階段拔尖專訓7“隱形圓”在解最值中的應用A2．(1)如圖①，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數為(

)A．68°

B．88°

C．90°

D．112°(2)如圖②，點A，B的坐標分別為A(4，0)，B(0，4)，C為坐標平面內一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為________．B3．【問題提出】如圖①，AB為⊙O的一條弦，點C在弦AB所對的優弧上運動時，根據圓周角性質，我們知道∠ACB的度數不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，那么點C是在某個確定的圓上運動．【問題探究】為了驗證猜想，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖②，若AB＝4，線段AB上方一點C滿足∠ACB＝45°，為了畫出點C所在的圓，小芳以AB為底邊構造了一個等腰直角三角形AOB，再以點O為圓心，OA為半徑畫圓，則點C在⊙O上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結論：若線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱為“定弦定角”模型．【模型應用】(1)已知AB＝6，平面內一點C滿足∠ACB＝60°，若點C所在圓的圓心為O，則∠AOB＝________．120°(2)如圖③，已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內部作等腰三角形ABE，其中AB＝AE，過點E作EF⊥AB于點F，若點P是△AEF的內心．①求∠BPE的度數；∵AE＝AB，∠EAP＝∠BAP，AP＝AP，∴△APE≌△APB.∴∠BPA＝∠APE＝135°，∴∠BPE＝360°－∠BPA－∠APE＝90°.②連接CP，若正方形ABCD的邊長為4，求CP的最小值．【解】如圖，作△APB的外接圓⊙Q，連接AQ，BQ，CQ，過Q作QN⊥BC交CB延長線于點N，可知∠APB＝135°，AB＝4，設圓的半徑為r，則CP的最小值即為CQ－r.設優弧AB所對的圓心角為α，∵∠APB＝135°，則α＝270°，∴∠AQB＝90°.∵QA＝QB，∴∠ABQ＝∠BAQ＝45°.4．(1)如圖①，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點P，連接CP，線段CP的最小值為________．

(2)如圖②，在邊長為6的等邊三角形ABC中，點E，F分別是邊AC，BC上的動點，且AE＝CF，連接BE，AF交于點P，連接CP，則CP的最小值為__________．【點撥】∵等邊三角形ABC的邊長為6，∴AC＝BA＝BC＝6，∠ACF＝∠BAE＝60°.又∵CF＝AE，∴△ACF≌△BAE.∴∠CAP＝∠PBA.∴∠EPA＝∠PBA＋∠PAB＝∠CAP＋∠PAB＝∠CAB＝60°.∴∠APB＝120°.∴點P在如圖所示的以O為圓心，OA為半徑的圓上．易知此時∠AOB＝120°，連接CO交⊙O于P′，當點P運動到P′時，CP取得最小值．∵CA＝CB，CO＝CO，OA＝OB，∴△ACO≌△BCO.∴∠ACO＝∠BCO＝30°，∠AOC＝∠BOC＝60°.∴∠CAO＝∠CBO＝90°.5．綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續利用上述結論進行探究．提出問題：如圖①，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠ABC＝∠ADC，那么A，B，C，D四點在同一個圓上嗎？探究展示：求證：A，B，C，D四點在同一個圓上．如圖②，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E(不與A，C重合)，連接AE，CE，則∠AEC＋∠D＝180°.(1)請完善探究展示．【解】完善過程如下：∵∠B＝∠D，∴∠AEC＋∠B＝180°，∴點A，B，C，E四點在同一個圓上，∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上，∴A，B，C，D四點在同一個圓上．(2)如圖③，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數為________．45°拓展探究：(3)如圖④，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D在BC上(不與BC的中點重合)，連接AD.作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于點F，連接AE，DE，CE.①求證：A，D，B，E四點共圓．【證明】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵點E與點C關于AD對稱，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABD，∴由(1)可得A，D，B，E