第24章

圓24.4直線與圓的位置關系測素質直線與圓的位置關系1BC答案呈現溫馨提示：點擊進入講評2345678910111213BABC934°215°一、選擇題(每題4分，共24分)1.如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是(

)A．相切B．相交C．相離D．平行B返回2．[2024·武漢二模]如果直徑為13cm的圓與一條直線有兩個公共點，那么圓心到該直線的距離d滿足(

)A．d＝13cmB．d＝6.5cmC．0cm≤d<6.5cmD．d>6.5cm返回C返回【答案】B返回【答案】A【點撥】連接BD，AO，交于點E，過點O作OF⊥CD于點F，過點D作DH⊥BC于點H，如圖所示.設OE＝a，半圓O的半徑為r.∵AB，AD是半圓O的切線，切點分別是B，D，∴OB⊥AB，AD＝AB，∠DAO＝∠BAO.∴點A在BD的垂直平分線上，∠BAD＝2∠BAO.∵OB＝OD，∴點O在BD的垂直平分線上.∴OA是BD的垂直平分線，即OA⊥BD.∵OB＝OC＝r，∴S△COD＝S△BOD.又∵四邊形ABOD的面積是△COD面積的3倍，∴四邊形ABOD的面積是△BOD面積的3倍，返回【答案】B當DB最長時，DB為⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°.∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，∴BD⊥AC，∴易得∠ABD＝∠CBD＝30°，∴在Rt△BCD中，DB＝2DC，故③正確；如圖，延長DA至點E，使AE＝DC，連接BE.∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∴∠BCD＋∠BAD＝180°.又∵∠BAE＋∠BAD＝180°，∴∠BAE＝∠BCD.又∵AB＝BC，AE＝CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD＝BE，∠ABE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠ABE＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD＝∠ABC＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE＝BD.∵DE＝AD＋AE＝AD＋CD，∴DA＋DC＝DB，故④正確；∴正確的結論有3個.故選C.【答案】C返回二、填空題(每題5分，共20分)7．[2023·泰州]小明對《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下，則該城堡的外圍直徑為________里．9【點撥】如圖，⊙O表示圓形城堡，由題意知，AB切⊙O于D，BC切⊙O于C，連接OD，則OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里.返回返回8．[2024·哈爾濱一模]如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C，連接BC，若∠B＝28°，則∠P的度數為________．34°【點撥】∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B＝28°.∴∠AOP＝∠B＋∠OCB＝56°.∵PA切⊙O于點A，∴∠OAP＝90°.∴∠P＝90°－∠AOP＝34°.返回215°9．[2024·安慶模擬]如圖，在⊙O中，Q是⊙O外一點，QA，QB與⊙O相切于A，B兩點，點C，D是⊙O上的兩點．若∠Q＝110°，則∠B＋∠D的度數為________．返回10.如圖，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點B，點C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，則AC的長為________．返回三、解答題(共56分)11．(18分)[2024·撫州校級模擬]如圖，直徑AB⊥弦CD于點E，PD∥AC.(1)求證：AC＝PD；【證明】∵PD∥AC，∴∠A＝∠P.∵直徑AB⊥弦CD于點E，∴CE＝DE，∠CEA＝∠DEP＝90°，∴△CEA≌△DEP(AAS)，∴AC＝PD.返回12．(18分)如圖，直線l與⊙O相切于點D，AB為⊙O的直徑，過點A作AE⊥l于點E，延長AB交直線l于點C.(1)求證：AD平分∠CAE；【證明】連接OD，如圖.∵直線l與⊙O相切于點D，∴OD⊥CE.又∵AE⊥CE，∴OD∥AE.∴∠ODA＝∠EAD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EAD.∴AD平分∠CAE.(2)若BC＝1，DC＝3，求⊙O的半徑．【解】設⊙O的半徑為r，則OB＝OD＝r，∴OC＝r＋1.∵在Rt△OCD中，OD2＋CD2＝OC2，CD＝3，∴r2＋32＝(r＋1)2，解得r＝4，即⊙O的半徑為