大招5對(duì)數(shù)平均不等式大招總結(jié)基本不等式鏈：已知，，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），即：調(diào)和平均數(shù)<幾何平均數(shù)<算術(shù)平均數(shù)<平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為：調(diào)幾算方．對(duì)數(shù)平均不等式：對(duì)于正數(shù)a，b，且，定義為a，b的對(duì)數(shù)平均值，且若，，即：調(diào)和平均數(shù)<幾何平均數(shù)<對(duì)數(shù)平均數(shù)<算術(shù)平均數(shù)<平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為：調(diào)幾對(duì)算方．證明：證法1（比值代換）令，則，構(gòu)造函數(shù)可證．證法2（主元法）不妨設(shè)，，記，，則，得在上單調(diào)遞淢，有，左邊得證，右邊同理可證．證法3（構(gòu)造函數(shù)法）先證：要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴．再證：要證，只需證，令，只需證，∴，．設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞減，∴，∴．★常見等價(jià)變形：；用對(duì)數(shù)平均數(shù)求證極值點(diǎn)偏移問題的步驟：（1）根據(jù)建立等量關(guān)系；（2）等量關(guān)系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對(duì)數(shù)；（3）通過恒等變形轉(zhuǎn)化出對(duì)數(shù)平均數(shù)，代入對(duì)數(shù)平均不等式求解．典型例題【題型1】證明極值點(diǎn)偏移問題例1．已知函數(shù)，如果，且，證明：．解證明：即，，則（正數(shù)，的對(duì)數(shù)平均數(shù)為1），于是，得，且．例2．已知函數(shù)的圖像與直線交于不同的兩點(diǎn)，，求證：．解證明：由得，；，由對(duì)數(shù)平均不等式得，，，得．例3．設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，求證：．解證明：由題意得，兩式相減得，，則，所以．例4．設(shè)函數(shù)，其圖像與軸交于，兩點(diǎn)，且，解證明：．證明：即，，則①-②得，則（正數(shù)，的對(duì)數(shù)平均數(shù)為1），于是，，得①+②得，所以，由此可得．【題型2】的應(yīng)用例5．設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，比較與的大小，并加以證明．解因?yàn)?，所以，而，因此，比較與的大小，即只需比較與的大小即可．根據(jù)時(shí)，，即，令，，則，所以，，…，，將以上各不等式左右兩邊相加得：，故．【說明】本題是高考試題的壓軸題，難度較大，我們這里應(yīng)用對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明，思路簡(jiǎn)捷，別具新意，易于學(xué)生理解、掌握，也可以利用之前講的數(shù)列不等式．當(dāng)時(shí)，，即，令，，則，可得．例6．已知函數(shù)的最小值為0，證明：．解證明：易求，待證不等式等價(jià)于，根據(jù)時(shí)，，即，令，，則，，，，…，，將以上各不等式左右兩邊分別相加得：，，得證．【題型3】的應(yīng)用例7．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，證明：．解證明：根據(jù)時(shí)，，即，令，，則，易證．【題型4】的應(yīng)用例8．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，證明：．解證明：根據(jù)時(shí)，，即，令，，則，易證．【題型5】的應(yīng)用例9已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．證明：，解證明：當(dāng)時(shí)，，即，令，則，所以，，…，，將以上各不等式左右兩邊分別相加得：，即，故．【題型6】的應(yīng)用例10．已知．求證：對(duì)一切正整數(shù)均成立．故選B.例13.(2021?秋榆樹市期末)設(shè),則的大小關(guān)系是()A.B.C.D.解：,即.,.綜上可得,故選A.題型二利用常見函數(shù)單調(diào)性比較例14.(2020?天津)設(shè),則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.解：,則,,,故選D.例15.（2021?武漢模擬）設(shè),則（）A.B.C.D.解：,冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,即,故選C.例16.（2021?春桞州期末)設(shè),則(）A.B.C.D.解：,,故選D.例17.（2010?安徽)設(shè),則的大小關(guān)系是()A.B.C.D.解：在時(shí)是增函數(shù) 又在時(shí)是減函數(shù),所以故選A.例18.(2021?秋海淀區(qū)校級(jí)期末)已知,則按從小到大的順序排序?yàn)開__________.解:由是增函數(shù),得,由是增函數(shù),得,故,故答案為.題型三構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性比較大小例19.(2021?乙卷)設(shè),則()A.B.C.D.解:,,令,令,則,,,在上單調(diào)遞增,,,,同理令,再令,則,,,在上單調(diào)遞減,,,,.故選B.例20.?新課標(biāo)I)若,則()A.B.C.D.解:為;因?yàn)?所以,令,由指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在內(nèi)單調(diào)遞增;且;故選B.例21.(2021?廣州一模)已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),設(shè),則()A.B.C.D.解:已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上是減函數(shù),,而,所以,又因?yàn)?為常用不等式,可得,令,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上是減函數(shù),故,則,即,則,故:故選A.例22.(2021?惠州模擬)已知,則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.解:構(gòu)造函數(shù),由函數(shù)圖像可知:在時(shí),,即,,又,,故選C.例23.(2021?漳州三模)若,則()A.B.C.D.解:由,所以,且;又,;不妨設(shè),則有;構(gòu)造函數(shù),所以,令,解得;所以時(shí),是單調(diào)增函數(shù);所以,即,所以;綜上知,.故選D.例24.若則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.解：令,時(shí),,在上單調(diào)遞減,又,,.故選D.例25.(2021秋?唐山期末)設(shè),則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.解：構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,則在上為增函數(shù),,即,,即,則；設(shè),則,當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù),則,即,則.又.故選B.例26.(2021?巴中模擬)已知,則下列選項(xiàng)正確的是()A.B.C.D.解：,,的大小比較可以轉(zhuǎn)化為的大小比較.設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上,單調(diào)遞減,,,故選D.例27.(2021?桞州模擬)已知,則的大小關(guān)系是()

A.B.C.D.解：,,且,,,且,,,.故選B.例28.(2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)已知實(shí)數(shù),滿足,則關(guān)于下列判斷正確的是()A.B.C.D.解：先比較與2的大小,因?yàn)?所以,所以,即,故排除,再比較與2的大小,易得,當(dāng)時(shí),由,得與矛盾,舍去,故,則有,得,令,令,則,故,故,從而.故選D.例29.(2021?濱州二模)已知(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,則的大小關(guān)系為(）A.B.C.D.解：,構(gòu)造函數(shù),則,由,得,當(dāng)時(shí),是減函數(shù),當(dāng)時(shí),是增函數(shù),當(dāng)時(shí),取最大值,,.故選C.例30.(2021春?歷城區(qū)校級(jí)月考)已知,則的大小關(guān)系為(）A.B.C.D.解：設(shè),則;時(shí),;在上單調(diào)遞減;;.故選C.例31.(2021?巴中模擬)已知,則下列選項(xiàng)正確的是()A.B.C.D.解：,,的大小比較可以轉(zhuǎn)化為的大小比較.設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上,單調(diào)遞減,,,故選D.自我檢測(cè)1.(2021?邯鄲二模)設(shè),則的大小關(guān)系是()

A.B.C.D.解析：,.又,.故選A.2.(2019?天津)已知,則的大小關(guān)系為()

A.B.C.D.解析：由題意,可知:,.,最大,都小于1...故選A.3.(2021?平陰縣模擬)設(shè),則的大小關(guān)系是()

A.B.C.D.解析：由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可以得到:,所以，故選A.4.(2021秋?包河區(qū)校級(jí)月考)設(shè),則(）A.B.C.D.解析：,則,故選D.5.(2021秋?唁江區(qū)校級(jí)月考)已知均為正數(shù),且,則,的大小關(guān)系為()A.B.C.D.解析：方法1:均為正數(shù),且,,得,從而,即,由此得,得,從而有,可得,得,從而有,可得故選C.方法2:畫出圖象,通過比較交點(diǎn)即可得出6.(2021秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中)以下四個(gè)數(shù)中最大的是（）

A.B.C.D.解析：.給出的四個(gè)數(shù)中最大的是.故選D7.(2021?河南模擬)若實(shí)數(shù)滿足,則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.解析：實(shí)數(shù)滿足,,,,的大小關(guān)系為.故選B.8.(2021秋?廣州期末)設(shè),則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.解析：,,,,故選A.9.(2021?南寧一模)設(shè),則()A.B.C.D.解析：;又；;;;;;又；;.故選D.10.(2021秋?安期末)設(shè),則()A.B.C.D.解析：,,故選C.11.(2013?新課標(biāo)II)設(shè),則()A.B.C.D.解析：因?yàn)?因?yàn)槭窃龊瘮?shù),所以,所以,所以,故選D.12.(2021?漳州一模)設(shè),則的大小關(guān)系是()

A.B.C.D.解析：;.故選C.13.(2021?秋茲淨(jìng)市期末)三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為()A.B.C.D.解析：,,故選A.14.(2021?秋平遙縣校級(jí)月考)設(shè),則()A.B.C.D.解析：,,;.故選D.15.(2021?宜昌模擬)已知,則的大小關(guān)系為()

A.B.C.D.解析：,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,所以,,故選B.16.(2021?綿陽(yáng)模擬)已知,給出以下結(jié)論:(1);(2);(3).則其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)解析：,故為減函數(shù),在上為增函數(shù),故,即(1)正確;為減函數(shù),在上為增函數(shù),,即(2)錯(cuò)誤;與在上均為減函數(shù),故,.即(3)正確;故選B.17.(2021?春錦州期末)記,則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.解析：由是定義域的單調(diào)增函數(shù),且,所以,即;又是定義域上的單調(diào)增函數(shù),且,所以,即;所以的大小關(guān)系為.故選B.18.(2021?自貢模擬)下列四個(gè)命題:(1);(2);(3);(4),其中真命題的個(gè)數(shù)是()(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))A.1

B.2

C.3

D.4解析：構(gòu)造函數(shù),導(dǎo)數(shù),當(dāng)時(shí),遞增;時(shí),遞減.可得取得最大值.由,可得,即有,即,故(1)不正確;由,可得,即有,即,故(2)正確;設(shè),可得,在時(shí),,即有,故(3)正確;由的最大值,看設(shè),則,即,即,則,故(4)不正確.故選B.19.(2021?呼和浩特模擬)已知實(shí)數(shù),滿足,關(guān)于下列判斷正確的是()A.B.C.D.解析：不選;令設(shè),則,,故選D.20.(2021?秋唐山期末)設(shè),則的大小關(guān)系為()

A.B.C.D.解析：構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,則在上為增函數(shù),,即,,即,則;設(shè),則,當(dāng)