大招10雙變量問題——韋達定理妙用大招總結(jié)題型特點:函數(shù)求導后主導函數(shù)為二次函數(shù),涉及兩根(兩極值點)問題,可以利用兩根和與積的關系進行消元,代換后變成單變量問題,題目就迎刃而解了.典型例題例1.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個極值點,證明:.解(1),不妨設,則關于$x$的方程的判別式,當時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當時,,方程有兩個不相等的正根,$當及時,當時,,在上遞減,在上遞增.(2)證明:由（1)知當時,函數(shù)有兩個極值點,且(韋達定理整體利用,消元,多元化單元)設,則,所以在(4,上遞增,,所以.例2.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,證明:.解(1)函數(shù)的定義域為,函數(shù)的導數(shù),設,當時,恒成立,即恒成立,此時函數(shù)在上是減函數(shù),當時,判別式,(1)當時,,即,即恒成立,此時函數(shù)在上是減函數(shù).(2)當時,的變化如下表:綜上當在上單調(diào)遞減,當時,在和,上單調(diào)遞減,則上單調(diào)遞增.(2)證明:的定義域為.由于的兩個極值點滿足,所以,不妨設,則.由于,所以等價于.設函數(shù),由(1)知,在單調(diào)遞減,又因為,從而當時,.所以,即.例3.設函數(shù)有兩個極值點,且.(1)求的取值范圍,并討論的單調(diào)性;(2)證明:.解(1),令,其對稱軸為.由題意知是方程的兩個均大于-1的不相等的實根,其充要條件為,得①當時,在內(nèi)單調(diào)遞增;②當時,在內(nèi)單調(diào)遞減;③當時,在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明:由(1),$$設,則.(1)當時,在內(nèi)單調(diào)遞增;(2)當時,在內(nèi)單調(diào)遞減.當時,例4.已知函數(shù).(1)若有三個極值點,求的取值范圍;(2)設為的極值點,證明:.解(1)方法.若有三個極值點,則方程有三個正數(shù)根,設,則,則方程有兩個根,滿足,且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以解得.方法.若有三個極值點,則方程有三個正數(shù)根,設為的三個根,則,所以,因為,所以,所以.(2)根據(jù)題意有由（1）方法二可知,所以,又由(1)可知,所以,所以.自我檢測1.已知常數(shù),函數(shù).（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.答案：(1),當時,即時,恒成立,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時,由得,則函數(shù)在單調(diào)遞減,在,單調(diào)遞增.(2)由(1)知,當時,,此時不存在極值點.因此要使存在兩個極值點,則必有,又的極值點值可能是,且由的定義域可知且且,解得,則分別為函數(shù)的極小值點和極大值點.令,由且得,當時,;當時,.令.(1)當時,,故在上單調(diào)遞減,,當時,;(2)當,故在上單調(diào)遞減,,當時,;綜上所述,的取值范圍是.2.已知函數(shù).（1）若在[1,3]上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;(2)記,并設是函數(shù)的兩個極值點,若,求的最小值..答案：(1)在$[1,3]$上是單調(diào)遞增函數(shù),在[1,3]上恒成立,,上恒成立.在上的最小值為.(2),.令,得.設,令,則在上單調(diào)遞減.又,即,即,解得或.又.的最小值為.3．已知函數(shù)．其中a，b，．（1）若，，，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且當時，總成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，，，若存在兩個極值點，，求證：．答案：（1），，，，∴，，或時，，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；（2）若，且當時，總成立，則．，，，∴．，，，；，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，不成立，綜上所述，；（3）證明：，．∵存在兩個極值點，，∴，∴．令，，，，∵，∴．4．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在點處切的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點、，①求實數(shù)a的范圍；②證明：．答案：（1）函數(shù)的導數(shù)為，在點處的切線斜率為2，切點為，即有在點處的切線方程為，即為．（2），令，得，①函數(shù)有兩個極值點等價于方程有兩個不同的根．設，所以，所以函數(shù)有兩個極值點，，則．②證明：由，得，則，，，，，，，在區(qū)間上遞減，所以，即．5．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)在和處取得極值，且（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值．答案：（1）∵，又在上單調(diào)遞增，∴恒有，即恒成立，∴，而，當且僅當時取“=”，∴．即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)時，a的取值范圍是．（2）∵在和處取得極值，且，∴，是方程的兩個實根，由根與系數(shù)的關系得，，∴，設，令，則，∴在上是減函數(shù)，∴，故的最大值為．6．（2018全國卷Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，，證明：．答案：（1）的定義域為，．（ⅰ）若，則，當且僅當，時，所以在單調(diào)遞減．（ⅱ）若，令得，或．當時，；當時，．所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當．由于的兩個極值點，滿足，所以，不妨設，則．由于，所以等價于．設函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當時，．所以，即．7．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值點；（2）若，函數(shù)有兩個極值點，，且，證明：．答案：（1）的定義域為，，①若，則，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以無極值點．②若，則，由得，．當x變化時，，的變化情況如下表：x+0―0+極大值極小值所以有極大值點，極小值點．（2）由（1）及條件可知，且，，即，，所以，記，，因為當時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，即．8．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直．（1）求函數(shù)（為的導函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）記函數(shù)，設，是函數(shù)的兩個極值點，若，證明：．答案：（1）由題意可得：，，可得：；又，所以；當時，，y單調(diào)遞增；當時，，y單調(diào)遞減；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（2）