2024年高考圓錐曲線復習題

xV

1.已知雙曲線C：---=1(a>h>0)的兩個焦點為Q,0,一條漸近線方程為y=反，

且雙曲線。經(jīng)過點。(近，1).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設點尸在直線(>，W土加，OV〃?V1,且加為常數(shù))上，過點P作雙曲線C的

兩條切線以，PB,切點為力，B,求證：直線48過某一個定點.

【分析】(1)依題意，建立關于。，/)的方程組，解出。，6的值，即可求得雙曲線的方

程；

(2)設4(xi，產(chǎn))，8(必/)，直線玄：廠川=左(X?,口)，將其與雙曲線方程聯(lián)立，

由相切可得△=(),化簡可得塊IF=O,則攵="，由此表示直線以方程，同理可得

育線刊?方程，進而得到直線方程,由此可得證.

(b,

\—=b_

解：⑴依題意，仁1_,解得

(滔―/一

?,?雙曲線C的方程為?-/=!;

(2)證明：設4(xi,y\)?B(X2>J2),直線玄：y-yi=k(x-xi),

222

由匕：i)得，(1-k)x-2k(y1-kx^x-(yi-kx^-1=0,

ix-y—i

???直線均與雙曲線相叨，

222

:.△=4k2(yi—依Ji+4(1—k)(yx—kx1)+4(1-Zc)=0,

.*.4(71-kxj2+4(1-k2)=0,

22

A/c%1-2kx1y1+y/+i_攵2=0,即(*/_i*_2kx1y1+y/+1=o,

乂一yj=i,

.,.xj—1=yj,%2+1=%]2,

"12k2_2kxiy14-x,2=(y/-x1)2=0,

?.y\k\-x\=0,則k=為

i

；?直線為：y-yi=7(x-x1),即yiy=xix?1,

同理，切線PB的方程為-I,

VP(m,>x))在切線以，PB上,

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yoyi=吟一1

=mx2-l

8滿足直線方程外歹=/心-1,而兩點確定唯一一條直線，

,__i_

，直線AB：y^y=nix-1，則當"—m時，無論yo取何值，等式均成立，

.y=0

，點（［，0）恒在直線上，故無論點尸在何處，直線力〃恒過定點（5,0）.

【點評】本題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關系，考查圓錐曲線中

的證明問題，計算量較大，屬于較難題目.

2.如圖，已知拋物線C：f=8y,過點"（0,4）任作一直線與C相交于4,8兩點，連

接4。并延長，交直線y=-4于點。.

（1）證明：8。平行于y軸;

（2）過拋物線。上任一點（原點O除外）作。的切線，分別與直線y=4,y=-4交于

P，。兩點，則的面積是否存在最小值，請說明理由.

【分析】（I）設直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，由偉大定理得到8點橫坐標與力點

橫坐標的關系，求出直線力。的方程，求出。點橫坐標與4點橫坐標的關系，即可證明;

,

（2）設切點E（xo,j*o）?jo>O且x（）2=8y0?利用導數(shù)求出切線的方程，分別求出點P,

Q的坐標，然后由三角形的面積公式以及基本不等式求解最值即可;

（1）證明：由題意可知，直線48的斜率存在，設為

設直線48的方程為、=h+4,設4（xi，y\）,B（孫夕2），

則直線力。的方程為y——

xl

一4勺

令>=-4,可得乩=

力，

又力寫

-32

所以孫=

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聯(lián)立方程組腹J；；4,可得，-8232=。,

可得xix2=-32,

則%2=一|^，

人1

所以X0=X2，

故直線8。平行于p軸；

(2)解：存在，理由如下:

設切點E(xo,po),泗＞0且%o2=8y(),

因為y=

則戶％

則切線的斜率為［與，

所以在點E處的切線方程為y-y0=^(x-x0),即y=*一加

令7=4,可得4=竺善2

xo

令y=?4,可得勺=T?4yo,

x0

故p(l^,4),-4),"(0,4),

XQx0

所以及PMQ=gx8XI生*1=4喘十等I，

當且僅當“O=4a時取等號,

當.…時常+￡一禺”=一4夜,

當且僅當X。=-4應時取等號,

所以△尸的面積存在最小值，當切點為(±4&,4)時，4PMQ面積的最小值為4x

4企=16企.

【點評】本題考查了拋物線標準方程的應用，拋物線切線方程的求解，直線與拋物線位

置關系的應用，導數(shù)幾何意義的應用以及利用基本不等式求解最值的應用，考查了邏輯

推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

3.如圖，已知點P(2,2)是焦點為廠的拋物線C：J)=2px(/;>())上一點，44是拋

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物線C上異于尸的兩點，且直線為，P8的傾斜角互補，若直線距的斜率為￡（左>1）.

（I）證明：直線48的斜率為定值;

（II）求焦點尸到直線的距離d（用左表示）;

(IH)在△4"'中，記N￡44=a,ZFBA=^,求sina-sin(3的最大值.

【分析】（I）將點尸（2,2）代入拋物線方程可得p,進而可得拋物線的方程，設直線

口的方程為丁?2=公0>1）,聯(lián)立拋物線的方程，結合韋達定理可得>卬7>=與學，進

K

而可得以，用-%代入〃可得用，再計算匕4=空烏，即可得出答案.

XAx3

（II）由（I）知，匕片一，進而可得力,〃坐標，寫出直線"的方程，進而可得尸

（?0）到直線"的距離乩

=d展-強），化簡得歸居5喙

(III)sina-sin3=島一島sina-sin,令,

(5左予+16

=5〃-4，由A>1得>1,結合基本不等式，即可得出答案.

K

解：（I）證明：將點P（2,2）代入拋物線方程可得p=l,

所以拋物線。的方程為產(chǎn)=2.h

設直線以的方程為廠2=云（Q1）,

聯(lián)立拋物線方程得例2?2y+4-44=0,

匚「I、I4—4kRn2-2k

所以％yp=F—，即％二-^—，

2+2A

用-左代入衣可得y4=

所以*"=崎=巖2

%+如

,jI2(l-fc)22-2k2(l+k)22+23

(II)由(I)知，匕片k)'B~iT),

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所以直線48的方程為：｝一號=一劣6—2(1中2)="27一”￡=0,

K上kk

|1_2-2/C2|2

所以尸d，0)到宜線的距離4=2丁=殳工,

2、區(qū)2回2

dd11

(HI)sina-sin0=詆一諭=d(———),

HPAFBFAFB

!_=FBTA=町T.=x.F=32好

加一而=FAFB=(以+》(沏+》=以0+儲+沏)+,=25Y-24kz+16'

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