綜合測試一一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設全集U=R，集合M={x|x>1}，P={x|x2>1}，則下列關系中正確的是（）A.M=PB.PMC.MPD.UM∩P=思路解析：借助兩個集合中元素的取值范圍易知集合M是集合P的子集.答案:C2.設集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}，定義P※Q＝{(a,b)|a∈P,b∈Q}，則P※Q中元素的個數為（）A.3B.4C.7D.12思路解析：※Q中元素分別為(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7)共12個.答案：D3.設f(x)=|x-1|-|x|，則f［f()］等于（）A.-B.0C.D.1思路解析：這是一個多層法則求值問題,先內后外,易得到答案.因為f()=0,而f(0)=1.答案：D4.同時滿足下列條件：（1）有反函數;（2）是奇函數;（3）其定義域集合等于值域集合的函數是（）A.f(x)=B.f(x)=(x-1)C.f(x)=-x3D.f(x)=x5+1思路解析：本題可使用排除法,借助是奇函數可去掉A、B、D三個選項.答案：C5.設函數f(x)=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：①c=0時，y=f(x)是奇函數；②b=0,c>0時，方程f(x)=0只有一個實根;③y=f(x)的圖象關于(0,c)對稱;④方程f(x)=0至多有兩個實根.其中正確的命題是（）A.①④B.①③C.①②③D.①②④思路解析：要注意到函數f(x)=x|x|+bx+c的圖象同參量b和c之間的關系.答案：C6.已知函數y=f(2x)的定義域是[-1,1]，則函數y=f(log2x)的定義域是（）A．(0，＋∞)B．(0，1)C．[1,2]D．[,4]思路解析：函數y=f(2x)的定義域是［－1，1］,可知2x∈［,2］,所以log2x∈［,2］，可解出x∈［,4］.答案:D7.函數y=,x∈(0,+∞)的反函數是（）A.y=ln,x∈(-∞,1)B.y=ln,x∈(-∞,1)C.y=ln,x∈(1,+∞)D.y=ln,x∈(1,+∞)思路解析：可先分離常數y==1+,又因為x∈(0,+∞),可知y>1,然后按照求反函數的方法,即反解出x，最后x與y互換.答案：D8.函數y=f(x+1)與y=f－1(x+1)的圖象（）A.關于直線y=x對稱B.關于直線y=x+1對稱C.關于直線y=x－1對稱思路解析：舉特殊的函數如f(x)=x+1,分別求出f(x+1)=x+2,f-1(x+1)=x，顯然這兩個函數圖象是關于直線y=x+1對稱的.答案:B9.函齳=x2-2x在區間[a,b]上的值域是[-1,3],則點(a,b)的軌跡是圖中的（）思路解析：本題主要考查了二次函數的圖象,可注意到分類討論,借助圖象可知，當a=-1時,1≤b≤3,當b=3時,-1≤a≤1，由上圖可得答案.答案:A10.設f（x）＝lg(10x＋1)＋ax是偶函數，g（x）＝4x-b2x是奇函數，那么a＋b的值為（）A.1B.-1C.-D.思路解析：f（x）＝lg(10x＋1)＋ax是偶函數，可知f(-x)=lg-ax=f(x)，可求出a=-，g（x）＝是奇函數，可知g(0)=0，可得b=1.答案:D11.下列四個圖象中，是函數圖象的是（）A.(1)B.(1)(3)(4)C.(1）（2）（3）D.(3）（4）思路解析：注意到函數的圖象的特點，不能存在一個自變量的取值對應兩個或兩個以上的函數值.答案:B12.某種電熱水器的水箱盛滿水是200升，加熱到一定溫度，即可用來洗浴．洗浴時，已知每分鐘放水34升，在放水的同時按4升/分鐘2的勻加速度自動注水．當水箱內的水量達到最小值時，放水程序自動停止，現假定每人洗浴用水量為65升，則該熱水器一次至多可供（）A.3人洗浴B.4人洗浴C.5人洗浴D.6人洗浴思路解析：設經過時間t時水箱中的水量為y,可知y=2t2-34t+200,當t==時,y取得最小值,此時放水為172,易求出至多可供四人洗浴.答案:B二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上）13.函數y=的定義域為______________．思路解析：要使函數有意義,則0<4x2-3x≤1,可解出x∈［-,0）∪(,1］.答案:［-,0)∪(,1］14.已知a、b為常數，若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24，則5a-b=__________．思路解析：使用待定系數法.f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,可求出a=1,b=3.答案:215.函數y=的定義域是一切實數，則實數k的取值范圍是__________.思路解析：注意要分類討論,當k=0時，顯然成立，當k≠0時，則要有（4k）2-4k×3<0,可解出0<k<.答案:0≤k<16.“依法納稅是每個公民應盡的義務”，國家征收個人工資、薪金所得稅是分段計算的：總收入不超過800元的，免征個人工資、薪金所得稅；超過800元部分需征稅，設納稅所得額(所得額指月工資、薪金中應納稅的部分)為x，x=全月總收入－800(元)，稅率見下表：級數全月應納稅所得額x稅率1不超過500元部分5%2超過500元至2000元部分10%3超過2000元至5000元部分15%………9超過100000元部分45%某人2004年10月份工資總收入為4000元，試計算這個人10月份應納個人所得稅___________元.思路解析：(1)依稅率表，有第一段：x·5%,第二段：(x－500)·10%＋500·5%,第三段：(x－2000)·15%＋1500·10%＋500·5%,即f(x)=.(2)這個人10月份納稅所得額x=4000－800=3200,f(3200)=0.15(3200－2000)＋175=355(元).答案:355三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）若集合M=｛a｜a=x2－y2，x，y∈Z｝.（1）整數8，9，10是否屬于M？（2）證明一切奇數都屬于M.解：（1）∵8=32-1，9=52-42，∴8∈M，9∈M.假設10=x2-y2，x，y∈Z，則(|x|＋|y|)(|x|－|y|)=10，且|x|＋|y|＞|x|－|y|＞0.∵10=1×10=2×5，∴,或顯然均無整數解，∴10M.（2）設奇數為2n＋1，n∈Z，則恒有2n＋1=(n＋1)2－n2，∴2n＋1∈M，即一切奇數都屬于M.18．（本小題滿分12分）已知函數f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5，5]．（1）當a=-1時，求函數f(x)的最大值與最小值；（2）求實數a的取值范圍，使y=f(x)在區間[-5，5]上是單調函數．解：（1）當a=-1時，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［-5,5］.∴x=1時，f(x)的最小值為1；x=-5時，f(x)的最大值為37．（2）函數f(x)=(x+a)2+2-a2圖象的對稱軸為x=-a，∵f(x)在區間［-5,5］上是單調函數，∴-a≤-5或-a≥5.故a的取值范圍是a≤-5或a≥5．19．（本小題滿分12分）已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|<0}.（1）當a=2時，求A∩B;（2）求使BA的實數a的取值范圍．解：（1）當a=2時，A=(2,7)，B=(4,5),∴A∩B=(4,5).（2）∵B=(2a,a2+1)，當a<13時,A=(3a+1,2),要使BA，必須,此時a=-1；當a=時，A＝，使BA的a不存在；當a>時，A＝（2，3a＋1）,要使BA，必須,此時1≤a≤3.綜上,可知使BA的實數a的取值范圍為［1，3］∪{－1}.20.（本小題滿分12分）設函數f(x)對任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時，f(x)<0,f(1)=-2.（1）求證：f(x)是奇函數.（2）試問在-3≤x≤3時，f(x)是否有最值？如果有,求出最值；如果沒有，說出理由.答案：（1）證明：令x=y=0，則有f(0)=2f(0)f(0)=0.令y=-x,則有f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數．（2）解：任取x1<x2，則x2-x1>0f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0.∴f(x1)>f(x2).∴y=f(x)在R上為減函數.因此f(3)為函數的最小值，f(-3)為函數的最大值.f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,∴函數最大值為6，最小值為-6.21.（本小題滿分12分）某工廠今年1月、2月、3月生產某產品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了估計以后每月的產量，以這三個月的產量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數可以選用二次函數y=hx2+qx+r或函數y=a·bx＋c(a、b、c)為常數.已知四月份該產品的產量為1.37萬件，請問用以上哪個函數作模擬函數較好？說明理由.解：令f(x)=px2+qx+r(p≠0)，由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,有,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.∴f(4)=1.3.再設g(x)=a·bx+c,由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,有,解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴g(4)=1.35.×(0.5)x+1.4作模擬函數較好.22.（本小題滿分14分）設函數f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x),（1）求f(x)的定義域.（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果