第26章

二次函數(shù)專(zhuān)題1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的常見(jiàn)類(lèi)型1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)2345671．[2024金華期末]已知二次函數(shù)y＝－x2＋6x－5，記x在某個(gè)范圍取值時(shí)，函數(shù)y的最小值為y1，最大值為y2，令M＝y(tǒng)2－y1，回答以下問(wèn)題：(1)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求M的值；【解】由題意得，y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，且當(dāng)x＝3時(shí)，y取最大值為4，當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小．(1)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y取最小值為y1＝－5；當(dāng)x＝3時(shí)，y取最大值為y2＝4.∴M＝y(tǒng)2－y1＝4－(－5)＝9.(2)當(dāng)0≤x≤a，M＝9時(shí)，求a的取值范圍；【解】∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，則當(dāng)a＝6時(shí)，y＝－5.當(dāng)0≤a＜3時(shí)，y的最小值是－5，即y1＝－5.且當(dāng)x＝a時(shí)，y取最大值，最大值小于4，即y2<4，∴此時(shí)M小于9，不符合題意．當(dāng)3≤a≤6時(shí)，此時(shí)0≤x≤a，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y取最小值為y1＝－5；當(dāng)x＝3時(shí)，y取最大值為y2＝4，∴M＝y(tǒng)2－y1＝9，符合題意．當(dāng)a＞6時(shí)，此時(shí)0≤x≤a，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y取最大值為y2＝4；當(dāng)x＝a時(shí)，y取最小值，最小值小于－5，即y1<－5.∴M＞9，不符合題意．綜上，a的取值范圍是3≤a≤6.(3)當(dāng)b≤x≤b＋3，M＝3b時(shí)，求b的值．【解】易知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝3.①當(dāng)b≥3時(shí)，在b≤x≤b＋3的情況下，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝b時(shí)，y取最大值為y2＝－(b－3)2＋4，當(dāng)x＝b＋3時(shí)，y取最小值為y1＝－(b＋3－3)2＋4＝－b2＋4，∴M＝y(tǒng)2－y1＝b2－(b－3)2＝6b－9＝3b.∴b＝3.返回2．[2024滄州期中]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，(－1，m)，(2，n)是拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)上的兩點(diǎn)．(1)若m＝c，求該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；(2)若點(diǎn)(－2，y1)，(1，y2)，(4，y3)在拋物線(xiàn)上，且m＜n＜c，請(qǐng)比較y1，y2，y3的大小，并說(shuō)明理由．【解】y2>y1>y3.理由：由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝t，∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(－1，m)，(0，c)，(2，n)，且m＜n＜c，且a＜0，∴|t|＜|t－2|＜|t＋1|.∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴當(dāng)點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸越近時(shí)，函數(shù)值越大．∴y2＞y1＞y3.返回3．[2024安慶期末]已知拋物線(xiàn)y＝ax2－2x＋3a過(guò)點(diǎn)C(3，6)．(1)求a的值；【解】把點(diǎn)C(3，6)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y＝ax2－2x＋3a，得6＝9a－6＋3a，解得a＝1.(2)求該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；【解】把a(bǔ)＝1代入拋物線(xiàn)y＝ax2－2x＋3a，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)．(3)當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，直接寫(xiě)出y的取值范圍．【解】當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，y的取值范圍為2≤y≤6.返回4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M(m，y1)，N(m＋2，y2)是拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上的兩點(diǎn)．設(shè)該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝t.(1)若對(duì)于m＝1，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；(2)若對(duì)于1＜m＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．返回返回6．[2024滄州一模]設(shè)二次函數(shù)y1，y2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a，b)，(c，d)，若a＝2c，b＝2d，且兩圖象的開(kāi)口方向相同，則稱(chēng)y1是y2的“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”．(1)寫(xiě)出二次函數(shù)y＝x2＋x＋1的一個(gè)“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”；返回(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝x2＋nx和二次函數(shù)y2＝x2＋3nx＋1，若y1＋y2是y1的“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”，求n的值．7．[2024昭通模擬]已知拋物線(xiàn)y＝x2－(a＋2)x＋2a＋1.(1)若a＝2，求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；【解】∵a＝2，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為

y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)．(2)若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(－1，y0)，且對(duì)于拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)(x1，y1)都有y1≥y0，若A(m，n)，B(2－m，p)是這條拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)，求證：n＋p＞－8.返回∴該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為

y＝x2＋2x－7.∵A(m，n)，B(2－m，p)是這條拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)，∴n＝m2＋2m