第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省鹽城市濱海縣東元高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期3月檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線l的方向向量為a=1,0,2，平面α的法向量為n=?2,0,?4A.l//α B.l⊥α C.l?α D.l與α相交但不垂直2.已知直線l1的方向向量為a=(1,0,m)，直線l2的方向向量為b=(0,1,m)，若l1與l2的夾角為6A.1 B.?1 C.±1 D.03.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=2DC，E為PC上一點(diǎn)，且PC=4EC，則異面直線AC與BE夾角的余弦值為(

)

A.?4214 B.4214 4.已知a=(2,?1,3)，b=(?1,4,?2)，c=(7,5,λ)，若{a,bA.0 B.357 C.9 D.5.已知向量a=(1,2,2)，b=(?2,1,1)，則向量b在向量a上的投影向量為

(

)A.(?29,?49,?49)6.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為線段DD1A.255 B.215 C.7.如圖，三棱柱ABC?A1B1C1滿足棱長(zhǎng)都相等且AA1⊥平面ABC，AE=x，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是(

)A.先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大8.如圖，棱長(zhǎng)為2正方體ABCD?A1B1C1D1，O

為底面AC

的中心，點(diǎn)P

在側(cè)面BC1內(nèi)運(yùn)動(dòng)且D1O⊥OP，則點(diǎn)P

A.85 B.125 C.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.以下四個(gè)命題中正確的是(

)A.若非零空間向量a,b,c滿足a⊥b,b⊥c，則有a/?/c

B.若{a,b10.在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：(1)過點(diǎn)P0(x0,y(2)過點(diǎn)P(x0,y0,z現(xiàn)已知平面α:x+2y+3z=6，l1:6x?3y=2,3y?2z=1,lA.l1⊥α B.l2//α C.11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，Q為正方形BA.三棱錐D?A1D1Q的體積為定值

B.若D1Q//平面A1PD，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段

C.存在Q點(diǎn)，使得D1Q⊥平面A1PD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=λ+1,0,2λ，b=(6,2μ?1,2)，若a//b，則13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)可記為x,y,z：定義柱面坐標(biāo)系，在柱面坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)可記為r,θ,z.如圖所示，空間直角坐標(biāo)x,y,z與柱面坐標(biāo)r,θ,z之間的變換公式為：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z.則在柱面坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1,π2,214.如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型P?ABCD，過點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交PB,PC,PD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，若PEPB=35,PFPC=1四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)如圖，在六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六邊形，設(shè)

(1)A(2)AE16.(本小題12分)在四棱柱ABCD?A1B1C(1)求證：平面A1BD⊥(2)若BD=2A1D=2，求平面A117.(本小題12分)

如圖1，等腰直角△ABC的斜邊BC=4，D為BC的中點(diǎn)，沿BC上的高AD折疊，使得二面角B?AD?C為60°，如圖2，M為CD的中點(diǎn)．

(1)證明：BM⊥AC．(2)求二面角M?AB?D的余弦值．(3)試問在線段AC上是否存在點(diǎn)Q，使得直線MQ與平面ABM所成角的正弦值為210?若存在，求出線段AQ的長(zhǎng)度18.(本小題12分)如圖，已知ABCD?A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱，O1為A(1)證明：C1O//平面(2)若點(diǎn)C1到平面AB1D1(3)若線段CC1上存在點(diǎn)P，使得直線AP與平面AB1D119.(本小題12分)定義兩個(gè)n維向量ai=xi,1,xi,2,?,xi,n，aj=xj,1,xj,2,?,xj,n的數(shù)量積ai?aj=xi,1xj,1+xi,2xj,2+?+xi,nxj,n(i,j∈N+)，ai?ai=ai2，記x(1)求2的完美3維向量集：(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由：(3)若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和Sk=T．參考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.B

6.D

7.D

8.A

9.BCD

10.AC

11.ABD

12.71013.1014.3415.【詳解】(1)依題意，底面ABCDEF為正六邊形，連接對(duì)角線且交點(diǎn)記為O，如圖：

A1=2ABA1由AB=2,AA1=5由cos∠BAA1a?c=A=16+8+25?12?8?6=23．(2)由(1)知AE因此A=4+16+25?8+4+8=49，所以AE

16.【詳解】(1)在四棱柱ABCD?A1B由AA1=AB,∠A1于是A1B=A1A=A1D，令A(yù)C與而A1O∩AC=O,A1O,AC?平面A1AC，因此BD⊥所以平面A1BD⊥平面(2)由A1B=A1D及BD=2AO=A1O=12由(1)知直線OA,OB,OA1兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA,OB,OA則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,?1,0),A設(shè)平面B1BD的法向量n=(x,y,z)，則n?DB平面A1BD的法向量為OA=(1,0,0)，設(shè)平面A1BD則cosθ=|cos?所以平面A1BD與平面B1

17.解：(1)證明：

在圖1的等腰直角△ABC中，

D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，

所以在圖2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，

又BD∩CD=D，BD、CD?平面BCD，

所以AD⊥平面BCD，

因?yàn)锽M?平面BCD，所以AD⊥BM，

因?yàn)锳D⊥平面BCD，

所以∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，

即∠BDC=60°，所以△BCD為正三角形，

因?yàn)镸為CD的中點(diǎn)，所以CD⊥BM，

又AD∩CD=D，AD、CD?平面ACD，

所以BM⊥平面ACD，

因?yàn)锳C?平面ACD，所以BM⊥AC；

(2)以D為原點(diǎn)，DC，DA所在直線分別為y，z軸，過D點(diǎn)作平面ADC垂線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知A(0,0,2)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，

所以AB=(3,1,?2)，BM=(?3,0,0)，

設(shè)平面ABM的法向量為n1=(x,y,z)，

則3x+y?2z=0?3x=0,

令y=2，得z=1，x=0，

所以平面ABM的一個(gè)法向量為n1=(0,2,1)，

同理平面ABD的一個(gè)法向量為n2=(?1,3,0)，

所以cosn1,n2=n1?n2|n1||n2|=2325=155，

觀察可知二面角M?AB?D的平面角為銳角，

18.【詳解】(1)證明：連接AO因?yàn)锳BCD?A1B所以AA故四邊形AA1C1C又O1為A1C1與B1D1所以AO=O1C故四邊形AOC所以AO1//OC1，又AO1所以C1O//平面(2)以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B則B12,0,0,D1設(shè)平面AB1D則m⊥B令z=1，則x=y=?2，故點(diǎn)C1到平面AB1解得?=故正四棱柱ABCD?A1B(3)設(shè)AA1=?由(2)知平面AB1D設(shè)P2,2,t,0≤t≤?，則則AP?故?+tt+?2則s故11?4?則11?4?u+4因?yàn)閥=4?2故2?2≤故?28+?2≤故線段CC1的取值范圍為

19.【詳解】(1)由題意知，集合A中含有3個(gè)3維向量元素ai因?yàn)閍12=a2又a1?a2=a1所以2的完美3維向量集為A=1,1,0(2)依題意，完美4維向量集B含有4個(gè)4維向量元素bi(i=1,2,3,4)，(i)當(dāng)T=0時(shí)，bi(ii)當(dāng)T=1時(shí)，bi∈1,0,0,0(iii)當(dāng)T=2時(shí)，bi因?yàn)?,1,0,0?0,0,1,1=0，故1,1,0,0與0,0,1,1同理：1,0,1,0與0,1,0,1至多有一個(gè)為集合B中元素，1,0,0,1與0,1,1,0至多有一個(gè)為集合B中元素，故集合B中的元素個(gè)數(shù)小于4，不滿足條件①，舍去；(iv)當(dāng)T=3時(shí)，bi∈1,1,1,0(v)當(dāng)T=4時(shí)，bi綜上所述，不存在完美4維向量集．(3)依題意，T的完美n維向量集C含有n個(gè)n維元素ci因?yàn)閏i2=T，所以每個(gè)元素中有T個(gè)分量為1所以S1由(2)知