2024-2025學年第一學期期末高二調研考試數學試題（B卷）注意事項：1.答題前，請務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如?改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在直線上任取兩個不重合的點，可得出直線的一個方向向量.【詳解】在直線上取點、，故直線一個方向向量為.故選：A.2.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求出導函數得出切線斜率，再結合直線垂直得出斜率關系列式求參.【詳解】因為曲線，所以所以在點處的切線斜率為，直線的斜率為，又因為兩直線垂直，所以，所以.故選：B.3.若雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據雙曲線的離心率公式求出的值，再利用雙曲線漸近線方程的公式得出漸近線方程.【詳解】已知離心率，由離心率公式可得（這是因為，兩邊同時除以得到，再開方就得到）.所以，平方可移項得到.

可得.

對于雙曲線（，），其漸近線方程為.已經求得，將其代入漸近線方程，可得漸近線方程為.故選：A4.記為等比數列的前項和，若，，則（）A. B.81 C.50 D.61【答案】D【解析】【分析】根據等比數列前項和性質，即可求解.【詳解】由題可知，，成等比數列，所以，即，得，則此等比數列的首項是1，公比是，那么，，所以.故選：D5.在三棱柱中，，，，BC的中點為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量的加減法運算即可求得結果.【詳解】易知.故選：B6.已知函數，，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求函數的解析式，再根據導數判斷函數的單調性，根據函數的單調性，解抽象不等式.【詳解】，得，所以，，，所以函數在單調遞增，所以，即，即，即，且，得且.故選：C7.拋物線與圓交于、兩點，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】聯立拋物線與圓的方程求出坐標，利用建立方程求解即可.【詳解】設，聯立，消y得，由拋物線和圓都關于x軸對稱，所以，所以，所以，所以.故選：B8.已知函數，若方程在上有且僅有一個實數根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將方程有且僅有一個實數根轉化為兩個函數和只有一個交點的問題，然后通過求在處的切線斜率，結合函數圖象來確定的取值范圍.【詳解】已知在上有且僅有一個實數根，可化為.方程有且僅有一個實數根，等價于函數和的圖象在上只有一個交點..將代入到導數中，可得，即在處的切線的斜率為.直線恒過原點.為了使和在上只有一個交點，結合函數圖象可知，當直線的斜率滿足或時滿足條件.解不等式，可得；解不等式，可得.所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標系Oxyz中，下列說法正確的有（）A.與點關于x軸對稱的點的坐標為B.若是空間向量的一組基底，且，則也是空間向量的一組基底C.已知，，則在上的投影向量的坐標為D.已知，平面的法向量為，則【答案】AC【解析】【分析】根據空間向量坐標的定義，以及相關知識，即可判斷選項.【詳解】A.與點關于x軸對稱的點的坐標為，故A正確；B.，若，則與共線，所以不是空間向量的一組基底，故B錯誤；C.在上的投影向量為，故C正確；D.因為，所以，所以或，故D錯誤.故選：AC10.已知等差數列前n項和為，公差為，是和的等比中項，則（）A. B.數列是遞增數列C. D.有最大值為【答案】AC【解析】【分析】利用等差數列通項以及等比中項定義計算可得，可得A正確；由于不明確公差的符號，所以BD錯誤，由等差數列前n項和公式可得C正確.【詳解】設等差數列的公差為，由是和的等比中項可得，可得，即，即A正確；對于B，由A可知，因為不知道的正負，因此公差的符號不確定，所以數列的單調性不確定，即B錯誤；對于C，易知，所以C正確，對于D，根據B選項可知數列的單調性不確定，因此不一定有最大值，可得D錯誤.故選：AC11.已知，分別為橢圓的左，右焦點，M為橢圓C上一動點，I為內切圓的圓心，連接MI并延長交x軸于Q，若，則（）A.橢圓C的離心率B.的取值范圍為C.若l是C在M點處的切線，過，分別作l的垂線，垂足為A，B，則D.點I的軌跡方程為【答案】ABD【解析】【分析】A.根據角平分線定理，以及橢圓的性質，即可判斷；B.根據向量數量積的極化恒等式，以及的范圍，即可判斷；C.根據橢圓的切線方程，以及代入點到直線的距離公式，即可判斷；D.【詳解】連接，，，，故A正確；，因為，所以，，則，的取值范圍為，故B正確；設，直線l方程為，即，則，，故C錯誤；設，，由等面積可得，，即，故D正確.故選：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據角平分線的幾何性質，以及內切圓的幾何性質，結合坐標解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12.在2與18中間插入7個數使這9個數成等差數列，則該數列的第5項是______.【答案】10【解析】【分析】利用等差數列定義及其通項公式計算可得結果.【詳解】設這9個數構成的等差數列為，公差為；則，因此，解得；所以該數列的第5項是.故答案為：1013.已知函數的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過A，B分別作x軸的垂線，點C為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時，則的值為______.【答案】【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，根據已知條件應用兩點間距離公式求出的值.【詳解】函數的最小正周期為，在圖2中，以點為坐標原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，，，因為，解得.故答案為：.14.已知函數，點在第四象限內，過作圖象的切線，有且只有兩條，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】設切點為，利用導數求出切線方程，將點的坐標代入切線方程，可得出，令，分析可知，方程有兩個不等的實根，利用導數分析函數的單調性與極值，可得出或，由，可求出的取值范圍，進而可求得的取值范圍.【詳解】設切點為，，由題意可知，，，則切線方程為，因為切線過點，則，即方程有兩個解令，或，由可得，所以，函數的增區間為、，減區間為，因為方程有兩個解，所以，或，當時，則有，即，合乎題意；當時，則，可得，由可得，所以，，則，綜上，，即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用導數求函數在其上一點處的切線方程的基本步驟如下：（1）對函數求導得；（2）計算切線的斜率；（3）利用點斜式寫出切線方程.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓過，，三點，直線l過點.（1）求圓M的標準方程；（2）直線被圓截得弦長何時最短？求出截得弦長最短時直線的方程及最短弦長.【答案】（1）（2）垂直，，【解析】【分析】（1）根據圓的幾何性質，求圓心和半徑，即可求解；（2）由弦長公式結合圓的幾何性質可知，當點是弦的中點時，此時弦長最短，根據直線的方程，結合弦長公式，即可求解.【小問1詳解】由已知可得，，，滿足，所以為以O為直角的直角三角形，取AB中點為M，則，所以圓心，半徑，圓M標準方程為；【小問2詳解】由，可知，點在圓內，當直線l垂直于MP時截得弦長最短.直線，直線l的斜率為，則直線l方程為，此時圓心M到直線l的距離為，最短弦長為.16.如圖，在四面體中，面ABC，.（1）求證：面面PBC；（2）若，于D，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明面面垂直，轉化為證明線面垂直，即證明平面；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，根據垂直關系的坐標表示求點的坐標，利用向量法求二面角的余弦值.【小問1詳解】，，面ABC，，面，面PAC，面面PBC.小問2詳解】由題意知，，，則.以C為坐標原點，為x軸，為軸，過點垂直于底面的線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，設，則，，，設平面DAC的法向量為，則，令，則，，同理平面的法向量為，設平面和平面夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為.17.已知函數，，其中為的導函數.（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意可得，分和兩種情況，利用導數判斷的單調性；（2）根據題意整理可得，結合的單調性可得，構建，利用導數求其最值，即可得結果.【小問1詳解】由題意可知：的定義域為，且，則，可得，①當時，恒成立，可知在上單調遞減；②當時，令，解得；令，解得；可知在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】由可得，整理得，即，可得，因為在定義域內單調遞增，可得，即，可得，令，則.因為，令，解得；令，解得；可知在上單調遞增，在上單調遞減，則，可得，所以a的取值范圍為.18.已知橢圓的左，右焦點分別為，，，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）過點作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F，求四邊形EPFQ面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數法，即可求解；（2）利用弦長公式表示面積，再利用換元，轉化為函數問題求最值.【小問1詳解】由，即，又，即，，，故橢圓C的方程為.【小問2詳解】設四邊形EPFQ面積為S，當直線PQ與直線EF有一條斜率為0時，另一條斜率不存在，不妨設直線PQ斜率不存在，此時直線EF與x軸重合，，且PQ方程為，將與聯立，求得兩交點為，，，故.當直線PQ與直線EF有一條斜率為可設直線PQ的方程為，，，聯立方程，得且恒成立，，，同理可得，令，則，，令，則，在上單調遞增，在上單調遞減，，故.19.北宋數學家沈括博學多才，善于觀察.據說有一天，他走進一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數呢？”，沈括“用芻童（長方臺）法求之，常失于數少”，他想堆積的酒壇、棋子等雖然看起來像實體，但中間是有空隙的，應該把他們看成離散的量.經過反復嘗試，沈括提出對上底有ab個，下底有cd個，共n層的堆積物（如圖），可以用公式求出物體的總數，這就是所謂的“隙積術”，相當于求數列ab，，，…，的和，“隙積術”給出了二階等差數列的一個求和公式.現已知數列為二階等差數列，其通項，其前項和為，數列滿足，.（1）求數列的前10項和；（2）求；（3）數列和數列的公共項組成一個新的數列，設數列的前項和為，證明.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）首先求數列的前10項的和，再求數列的前10項和；（2）根據，對應系數，再代入求和公式；（3）首先求數列的通項公式，以及數列的通項公式，再根據公共項求數列的通項