)動(dòng)周期微粒運(yùn)動(dòng)周期，如圖為俯視圖，點(diǎn)即為射出底面的點(diǎn)，其坐標(biāo)為。例3．（2025高三上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，在x?y?z三維坐標(biāo)系的空間，在x軸上距離坐標(biāo)原點(diǎn)x0=0.2m處，垂直于x軸放置一足夠大的感光片。在x≥0空間存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=8.0×102V/m。現(xiàn)有一帶正電的微粒從O點(diǎn)沿x軸正方向射入該空間。微粒所帶電荷量q=1.6×10?16C，質(zhì)量m=3.2×10?22kg。(1)若微粒初速度v0=2.0×104m/s，求微粒打在感光片上的點(diǎn)到x軸的距離；(2)若在該空間再添加一個(gè)沿y軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為0.1T。微粒以不同大小的初速度從O點(diǎn)沿x軸正方向射入。求：該微粒打在感光片上的位置到x軸的最大距離（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。【答案】(1)0.02m(2)0.28m【詳解】（1）設(shè)帶電微粒在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，打在感光片上的點(diǎn)到x軸的距離為y，則有，，解得（2）粒子在平行于xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有，解得當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與感光片相切時(shí)該微粒的z坐標(biāo)最大，此時(shí)有由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與感光片相切，對(duì)應(yīng)圓心角為，粒子運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)的時(shí)間解得粒子從O點(diǎn)沿x軸正方向射入到打至感光片運(yùn)動(dòng)的軌跡對(duì)應(yīng)圓心角最大值為，時(shí)間也為最大值，粒子在平行于xOy平面內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y軸方向的分位移也為最大值，則有故粒子打在感光片上的位置離x軸的最大距離解得例4．利用電場(chǎng)和磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)粒子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。如圖1所示，平面左側(cè)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從點(diǎn)以初速度、沿著x軸正方向射入電場(chǎng)，恰好從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，再次從點(diǎn)通過(guò)x軸，不計(jì)粒子的重力。(1)求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；(2)從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，求粒子的位置坐標(biāo)；(3)如圖2所示，若在平面左側(cè)再加垂直平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，將上述帶正電粒子從點(diǎn)以初速度、沿著x軸正方向射入電磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與x軸負(fù)半軸相切。求所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則有，解得粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)水平方向的分速度為，豎直方向的分速度為結(jié)合上述解得粒子接入右側(cè)磁場(chǎng)后做螺旋運(yùn)動(dòng)，水平向右速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)，平面方向速度為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有，，解得，（2）粒子在磁場(chǎng)中水平向右速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合上述可知由于表明平面方向速度為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)圓心角為，根據(jù)幾何關(guān)系有，解得，即粒子的位置坐標(biāo)為。（3）將速度分解為水平向右的和水平向左的，且有，此時(shí)將粒子的運(yùn)動(dòng)分解為水平向右的速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)與速度為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有由于粒子軌跡恰好與x軸負(fù)半軸相切，則有結(jié)合上述解得例5．（2025高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體區(qū)域內(nèi)，平面的左邊有垂直平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)、右邊有垂直平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)。現(xiàn)有電量為、質(zhì)量為的一個(gè)粒子以大小為的初速度從點(diǎn)沿平面進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)點(diǎn)并垂直平面的方向進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，最后從點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)。已知長(zhǎng)方體側(cè)面為邊長(zhǎng)為的正方形，其它邊長(zhǎng)如圖中標(biāo)示，，不計(jì)粒子重力。(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度的比值；(2)求帶電粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比值；(3)若只改變電場(chǎng)強(qiáng)度大小，試討論：粒子離開(kāi)長(zhǎng)方體區(qū)域時(shí)動(dòng)能與的關(guān)系式。【答案】(1)(2)(3)時(shí)，粒子離開(kāi)長(zhǎng)方體區(qū)域時(shí)動(dòng)能；時(shí)，粒子離開(kāi)長(zhǎng)方體區(qū)域時(shí)動(dòng)能【詳解】（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示由幾何知識(shí)得解得粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得解得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，沿初速度方向沿電場(chǎng)方向解得磁感應(yīng)強(qiáng)度B和電場(chǎng)強(qiáng)度E的比值（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為，由幾何知識(shí)可知?jiǎng)t粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間帶電粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比值（3）1.當(dāng)時(shí)，粒子從邊射出長(zhǎng)方體，由動(dòng)能定理得解得粒子離開(kāi)長(zhǎng)方體區(qū)域的動(dòng)能2.當(dāng)時(shí)粒子從離開(kāi)長(zhǎng)方體區(qū)域，粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)。沿初速度方向沿電場(chǎng)方向粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理得解得當(dāng)時(shí)，粒子離開(kāi)長(zhǎng)方體區(qū)域時(shí)動(dòng)能；當(dāng)時(shí)，粒子離開(kāi)長(zhǎng)方體區(qū)域時(shí)動(dòng)能。【變式演練】1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）空間直角坐標(biāo)系如圖所示，在、的區(qū)域內(nèi)存在沿軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為（未知）；在、的區(qū)域內(nèi)存在沿軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（未知）；在、的區(qū)域內(nèi)存在沿軸正方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為、電荷量為的帶正電粒子在的平面內(nèi)由軸上的點(diǎn)沿與軸正方向成角的方向射入電場(chǎng)區(qū)域，粒子由軸上的點(diǎn)沿軸正方向以大小為的速度射入、區(qū)域，粒子經(jīng)該磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，沿與軸正方向成角的方向射入平面下方。不計(jì)粒子的重力。求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；(3)粒子經(jīng)點(diǎn)后第三次穿過(guò)平面時(shí)的位置坐標(biāo)。【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）粒子由軸上的點(diǎn)沿軸正方向射入、區(qū)域，則粒子通過(guò)點(diǎn)時(shí)沿軸正方向的速度減為0，設(shè)粒子在點(diǎn)處沿軸正方向的分速度大小為，則有設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為，則有又有解得（2）設(shè)粒子在、區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為，粒子沿與軸正方向成角的方向射入平面下方，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系可得解得由洛倫茲力提供向心力有解得（3）粒子第一次穿過(guò)平面時(shí)，將粒子的速度沿軸正方向和軸負(fù)方向分解，可知粒子在沿軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)在平面下方做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期后再次到達(dá)平面，然后在平面上方做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)個(gè)周期后第三次到達(dá)平面。粒子第一次穿過(guò)平面時(shí)，在軸上的坐標(biāo)為設(shè)粒子在平面下方做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為，則有解得由、可得粒子在平面下方運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，沿軸正方向前進(jìn)的距離粒子第二次穿過(guò)平面到第三次穿過(guò)平面的時(shí)間內(nèi)沿軸正方向前進(jìn)的距離則粒子第三次穿過(guò)平面時(shí)在軸上的坐標(biāo)為粒子第三次穿過(guò)平面時(shí)，在軸上的坐標(biāo)為故粒子第三次穿過(guò)平面時(shí)的位置坐標(biāo)為。2．（2025高三上·廣西貴港·階段練習(xí)）如圖所示，空間有一棱長(zhǎng)為的正方體區(qū)域，帶電粒子從平行于棱且與共面的線狀粒子源連續(xù)不斷地逸出，逸出粒子的初速度為，粒子質(zhì)量為，電荷量為，經(jīng)垂直于棱的水平電場(chǎng)加速后，粒子以一定的水平初速度從段（S為的中點(diǎn)）垂直進(jìn)入正方體區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域內(nèi)有垂直平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，從點(diǎn)射入的粒子恰好從點(diǎn)射出。忽略粒子間的相互作用，不計(jì)粒子重力。(1)求線狀粒子源處與正方體段之間的電勢(shì)差；(2)若該區(qū)域內(nèi)只有垂直平面向外的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，已知從S點(diǎn)射入的粒子從邊上的某點(diǎn)射出，求該點(diǎn)距點(diǎn)的距離；(3)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，，分別為，，軸的正方向，若該區(qū)域內(nèi)同時(shí)存在上述磁場(chǎng)與電場(chǎng)，通過(guò)計(jì)算判斷從點(diǎn)進(jìn)入的粒子，離開(kāi)該區(qū)域時(shí)的坐標(biāo)和速度大小。【答案】(1)(2)(3)，【詳解】（1）從點(diǎn)射入的粒子恰好從點(diǎn)射出的軌跡為圓周，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為，則進(jìn)入正方體之前被電場(chǎng)加速的過(guò)程解得（2）粒子在該區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解為垂直于方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和平行于方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可得垂直于方向平行于方向解得（3）該區(qū)域內(nèi)同時(shí)存在上述磁場(chǎng)與電場(chǎng)時(shí)，從S點(diǎn)進(jìn)入的粒子在正方體區(qū)域內(nèi)做不等距螺旋線運(yùn)動(dòng)，可將其運(yùn)動(dòng)分解為沿方向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，和平行于平面的線速度為，半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。分運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期假設(shè)粒子可完成個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，則粒子在方向的位移為解得假設(shè)成立，且該粒子在邊射出，射出坐標(biāo)為離開(kāi)該區(qū)域時(shí)沿方向的速度為解得3．（2025高三上·甘肅白銀·期中）如圖所示，空間中有坐標(biāo)系，平面水平，y軸沿豎直方向。在O處有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為的小球（可視為點(diǎn)電荷），不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。(1)若在空間中存在著沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小，將小球沿y軸正方向以速度拋出，求小球落回x軸前動(dòng)能的最小值；(2)若在的空間中存在著正交的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，其中勻強(qiáng)電場(chǎng)沿y軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度大小，勻強(qiáng)磁場(chǎng)沿z軸負(fù)方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。小球以初速度從O點(diǎn)拋出，速度方向在平面內(nèi)且偏向上方，與x軸正方向成α角（），改變?chǔ)恋拇笮。啻伟l(fā)射小球后，求小球在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中可能的運(yùn)動(dòng)軌跡所覆蓋的面積；(3)若在區(qū)域存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，在區(qū)域存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，小球從O點(diǎn)沿x軸正方向以大小為的速度拋出，求小球從拋出到再次經(jīng)過(guò)y軸所用的時(shí)間及經(jīng)過(guò)y軸時(shí)到O點(diǎn)的距離。（忽略磁場(chǎng)的邊界效應(yīng)）【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由于可知小球受到的電場(chǎng)力與重力大小相等，所以電場(chǎng)力與重力的合力大小方向與x軸負(fù)方向的夾角為45°，小球的運(yùn)動(dòng)可以看成類(lèi)斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球的速度與合力垂直時(shí)，速度最小，動(dòng)能最小，此時(shí)有，，聯(lián)立可得則最小速度大小動(dòng)能的最小值（2）因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度大小電場(chǎng)沿y軸正方向，所以重力和電場(chǎng)力平衡，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有解得小球在x軸正方向運(yùn)動(dòng)軌跡可能覆蓋的面積是半個(gè)圓，在x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)軌跡可能覆蓋的面積是以2R為半徑的四分之一圈，如圖中陰影部分所示則所求總面積（3）小球在平面兩側(cè)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)可得小球在兩個(gè)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為，周期分別為，小球在每個(gè)磁場(chǎng)中各完成半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)入另一個(gè)磁場(chǎng)，則在的時(shí)間內(nèi)沿z軸移動(dòng)的距離則有可得則小球從拋出到再次經(jīng)過(guò)y軸所用的時(shí)間小球在y軸方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，從拋出到再次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)，其到O點(diǎn)的距離4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）工程師在制做芯片的過(guò)程中，需要用電磁場(chǎng)精準(zhǔn)控制粒子的軌跡。如圖所示，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，一粒子源不斷釋放質(zhì)量為m，電量為的帶正電粒子，初速度視為零，經(jīng)過(guò)加速電壓U后，以一定速度恰好沿著半徑為R的圓弧軌跡通過(guò)輻射狀電場(chǎng)，接著垂直平面射入棱長(zhǎng)為L(zhǎng)的正立方體區(qū)域，入射位置可調(diào)節(jié)，不計(jì)粒子重力及其相互作用。（1）求輻射狀電場(chǎng)中離子運(yùn)動(dòng)軌跡處電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；（2）若僅在正方體區(qū)域中加上沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，讓粒子對(duì)準(zhǔn)MN邊中點(diǎn)H入射，電量為q的粒子恰好在邊射出。若使所有粒子都能到達(dá)平面內(nèi)的區(qū)域，求所加磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小及n的最大值；（3）若在正方體區(qū)域中同時(shí)加上沿x軸正方向場(chǎng)強(qiáng)為的勻強(qiáng)電場(chǎng)和（2）中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，讓粒子對(duì)準(zhǔn)平面中心點(diǎn)入射，求電量為q的粒子離開(kāi)正方體區(qū)域時(shí)的坐標(biāo)（結(jié)果保留根式和）。【答案】（1）；（2），；（3）（，，）【詳解】（1）粒子經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)后速度為，根據(jù)動(dòng)能定理有解得在輻射狀電場(chǎng)中滿足解得（2）由（1）問(wèn)可知，帶電量為的粒子進(jìn)入正方體區(qū)域的速度為電量為q的粒子恰好在邊射出，由幾何關(guān)系可得由洛倫茲力提供向心力得解得帶電量為的粒子進(jìn)入正方體區(qū)域的速度為由洛倫茲力提供向心力得可得當(dāng)最大時(shí)，有最小值，若使所有粒子都能到達(dá)平面內(nèi)的區(qū)域，則的最小值為解得的最大值為（3）由題可知，粒子在平行于的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，而在方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)電量為的粒子，，若不考慮方向的勻加速運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知偏轉(zhuǎn)角為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為則粒子在區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為在方向，粒子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有則粒子會(huì)從出射；離開(kāi)時(shí)，在軸方向的坐標(biāo)為根據(jù)幾何關(guān)系，在軸方向的坐標(biāo)為在軸方向的坐標(biāo)為所以，粒子離開(kāi)時(shí)的坐標(biāo)為（，，）。5．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示建立空間坐標(biāo)系O-xyz，其中x方向水平向右，z方向垂直于紙面向外，三個(gè)無(wú)限大且與x軸垂直的平面與x軸依次交于O、M、N三點(diǎn)，相鄰兩點(diǎn)間的距離均為d，三個(gè)平面將空間劃分成不同的區(qū)域，在0<x<d區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E1，在d<x<2d區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1，在2d<x的區(qū)域Ⅲ內(nèi)存在方向均水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E2和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2所組成的復(fù)合場(chǎng)。一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從距離O點(diǎn)正上方的H點(diǎn)處，以速度v0水平向右射入?yún)^(qū)域Ⅰ，經(jīng)過(guò)M點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，經(jīng)過(guò)N點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ（重力忽略不計(jì)）。已知區(qū)域Ⅰ、Ⅲ的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等（未知），區(qū)域Ⅱ、Ⅲ的磁感強(qiáng)度大小相等（未知），求：（1）區(qū)域Ⅰ內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度E1大小；（2）區(qū)域Ⅱ內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1大小；（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，粒子第n（n=1，2，3，…）次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)，粒子距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離L。【答案】（1）；（2）；（3）其中n=2，3，4……【詳解】（1）粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則解得電場(chǎng)強(qiáng)度E1大小（2）粒子到M點(diǎn)的豎直速度解得即粒子從M射入?yún)^(qū)域Ⅱ內(nèi)的速度方向與x軸正向成45°角，速度大小為粒子從N點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ，則做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑根據(jù)可得（3）粒子從N點(diǎn)以與x軸正向成45°角進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ，沿x方向以速度為初速度做加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在yoz平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為則經(jīng)過(guò)一個(gè)周期沿x軸方向運(yùn)動(dòng)的距離（此時(shí)粒子第3次經(jīng)過(guò)x軸）此時(shí)粒子距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離經(jīng)過(guò)二個(gè)周期沿x軸方向運(yùn)動(dòng)的距離（此時(shí)粒子第4次經(jīng)過(guò)x軸）此時(shí)粒子距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離同理可計(jì)算粒子第5次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離…….則粒子第n次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離其中n=2，3，4……6．（2024·廣東·二模）如圖所示，以長(zhǎng)方體abcd-a′b′c′d′的ad邊中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)、ad方向?yàn)閤軸正方向、a′a方向?yàn)閥軸正方向、ab方向?yàn)閦軸正方向建立Oxyz坐標(biāo)系，已知Oa=ab=aa′=L。長(zhǎng)方體中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從O點(diǎn)沿z軸正方向以初速度v射入磁場(chǎng)中，恰好從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)。（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；（2）若在長(zhǎng)方體中加上沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，讓粒子仍從O點(diǎn)沿z軸正方向以初速度v射磁場(chǎng)中，為使粒子能從a′點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求電場(chǎng)強(qiáng)度E1的大小；（3）若在長(zhǎng)方體中加上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為、方向沿z軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，該粒子仍從O點(diǎn)沿z軸正方向以初速度v射入磁場(chǎng)中，求粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與O點(diǎn)的距離s。【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）粒子在平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖中軌跡1所示由洛倫茲力提供向心力可得由幾何關(guān)系可得解得（2）粒子在長(zhǎng)方體中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為在軸方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有又解得（3）將初速度分解為、，使對(duì)應(yīng)的洛倫茲力恰好與電場(chǎng)力平衡，即其中解得，易知與軸正方向的夾角為若僅在對(duì)應(yīng)的洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即則軌道半徑解得該分運(yùn)動(dòng)的情況如圖中軌跡2所示。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為由于粒子也參與速度大小為、方向沿軸正方向的勻速運(yùn)動(dòng)，粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與點(diǎn)的距離解得7．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）在如圖所示的三維空間中，的區(qū)域存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在x>0區(qū)域內(nèi)存在半圓柱體空間區(qū)域，半圓柱沿y軸方向足夠高，該區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，平面在yOz平面內(nèi)，D點(diǎn)（0，0，0）為半圓柱體底面圓心，半圓柱體的半徑為。一質(zhì)量為m、電荷量為的帶電粒子，從A點(diǎn)（-L，0，0）以初速度大小，方向沿著x軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)（0，L，0）后進(jìn)入半圓柱體磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子的重力。求：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；（2）帶電粒子在半圓柱體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）帶電粒子從半圓柱體射出時(shí)的位置坐標(biāo)。【答案】（1）；（2）；（3）（，，）【詳解】（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有，根據(jù)牛頓第二定律聯(lián)立解得（2）在磁場(chǎng)中，粒子的運(yùn)動(dòng)可以分解為垂勻速圓周運(yùn)動(dòng)和沿正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直磁場(chǎng)方向，根據(jù)洛倫茲力提供向心力解得如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期則帶電粒子在半圓柱體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間聯(lián)立解得（3）在磁場(chǎng)中，沿著軸正方向的速度大小軸方向軸方向軸方向帶電粒子從半圓柱體射出時(shí)的位置坐標(biāo)為（，，）。8．（2024·吉林·二模）如圖所示，在三維坐標(biāo)系中，平面左側(cè)區(qū)域有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；平面右側(cè)與垂直于y軸足夠大的熒光屏之間的區(qū)域有沿y軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，熒光屏與y軸交點(diǎn)位置的坐標(biāo)為。一質(zhì)量為m、電荷量為的粒子從坐標(biāo)為的P點(diǎn)以大小為的初速度沿z軸負(fù)方向射出，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，再經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后擊中熒光屏，粒子再次經(jīng)過(guò)y軸的位置離O點(diǎn)距離為，不計(jì)粒子的重力。求：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；（2）粒子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)及勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；（3）若在平面與熒光屏之間的區(qū)域加上一平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，要使粒子仍打在熒光屏上（2）問(wèn)中所求的位置，則所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件。【答案】（1）；（2）（，，0），；（3）見(jiàn)解析【詳解】（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng),根據(jù)題意根據(jù)牛頓第二定律解得（2）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)速度大小為，根據(jù)動(dòng)能定理解得設(shè)與軸負(fù)方向的夾角為，則解得粒了從點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，沿平行y軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小在平行平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小為設(shè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，根據(jù)題意設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為則粒子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)為（，，0），由牛頓第二定律解得（3）若所加電場(chǎng)方向沿y軸正方向，則粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則解得若所加電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，如果粒子做勻減速運(yùn)動(dòng)到熒光屏速度剛好為零時(shí)，由解得由此可知，要使粒子仍打在熒光屏上（2）問(wèn)中所求位置，則粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則解得9．（2025高三下·重慶南岸·階段練習(xí)）利用電場(chǎng)與磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，在現(xiàn)代科學(xué)實(shí)驗(yàn)和技術(shù)設(shè)備中有著廣泛的應(yīng)用。如圖，一粒子源不斷釋放質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子，以一定速度垂直左面，射入邊長(zhǎng)為2L的正方體區(qū)域。可調(diào)整粒子源位置，使帶電粒子在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形區(qū)域內(nèi)入射。以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。若僅在正方體區(qū)域中加上沿+x軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，要讓所有粒子都到達(dá)前表面，所加電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值設(shè)為；若僅在正方體區(qū)域中加上沿+x軸方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要讓所有粒子都到達(dá)底面，所加磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值設(shè)為。（）（1）求和的值。（2）在正方體區(qū)域同時(shí)加上沿+x軸方向大小為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和+z方向大小為的勻強(qiáng)電場(chǎng)，求從I點(diǎn)垂直左面入射的粒子離開(kāi)正方體區(qū)域時(shí)的位置坐標(biāo)。（3）在正方體區(qū)域同時(shí)加上大小分別為的勻強(qiáng)電場(chǎng)及的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向都沿+x軸。若垂直入射到區(qū)域內(nèi)不同位置的粒子，有的從前表面離開(kāi)正方體區(qū)域，有的從底面離開(kāi)正方體區(qū)域，則應(yīng)滿足什么條件？【答案】（1）；（2）（，，）；（3）見(jiàn)解析【詳解】（1）正方體區(qū)域內(nèi)加上沿MN的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，粒子進(jìn)入正方體區(qū)域后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)射入M點(diǎn)的粒子恰好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，所加的勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度具有最小值，則聯(lián)立知，電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值當(dāng)正方體區(qū)域內(nèi)加上沿MN方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，粒子進(jìn)入正方體區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)射入M點(diǎn)的粒子恰好經(jīng)過(guò)Q時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度具有最小值，此時(shí)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=2L由牛頓第二定律解得磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值（2）當(dāng)時(shí)取可見(jiàn)粒子以v向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以v順時(shí)針?lè)较蛟谪Q直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其軌道半徑假設(shè)從上表面離開(kāi)，則解得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間沿+y方向運(yùn)動(dòng)，則解得y=1.52L<2L可見(jiàn)假設(shè)成立，離開(kāi)位置坐標(biāo)為(L,1.52L,2L)（3）x軸方向獲得的速度平行于磁場(chǎng)方向，不受洛倫茲力，粒子沿+x方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直x軸平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，半徑加速度當(dāng)從J點(diǎn)入射粒子恰好從前面離開(kāi)對(duì)應(yīng)的，則解得當(dāng)從H點(diǎn)入射粒子恰好從底邊離開(kāi)時(shí)解得可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，粒子全部從前面離開(kāi);當(dāng)時(shí)，粒子全部從底面離開(kāi)；當(dāng)時(shí)。兩個(gè)表面均勻粒子離開(kāi)。10．（2025高三上·廣西·階段練習(xí)）在工程師制做芯片的過(guò)程中，需要用電磁場(chǎng)精準(zhǔn)控制粒子的軌跡。如圖所示，以M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系M?xyz。質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，初速度可視為零，經(jīng)過(guò)電壓為U的電場(chǎng)加速后，以恰好沿著半徑為R的圓弧軌跡通過(guò)輻射狀電場(chǎng)，接著垂直平面MNN1M1對(duì)準(zhǔn)MNN1M1面中點(diǎn)I射入邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正立方體區(qū)域，正方體區(qū)域中存在一沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（含邊界），不計(jì)粒子重力及其相互作用。(1)求輻射狀電場(chǎng)中粒子在圓弧軌跡處電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；(2)若使粒子都能到達(dá)xMy平面內(nèi)的MNPQ區(qū)域，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍。【答案】(1)(2)【詳解】（1）粒子經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理可得解得在輻射狀電場(chǎng)中，由電場(chǎng)力提供向心力得解得（2）若電量為q的粒子恰好在PQ邊射出，由幾何關(guān)系可得在磁場(chǎng)中的軌跡半徑滿足解得由洛倫茲力提供向心力得解得若電量為q的粒子恰好在MN邊射出，由幾何關(guān)系可得在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為由洛倫茲力提供向心力得解得故磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為1．（2024·北京·高考真題）我國(guó)“天宮”空間站采用霍爾推進(jìn)器控制姿態(tài)和修正軌道。圖為某種霍爾推進(jìn)器的放電室（兩個(gè)半徑接近的同軸圓筒間的區(qū)域）的示意圖。放電室的左、右兩端分別為陽(yáng)極和陰極，間距為d。陰極發(fā)射電子，一部分電子進(jìn)入放電室，另一部分未進(jìn)入。穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，可視為放電室內(nèi)有方向沿軸向向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為E和；還有方向沿半徑向外的徑向磁場(chǎng)，大小處處相等。放電室內(nèi)的大量電子可視為處于陽(yáng)極附近，在垂直于軸線的平面繞軸線做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如截面圖所示），可與左端注入的氙原子碰撞并使其電離。每個(gè)氙離子的質(zhì)量為M、電荷量為，初速度近似為零。氙離子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速，最終從放電室右端噴出，與陰極發(fā)射的未進(jìn)入放電室的電子剛好完全中和。已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為；對(duì)于氙離子，僅考慮電場(chǎng)的作用。（1）求氙離子在放電室內(nèi)運(yùn)動(dòng)的加速度大小a；（2）求徑向磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；（3）設(shè)被電離的氙原子數(shù)和進(jìn)入放電室的電子數(shù)之比為常數(shù)k，單位時(shí)間內(nèi)陰極發(fā)射的電子總數(shù)為n，求此霍爾推進(jìn)器獲得的推力大小F。【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）對(duì)于氙離子，僅考慮電場(chǎng)的作用，則氙離子在放電室時(shí)只受電場(chǎng)力作用，由牛頓第二定律解得氙離子在放電室內(nèi)運(yùn)動(dòng)的加速度大小（2）電子在陽(yáng)極附近在垂直于軸線的平面繞軸線做半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則軸線方向上所受電場(chǎng)力與徑向磁場(chǎng)給的洛侖茲力平衡，沿著軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)給的洛侖茲力提供向心力，即，解得徑向磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（3）單位時(shí)間內(nèi)陰極發(fā)射的電子總數(shù)為n，被電離的氙原子數(shù)和進(jìn)入放電室的電子數(shù)之比為常數(shù)k，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入放電室的電子數(shù)為，則未進(jìn)入的電子數(shù)為，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)被電離的氙離子數(shù)為,則有已知氙離子數(shù)從放電室右端噴出后與未進(jìn)入放電室的電子剛好完全中和，則有聯(lián)立可得單位時(shí)間內(nèi)被電離的氙離子數(shù)為氙離子經(jīng)電場(chǎng)加速，有時(shí)間內(nèi)氙離子所受到的作用力為，由動(dòng)量定理有解得由牛頓第三定律可知，霍爾推進(jìn)器獲得的推力大小則2．（2024·湖南·高考真題）如圖，有一內(nèi)半徑為2r、長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓筒，左右端面圓心O′、O處各開(kāi)有一小孔。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取O′O方向?yàn)閤軸正方向建立xyz坐標(biāo)系。在筒內(nèi)x≤0區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向沿x軸正方向；筒外x≥0區(qū)域有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿y軸正方向。一電子槍在O′處向圓筒內(nèi)多個(gè)方向發(fā)射電子，電子初速度方向均在xOy平面內(nèi)，且在x軸正方向的分速度大小均為v0。已知電子的質(zhì)量為m、電量為e，設(shè)電子始終未與筒壁碰撞，不計(jì)電子之間的相互作用及電子的重力。（1）若所有電子均能經(jīng)過(guò)O進(jìn)入電場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值；（2）取（1）問(wèn)中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，若進(jìn)入磁場(chǎng)中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為θ，求tanθ的絕對(duì)值；（3）取（1）問(wèn)中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，求電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)y軸正方向的最大位移。【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，將其分解為沿x軸的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在yOz平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子入射時(shí)沿y軸的分速度大小為，由電子在x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)得在yOz平面內(nèi)，設(shè)電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T(mén)，由牛頓第二定律知可得且由題意可知所有電子均能經(jīng)過(guò)O進(jìn)入電場(chǎng)，則有聯(lián)立得當(dāng)時(shí)，B有最小值，可得（2）將電子的速度分解，如圖所示有當(dāng)有最大值時(shí)，最大，R最大，此時(shí)，又，聯(lián)立可得，（3）當(dāng)最大時(shí)，電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)沿y軸正方向有最大位移，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有由牛頓第二定律知又聯(lián)立得3．（2022·山東·高考真題）中國(guó)“人造太陽(yáng)”在核聚變實(shí)驗(yàn)方面取得新突破，該裝置中用電磁場(chǎng)約束和加速高能離子，其部分電磁場(chǎng)簡(jiǎn)化模型如圖所示，在三維坐標(biāo)系中，空間內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)I，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向沿x軸正方向；，的空間內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)II，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向平行于平面，與x軸正方向夾角為；，的空間內(nèi)充滿沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。質(zhì)量為m、帶電量為的離子甲，從平面第三象限內(nèi)距軸為的點(diǎn)以一定速度出射，速度方向與軸正方向夾角為，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)沿軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)I。不計(jì)離子重力。（1）當(dāng)離子甲從點(diǎn)出射速度為時(shí)，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；（2）若使離子甲進(jìn)入磁場(chǎng)后始終在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度；（3）離子甲以的速度從點(diǎn)沿軸正方向第一次穿過(guò)面進(jìn)入磁場(chǎng)I，求第四次穿過(guò)平面的位置坐標(biāo)（用d表示）；（4）當(dāng)離子甲以的速度從點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)I時(shí)，質(zhì)量為、帶電量為的離子乙，也從點(diǎn)沿軸正方向以相同的動(dòng)能同時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)I，求兩離子進(jìn)入磁場(chǎng)后，到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間差（忽略離子間相互作用）。【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）【詳解】（1）如圖所示將離子甲從點(diǎn)出射速度為分解到沿軸方向和軸方向，離子受到的電場(chǎng)力沿軸負(fù)方向，可知離子沿軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿軸方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，從到的過(guò)程，有聯(lián)立解得（2）離子從坐標(biāo)原點(diǎn)沿軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)I中，在磁場(chǎng)I中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)I偏轉(zhuǎn)后從軸進(jìn)入磁場(chǎng)II中，繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示由洛倫茲力提供向心力可得，可得為了使離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則離子磁場(chǎng)I運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能從磁場(chǎng)I上方穿出。在磁場(chǎng)II運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能xOz平面穿出，則離子在磁場(chǎng)用運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑需滿足，聯(lián)立可得要使離子甲進(jìn)入磁場(chǎng)后始終在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度為；（3）離子甲以的速度從點(diǎn)沿z軸正方向第一次穿過(guò)面進(jìn)入磁場(chǎng)I，離子在磁場(chǎng)I中的軌跡半徑為離子在磁場(chǎng)II中的軌跡半徑為離子從點(diǎn)第一次穿過(guò)到第四次穿過(guò)平面的運(yùn)動(dòng)情景，如圖所示離子第四次穿過(guò)平面的坐標(biāo)為離子第四次穿過(guò)平面的坐標(biāo)為故離子第四次穿過(guò)平面的位置坐標(biāo)為（d，d，）。（4）設(shè)離子乙的速度為，根據(jù)離子甲、乙動(dòng)能相同，可得可得離子甲、離子乙在磁場(chǎng)I中的軌跡半徑分別為，離子甲、離子乙在磁場(chǎng)II中的軌跡半徑分別為，根據(jù)幾何關(guān)系可知離子甲、乙運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)在離子乙第一次穿過(guò)x軸的位置，如圖所示從點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到第一個(gè)交點(diǎn)的過(guò)程，有可得離子甲、乙到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間差為4．（2020·山東·高考真題）某型號(hào)質(zhì)譜儀的工作原理如圖甲所示。M、N為豎直放置的兩金屬板，兩板間電壓為U，Q板為記錄板，分界面P將N、Q間區(qū)域分為寬度均為d的I、Ⅱ兩部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b為M、N上兩正對(duì)的小孔。以a、b所在直線為z軸，向右為正方向，取z軸與Q板的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于Q板水平向里為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。區(qū)域I、Ⅱ內(nèi)分別充滿沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、電場(chǎng)強(qiáng)度大小分別為B和E。一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子，從a孔飄入電場(chǎng)（初速度視為零），經(jīng)b孔進(jìn)入磁場(chǎng)，過(guò)P面上的c點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）進(jìn)入電場(chǎng)，最終打到記錄板Q上。不計(jì)粒子重力。（1