階段拔尖專訓(xùn)1二次函數(shù)中的取值范圍問題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作線段MN∥OC(點(diǎn)N在直線BC下方)，已知MN＝2，若線段MN與拋物線有交點(diǎn)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含a的式子表示)；(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)是________，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________，拋物線C2的表達(dá)式是____________；(－2，1)(2，－1)(2)若直線y＝m與拋物線C1、C2均有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．【解】觀察圖象可知，當(dāng)直線y＝m與拋物線C1、C2均有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線y＝m在點(diǎn)P，Q之間，即－1＜m＜1.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象如圖所示．(1)請(qǐng)根據(jù)圖象信息求該二次函數(shù)的表達(dá)式；【解】由圖象可知二次函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，0)，(3，0)，(0，3)，∴可設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x－1)(x－3)，將(0，3)代入，得3＝3a，解得a＝1，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3.【解】將該圖象(x＞0的部分)沿y軸翻折，易知翻折后的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y＝x2＋4x＋3(x<0)，圖象G如圖所示．5．如圖，已知拋物線L：y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E.(1)求拋物線L的表達(dá)式；(2)將拋物線L向上平移h個(gè)單位，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)(包括△OAE的邊界)，求h的取值范圍．【解】由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，得拋物線L的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，∴拋物線L向上平移h個(gè)單位后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1＋h)．如圖，設(shè)直線x＝2交OE于點(diǎn)M，交AE于點(diǎn)N，則易得N(2，3)．∵OE平分∠AOB，∴∠AOE＝∠BOE.∵AC∥x軸，∴∠AEO＝∠BOE.∵∠AOE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠AEO，∴AE＝OA，易知OA＝3，∴AE＝3，∴E(3，3)，∴易得直線OE的表達(dá)式為y＝x，∴M(2，2)．∵點(diǎn)(2，－1＋h)在△OAE內(nèi)(包括△OAE的邊界)，∴2≤－1＋h≤3，解得3≤h≤4.6．[2024邯鄲模擬]如圖，已知拋物線L的對(duì)稱軸為直線x＝6，函數(shù)的最大值為4，且點(diǎn)P(7，3)在L上．(1)求拋物線L的表達(dá)式；【解】由題意得拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，4)，∴可設(shè)拋物線L的表達(dá)式為y＝a(x－6)2＋4，把點(diǎn)P(7，3)的坐標(biāo)代入，得3＝a(7－6)2＋4，解得a＝－1，∴拋物線L的表達(dá)式為y＝－(x－6)2＋4.(2)坐標(biāo)平面上放置一透明矩形膠片ABCD，其中A(10，－5)，B(10，0)，C(2，0)．向右平移該膠片m(m＞0)個(gè)單位，當(dāng)L落在膠片內(nèi)部(不含邊界)的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍．【解】如圖，設(shè)拋物線L與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與DA交于點(diǎn)G，H.當(dāng)y＝0時(shí)，即－(x－6)2＋4＝0，解得x1＝4，x2＝8，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4.當(dāng)y＝－5時(shí)，即－(x－6)2＋4＝－5，解得x1＝3，x2＝9，∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為9.∵向右平移后L落在膠片內(nèi)部(不含邊界)的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴平移后CD在E點(diǎn)右側(cè)，在H點(diǎn)左側(cè)，或點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．∵C(2，0)，∴4≤2＋m＜9，即2≤m＜7.7．[2024湖北改編]如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋3與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求b的值；【解】∵拋物線y＝－x2＋bx＋3與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，∴0＝－1－b＋3，解得b＝2.(2)如圖②，將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點(diǎn)N，設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，NC的長為d.①求d關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與△ABC內(nèi)部重合的區(qū)域(不含邊界)記為W，當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線y＝ax2－2ax＋2a(a為常數(shù)且a＞0)與y軸交于點(diǎn)A.(1)若a＝1，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；【解】當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)．(2)若線段OA(含端點(diǎn))上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3且小于6，求a的取值范圍；【解】當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2a，即拋物線與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2a)．∵線段OA(含端點(diǎn))上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3且小于6，即“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4或5，而a＞0，∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4時(shí)，這4個(gè)“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)分別為(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(3)若拋物線與直線y＝x交于M，N兩點(diǎn)，線段MN與拋物線圍成的區(qū)域(含邊界)內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍