階段拔尖專訓1旋轉問題中作輔助線的技巧由旋轉的性質，得QC＝PA＝3，∴在△QPC中，PQ2＋QC2＝42＋32＝52＝PC2，∴△QPC為直角三角形，且∠PQC＝90°.∴∠PQC＋∠PQB＝∠BQC＝∠APB＝135°.(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的長．【解】以A為旋轉中心，將線段AD順時針旋轉90°得線段AD′，則AD′⊥AD，AD′＝AD，連接CD′，DD′，如圖②.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，BA＝CA，∴∠BAC＝∠DAD′，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，

即∠BAD＝∠CAD′.2．如圖，在Rt△ABC中，四邊形DECF是正方形．(1)請簡述圖①經過怎樣的變換形成圖②；【解】題圖①中的△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到題圖②.(2)當AD＝5，BD＝6時，設△ADE，△BDF的面積分別為S1，S2，求S1＋S2.3.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°得到正方形AB′C′D′，求圖中的陰影部分的面積．【解】如圖，設B′C′與CD的交點為E，連接AE，易知AD＝AB′.4．在平面內，把一個圖形繞著一個定點旋轉一定的角度，可以將這個圖形轉換到另一個位置，從而易于解題．請你閱讀學習這種旋轉變換方法，并運用其解答問題：(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于點E，求證：AE＝EC.證明：∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴可將圖①中的△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADE′，如圖②，請你利用圖②完成證明；【證明】在題圖②中，易得△ABE≌△ADE′，∴∠E′＝∠AEB＝90°，∠ADE′＝∠B，AE＝AE′.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE′＋∠ADC＝180°，即C，D，E′在同一條直線上．∵∠AEC＝∠C＝∠E′＝90°，AE′＝AE，∴四邊形AECE′為正方形，∴AE＝EC.(2)根據第(1)題的數學活動經驗，解答下面的問題．①如圖③，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上一點，AD＝2，BD＝1，四邊形DECF是正方形，設△ADE和△BDF的面積分別為S1，S2，求S1＋S2的值；【解】①如圖①，將△BDF繞點D逆時針旋轉90°，得△B′DE，

易得△DEB′≌△DFB，∴S△DBF＝S△DEB′，DB′＝DB＝1，∠BDF＝∠B′DE，易知∠BDF＋∠EDA＝90°，∴∠B′DE＋∠EDA＝∠ADB′＝90°.②如圖④，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA＋PB＋PC的值．【解】如圖②，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°，得到△ANM，連接BN，PM，則△ABP≌△ANM，∴PB＝MN，∠APB＝∠AMN.易得△APM，△ABN均為等邊三角形，∴PA＝PM，∠APM＝∠AMP＝60°，BN＝BA，∠ABN＝60°.5.問題背景：在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用方法，如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，點E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數量關系．(1)探究發現：小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，然后證明△AGF≌△AEF，從而得出結論：__________________．EF＝BE＋DF【解】(1)中的結論仍然成立，理由如下：如圖①，將△ADF繞點A順時針旋轉至AD與AB重合，得到△ABH，

由旋轉可得，AH＝AF，BH＝DF，∠DAF＝∠BAH，∠D＝∠ABH.(3)嘗試應用：如圖③，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝45°，連接EF，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的邊長．【解】如圖②，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，

∴△ABE≌△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠ADG＝∠B，∠BAE＝∠DAG.∵在正方形ABCD中，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＋∠ADF＝∠B＋∠ADF＝180°，∴G，D，F三點共線．∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝45°＝∠EAF.又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF＝5.設正方形ABCD的邊長是x，在Rt△CEF中，EC＝x－3，CF＝x－2，EF2＝EC2＋CF2，∴52＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x1＝6，x2＝－1(舍去)，∴正方形ABCD的邊長是6.6.

問題提出：如圖①，點P是等邊三角形ABC內的一點，PA＝5，PB＝12，PC＝13.你能求出∠APB的度數嗎？問題解決：如圖②，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BP′A，連接PP′，可得△BPP′是等邊三角形，根據勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，從而使問題得到解決．(1)結合上述思路完成填空：PP′＝______，∠APP′＝________°，∠APB＝__________°；1290150類比探究：(2)如圖③，若點P是正方形ABCD內一點，PC＝1，PB＝2，PA＝3，求∠CPB的度數；【解】如圖①，將△ABP繞點B按順時針方向旋轉90°至△CBP′的位置，使AB與CB重合，連接PP′，則∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝3.由勾股定理得，PP′2＝22＋22＝8.又∵PC2＝12＝1，P′C2＝32＝9，∴P′C2＝PP′2＋PC2，∴∠P′PC＝90°，又∵易知∠BPP′＝45°，∴∠CPB＝∠BPP